北师大版八年级数学下册第一章ppt课件.pptx

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1、北师大版数学八年级下课件（第一章）一、复习1、什么叫轴对称图形和轴对称？答：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。2、轴对称与轴对称图形的联系和区别是什么？对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。二、复习1、角是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些？答：是，对称轴是角平分线所在的直线角平分线上的点到角两边的距离相等。2、线段是轴对称图形吗？对称轴是什么？性质有哪些呢？答：是，对称轴是它的垂直平分线，线段的垂直平分线到线段的两个端点的距离相等。复习1、什么样的三角形叫做

2、等腰三角形？（有两边相等的三角形）结合以下图形，指出等腰三角形的腰，底边，顶角，底角。定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.底边AB C腰 腰顶角底角现在请同学们将刚才所画的等腰三角形对折，使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，你能发现什么现象呢？DABC 等腰三角形是轴对称图形 B=C等腰三角形两个底角相等简写成“等边对等角”BD=CD，AD为底边上的中线 ADB=ADC，AD为底边上的高线 BAD=CAD，AD为顶角平分线等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 简称“三线

3、合一”性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。几何书写：AB=AC（已知）B=C（等边对角）CABADBC BD=CD（等腰三角形三线合一）几何书写：AB=AC（已知）1=2（已知）推论1：等腰三角形 顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 互相重合。（三线合一）DCAB1 2 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高填空：在ABC中，ABAC，D 在BC上，1、如果AD BC，那么BAD=_,BD=_2、如果BAD=CAD，那么AD _,BD=_ 3、如果BD=CD,那么BA

4、D=_，AD _,ADB=_=_DCADCDBC CDCAD BCADCADC9090同步练习1.等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.简称“三线合一”要记得哦!判断正误（口答）如图，在ABC中，ACBC，ADCBDC.(等边对等角)CA B D同步练习2练习：判断正误（口答）“等边对等角”只能在同一个三角形中使用(2)如图，在ABC中，ACBC，ADCBEC.CABD E“等边对等角”必须在同一个等腰三角形中才成立“三线合一”是对等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高而言的请注意哦！1填空：（根据等腰

5、三角形性质定理及推论）(1)AB=AC,_=_;(2)AB=AC,ADBC,_=_,_=_;(3)AB=AC,AD是中线，_,_=_;(4)AB=AC,AD是角平分线，_,_=_.BADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD BC课堂练习：等腰三角形中，有一种特殊的情况就是底边与腰相等这时三角形三边都相等我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形图8.3.3图8.3.3根据“等边对等角”可得：所以而三条边都相等的三角形叫做等边三角形2 在 ABC中，若AB=BC=CA，则 A=_ B=_ C=_3、推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。课堂练习：60 60 60 已

6、知：在ABC中，AB=AC，B=80。求C和A的度数例1（已知）（等边对等角）（三角形内角和等于）已知：在ABC中，AB=AC，A=80。求C和B的度数同步练习3 AB=AC，C=B(等边对等角)A+B+C=180。（三角形内角和等于180。）A=80。B=C=50。动脑筋70,70或40,10030,301.等腰三角形一个角为40,它的另外两个角为 _2.等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_同步练习4例如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。求和ADC的度数 AB=AC，D是BC边上的中点ADC 90。BAC=180。-30。-30。=120。（三线合一）1.等腰

7、三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？同步练习5练 习第97页 1.等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？因为如果底角大于或等于，则倍底角大于或等于，这样三角形的内角和就大于，显然不可能练习 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?例2如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。求和ADC的度数 AB=AC，D是BC边上的中点ADC 90。BAC=180。-30。-30。=120。（三线合一）1、等腰三角形的定义以及相关概念。2、等腰三角形的性质：2）等腰三角形

8、的底边上的中线,底边上的高和顶角平分线、互相重合（简称“三线合一”）1）等腰三角形的两底角相等（简写“等边对等角”）3）等 边三角形的三个内角都相等，都等于90度练习课堂练习：3 口答：（1）已知等腰三角形的一个底角为70,那么此 等腰三角形各内角的度数分别是（）.（2）已知等腰三角形的顶角为70，那么此 等腰三角形各内角的度数分别是(）。7070（3）已知等腰三角形的一个内角为70，那么此 等腰三角形各内角的度数分别是（）。等腰三角形的底边长为4cm，腰长为7cm，则周长为；等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为；等腰三角形的两边为cm、cm，则周长等腰三角形的周长为，其中一边长为，则另

9、两边的长；8cm15或cm9、或、其中一边长为呢？75,3075,3070,40或55,551.等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_ 35,35、等腰三角形一个外角为110，那它的三个内角为、等腰三角形一个外角为 呢？或 例题 已知：如图，房屋的顶角BAC=100，过屋顶A的立柱AD BC，屋椽AB=AC。求顶架上B、C、BAD、CAD的度数。已知ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。ABCD解：AB=AC，（已知）ABC=C(等角对等边)BD=BC=AD，（已知

10、）C=BDC(等角对等边)A=ABD设A=x，则ABD=x，BDC=2x，C=2xXX2X2X根据题意得：x+2x+2x=180X=36即A=36ABC=ACB=72ABC是等腰三角形,分别以它的两腰为边向外作等边三角形ADB和ACE,已知DAE=DBC,求ABC三个内角的度数.如图,ABC中,AB=AC,BAD=30,且AD=AE求EDC的度数.ABCDEABCDE关于撑伞的数学问题已知：如图，AB=AC，DB=DC问：AD与BC有什么关系？猜想：AD垂直平分BC证明:AB=AC,A在线段BC的垂直平分线上AD垂直平分BCAB CDBD=CDD在线段BC的垂直平分线上已知等腰三角形的底边和一

11、腰长是方程组 X+2Y=4 3X+Y=7 的解，求这个三角形的各边长 解：解方程组得：，当取腰长为，则三角形三边，（满足三角形三边要求）当取腰长为，则三角形三边，（不满足三角形三边）所以这个三角形的边为，名称图 形 性 质 判 定等 腰 三 角 形AB C等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形知识回顾等边三角形 等边三角形:(正三角形 正三角形)三条边都相等的三角形 三条边都相等的三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形.学习园地1 1、等边三角形的内角都相等吗、等边三角形的内角都相等吗?为什么 为什么?AB=AC=BC AB=AC=BC A=B=C(

12、A=B=C(在同一个三角形中 在同一个三角形中等边对等角 等边对等角)A+B+C=180 A+B+C=180 A=B=C=60 A=B=C=60探索星空：探究性质一22、等边三角形有、等边三角形有“三线合一三线合一”的性质吗的性质吗?为什么为什么?结论 结论:等边三角形 等边三角形每条边上的中线 每条边上的中线,高和所对角的平分线 高和所对角的平分线都三线合一。（都三线合一。（所有的高线，所有的高线，角平分线，中线的长度相等。）角平分线，中线的长度相等。）探索星空：探究性质二33、等边三角形是轴对称图形吗、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴有几条对称轴?探索星空：探究性质三等边三角形的性质

13、2.等边三角形的内角都相等,且等于60 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.1.三条边相等 A=B=C=60 A=B=C=60 AB=AC=BC(AB=AC=BC(在同一个三角形中在同一个三角形中等角对等边等角对等边)探索星空：探究判定一1 1、三个内角都等于、三个内角都等于60 60的三角形是等边三角形 的三角形是等边三角形?ABC ABC是等边三角形 是等边三角形 22、有一个内角等于、有一个内角等于6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形?探索星空：探究判定二当顶角为当顶角为6060时，两个底角各为时，两个底角

14、各为60.60.当底角为当底角为6060时，顶角为时，顶角为60.60.等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60（或三个内角都相等）的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.例例44等边三角形等边三角形ABCABC的周长等于的周长等于2121，求：（求：（11）各边的长；）各边的长；（22）各角的度数。）各角的度数。解：（解：（11）ABABBCBCCACA，又又ABABBCBCCACA2121（已知）（已知）ABABBCBCCACA21/321/377（）（）（22）ABABBCBCCACA，（已知），（已知）AABBCC6

15、060（等边三角形的每个内角都等于（等边三角形的每个内角都等于6060）AABBCC、下列四个说法中，不正确的有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个三个角都相等的三角形是等边三角形。有两个角等于60的三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。、等边三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（）（A）3条（B）6条（C）9条（D）7条（选择）（选择）探究：探究：如图如图,等边三角形等边三角形ABC,ABC,以下三种方法分别得到的三角以下三种方法分别得到的三角形形ADEADE都是

16、等边三角形吗？为什么？都是等边三角形吗？为什么？（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE（2）ADE=60，D，E分别在边AB，AC上（3）过边AB上D点，作DEBC，交 AC于E点AB CDE这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴,将此图变成四个等边三角形.提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 想想里面吧.名称图 形 性 质 等 边 三 角 形等边三角形的性质 等边三角形的性质:三个角都相等，且都为60三线合一三条边都相等轴对称图形，有三条对称轴名称图 形 判 定 等 边 三 角 形等边三角形的判定 等边三角形的判定:三个角都等于 三个角都等于60 60的三角形 的三角形三条边都相等的三

17、角形 三条边都相等的三角形有一个角等于 有一个角等于60 60的等腰三角形 的等腰三角形BACD将两个含有30的直角三角板如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?ABC与ADC关于AC轴对称ABADABD是等边三角形又AC BD BCDC1/2AB你还能用其他方法证明吗?BACD在直角三角形中,如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半.A）30B C在直角ABC中A30AC2BC下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB7.4m,A30立柱BC、DE要多长?ABDE C解:DE AC,BC AC

18、,A30可得 2BCAB,2DEAD BC1/2 7.43.7m又 AD1/2 ABDE1/2 AD1/2 3.71.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.1 如图,在ABC 中C=90,B=15,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8,求AC之长.MC B DA 2 如图,在ABC 中,AB=AC,A=120,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N,求证:CM=2BMNMCBA2、在Rt ABC 中，如果B 0，A 30，CD是高，（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；（2）求证：BD=1/2BC=1/4AB解（1）由已知可求得 BD=30 于是在Rt

19、ADC 与Rt BDC 中用本定理得BC=2，AB=4（2）在Rt ADC 与Rt BDC运用本定理 BD=1/2BC BC=1/2AB BD=1/2BC=1/4AB ACBD要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果C90 A30,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.ACB请你说一说这节课的收获和体验让大家与你一起分享？愿你用勤奋的汗水浇灌智慧的花朵教师寄语第一章三角形的证明第 4 课时等腰三角形（四）1等腰三角形1.三个角都_的三角形是等边三角形；有一个角等于_的等腰三角形是等边三角形.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对

20、的直角边等于_.3.若等边ABC的边长为2 cm，那么ABC的面积为（）A.cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm24.已知直角三角形中30角所对的直角边为4 cm，则斜边的长为（）A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm课前预习相等60斜边的一半AD课堂讲练新知1 等边三角形的判定定理典型例题【例1】已知，如图1-1-38，B=C，ABDE，EC=ED，求证：DEC为等边三角形.证明:B=C，AB DE，DEC=C.EC=ED，C=EDC.DEC=C=EDC=60.DEC为等边三角形.课堂讲练【例2】图1-1-40如图1-1-40，已知ABC为等边三角形，D为BC

21、延长线上的一点，CE平分ACD，CE=BD.求证：ADE为等边三角形.证明:ABC为等边三角形，B=ACB=60，AB=AC，即ACD=120.CE平分ACD，ACE=ECD=60.在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）.AD=AE，BAD=CAE.BAC=DAE.又BAC=60，DAE=60.ADE为等边三角形.1.如图1-1-39，AB=AC，BAC=120，ADAC，AEAB.（1）求C的度数；（2）求证：ADE是等边三角形.模拟演练 课堂讲练（1）解：AB=AC，BAC=120，B=C=30.（2）证明：B=C=30，ADAC，AEAB,ADC=AEB=60.ADC=AEB=EAD

22、=60.ADE是等边三角形.2.已知如图1-1-41，ABC是等边三角形，D为AC上任意一点，ABD=ACE，BD=CE.求证：ADE是等边三角形.课堂讲练证明：ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60.在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）.AD=AE，BAD=DAE=60.ADE是等边三角形.【例3】图1-1-42已知，如图1-1-42，BCAC，DEAC，D为AB的中点，A=30，AB=8.求BC，DE的长.课堂讲练新知2 含30角的直角三角形的性质典型例题 解:BCAC，DEAC，DEA=BCA=90.D为AB的中点，AB=8，AD=DB=4（cm）.A=30，BC=AB=4（

23、cm），DE=AD=2（cm）.课堂讲练【例4】如图1-1-44，在ABC中，ACB=90，CM是高，B=30.求证：AM=AB.证明：在ABC中，ACB=90，CM是高，B=30，ACM=B=30，AC=AB.AM=AC.AM=AB.3.如图1-1-43，ABC中，BAC=90，AD是ABC的高，C=30，BC=4，求BD的长.模拟演练 课堂讲练解：在ABC 中，BAC=90，C=30，AD 是高，ADB=90，BAD=C=30.在Rt ABC 中，AB=BC=2.在Rt ABD 中，BD=AB=1.4.如图1-1-45，ABC中，AB=AC，BAC=120，DAAC交BC于点D.求证：BC

24、=3AD.课堂讲练证明：在ABC中，AB=AC，BAC=120，B=C=30.又DAAC，DAC=90.CD=2AD，BAD=B=30.AD=DB.BC=BD+CD=AD+CD=AD+2AD=3AD.1.以下叙述不正确的是（）A.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B.有一内角为60的等腰三角形是等边三角形C.等腰三角形一定是锐角三角形D.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等课后作业新知1等边三角形的判定定理夯实基础 C2.如图1-1-46，ABC是等边三角形，BD平分ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，E=30，

25、则BC=_.课后作业2课后作业证明：ABC 是等边三角形，EAF=FBD=DCE=120.AB=BC=CA，AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,AF=BD=CE.AE=BF=CD.AEFBFDDCE（SAS）.EF=FD=DE,即DEF 是等边三角形.3.如图1-1-47，ABC是等边三角形，分别延长AB至点F，BC至点D，CA至点E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：DEF是等边三角形.4.如图1-1-48，ABC中，C=90，AB=6，B=30，点P是BC边上的动点，AP的长不可能是（）A.2.5 B.4.2C.5.8 D.3.65.将一个有45角的三角板的直角顶点放

26、在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图1-1-49，则三角板的最大边的长为_ cm.课后作业新知2 含30角的直角三角形的性质A课后作业解：ABC 是等边三角形，B=ACB=60.DE AB，EDC=B=60.EDC 是等边三角形.DE=DC=2.在Rt DEF 中，DEF=90，DE=2，F=30,DF=2DE=4.EF=DF2-DE2=42-22=23.6.如图1-1-50，在等边ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD=2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.求EF的长.课后作业能力提

27、升 7.已知：如图1-1-51，点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.（1）求证：AN=BM；（2）求证：CEF为等边三角形.课后作业证明：（1）ACM，CBN是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=NCB=60.ACM+MCN=NCB+MCN，即ACN=MCB.在ACN和MCB中，ACNMCB（SAS）.AN=BM.（2）由（1）知ACNMCB，CAN=CMB.又MCF=180-ACM-NCB=180-60-60=60，MCF=ACE.在CAE和CMF中，CAECMF（ASA）.CE=CF.CEF为等腰三角形.又ECF=60，CEF为等

28、边三角形.证明：（1）ACM，CBN是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=NCB=60.ACM+MCN=NCB+MCN，即ACN=MCB.在ACN和MCB中，ACNMCB（SAS）.AN=BM.（2）由（1）知ACNMCB，CAN=CMB.又MCF=180-ACM-NCB=180-60-60=60，MCF=ACE.在CAE和CMF中，CAECMF（ASA）.CE=CF.CEF为等腰三角形.又ECF=60，CEF为等边三角形.课后作业8.已知，如图1-1-52，ABC为等边三角形，AE=CD，AD,BE相交于点P，BQAD于点Q，PQ=3，PE=1.（1）求证：ABECAD；（2）求BP

29、Q的度数；（3）求AD的长.课后作业证明：（1）ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=C=60.又AE=CD，ABECAD（SAS）.（2）由（1）得ABE=CAD,BPQ=BAD+ABE=BAD+CAD=60.（3）BQAD，BPQ=60，PBQ=30.BP=2PQ=6.由（1）得AD=BE，AD=BE=BP+PE=6+1=7.课后作业9.如图1-1-53，在等边ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD.（1）当点E为AB的中点时，如图1-1-53，求证：EC=ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图1-1-53，过点E作EFBC，求证：AEF是等边三角形;（3）在第（2

30、）小题的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.（1）证明：在等边ABC中，AB=BC=AC，ABC=ACB=A=60.点E为AB的中点，AE=EB=BD.ECB=ACB=30，EDB=DEB=ABC=30.ECB=EDB.EC=ED.课后作业（2）证明：EFBC，AEF=ABC=60，AFE=C=60.AEF为等边三角形.（3）解：EC=ED.理由如下：AE=BD，AEF为等边三角形，BD=EF.A=AEF=ABC=60，EFC=DBE=120.AB=AC，AE=AF，AB-AE=AC-AF，即BE=FC.在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS）.ED=EC.1.2直角三角形（1）北师大版

31、八年级下数学 第一章 三角形的证明驶向胜利的彼岸勾股定理w如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.开启智慧acb勾弦股驶向胜利的彼岸勾股定理的证明 我能行1 1l方法一:拼图计算l方法二：割补法l方法三：赵爽的弦图l方法四：总统证法l方法五：青朱出入图l方法六：折纸法l方法七：拼图计算这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?总统证法 回顾反思1 1驶向胜利的彼岸l这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任

32、美国第二十任总统,在1876,利用了梯形面积公式。l图中三个三角形面积的和是l2ab/2c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;l比较可得:c2=a2+b2。伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ababcc驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理 我能行2 2l如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.l已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.l求证:ABC是直角三角形.acbABC(1)驶向胜利的彼岸逆定理的证明 我能行2 2l证明:作

33、RtABC使C=900,AC=AC,BC=BC(如图),则l已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2.l求证:ABC是直角三角形.acbABC(1)acbBAC(2)lAC2+BC2=AB2(勾股定理).AC2+BC2=AB2(已知),AC=AC,BC=BC(作图),AB2=AB2(等式性质).AB=AB(等式性质).ABCABC(SSS).A=A900(全等三角形的对应边).ABC是直角三角形(直角三角形意义).几何的三种语言 回顾反思1 1驶向胜利的彼岸w勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.l在ABC

34、中lAC2+BC2=AB2(已知),lABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)驶向胜利的彼岸命题与逆命题直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.再观察下面两组命题:如如果两个角是对顶角,那么它们相等,w如如果两个角相等,那么它们是对顶角如;如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;w上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.开启智慧驶向胜利的彼岸命

35、题与逆命题w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.开启智慧w你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?w它们都是真命题吗?w想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?驶向胜利的彼岸定理与逆定理w一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.开启智慧w我们已经学习了一些互逆的定理,如:w勾股定理及其逆定理,w两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.w你还能举出一些例子吗?w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个

36、定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.学无止境 读一读1 1l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！l古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.驶向胜利的彼岸P18读一读：勾股定理的证明.学无止境 读一读1 1l历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，

37、创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。驶向胜利的彼岸P18读一读：勾股定理的证明.学无止境 读一读1 1l学习永远是件快乐而有趣的事！l勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！驶向胜利的彼岸P18读一读：勾股定理的证明.梦想成真 试一试P142 21.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?AB301212回味无穷 勾股定理:w 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直

38、角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.勾股定理的逆定理:l如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.命题与逆命题w 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理与逆定理w 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.小结拓展知识的升华独立作业P9习题1.41,2,3题.祝你成功！习题1.4 独立作业1 1驶向胜利的彼岸w1.如图，在ABC中

39、，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.w求证:AB=AC.证明:BD=CD,BC=10cm(已知),BD=5cm(等式性质).AD2+BD2=122+52144+25=169,AB2=132=169,AD2+BD2=AB2.DB CA 在ABD中,ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).在RtADC中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169,AC2=AB2.AB=AC(等式性质).习题1.4 独立作业2 2驶向胜利的彼岸w2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB,

40、B1C1AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？解:BCAC,A=300,AB=10m(已知),BC=AB/2=1025(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又CB1AB,BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余),CB1=BC/2=522.5(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.BCA300B1C1AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中

41、,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).习题1.4 独立作业3 3驶向胜利的彼岸w3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知),老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.BCAB1C1D1A1DB AB1D1A1DC1C答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm.结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循

42、的原则.下课了!1.2直角三角形（2）北师大版八年级下数学 第一章 三角形的证明知识点一 知识点二 知识点三 知识点四知识点一直角三角形两锐角的关系定理1:直角三角形的两个锐角互余.定理2:有两个角互余的三角形是直角三角形.拓展归纳直角三角形的两锐角互余是三角形内角和等于180的一个推论.当一个三角形有两个角互余(即两个角的和等于90)时,第三个角是直角,此时,这个三角形是直角三角形.例1在ABC中,A,B,C满足条件A B C=123.求证:ABC是直角三角形.分析:由三角形内角和等于180,列方程求得最大角的度数.若最大角的度数等于90,就可以确定这个三角形是直角三角形.证明:A B C=

43、123,且A+B+C=180,A+B=C=90.ABC 是直角三角形.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四知识点一 知识点二 知识点三 知识点四知识点二勾股定理及其逆定理1.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.拓展归纳勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四例2如图,在四边形ABCD中

44、,C=90,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12.(1)求证:AD BD.(2)求四边形ABCD的面积.分析:(1)先根据勾股定理求出BD 的长度,然后根据勾股定理的逆定理,即可证明AD BD;(2)根据两个直角三角形的面积即可求解.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四解:(1)在Rt BCD中,由勾股定理得在ABD 中,BD=5,AB=13,AD=12,AD2+BD2=122+25=169=132=AB2,即AD2+BD2=AB2,由勾股定理的逆定理知ABD 是直角三角形,且ADB=90.AD BD.(2)四边形ABCD 的面积为知识点一 知识点二 知识点三 知识点四知识点一 知识点

45、二 知识点三 知识点四知识点三互逆命题与互逆定理1.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.2.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.拓展归纳(1)将一个命题的条件与结论互换,就得到这个命题的逆命题.相对于逆命题来说,原来的命题叫做原命题,原命题与逆命题是互逆的关系,因而是相对的,需要注意的是:原命题正确,逆命题不一定正确.(2)命题都有逆命题,但定理不一定有逆定理.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四例3(1)写出命题“如果

46、a=b,那么a2=b2”的逆命题,并判断是不是真命题;(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题,并判断是不是原定理的逆定理.分析:(1)该命题的条件与结论很清楚,只要将条件与结论互换即可得逆命题,逆命题的真假可通过举反例判断出.(2)此题的条件与结论都是略写的形式,要注意写出的命题必须是完整的,不能简单地说成“相等是对顶角”.解:(1)逆命题是如果a2=b2,那么a=b,不是真命题.(2)逆命题是如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,这个命题是假命题,原以原定理没有逆定理.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四知识点四直角三角形全等的判定两个直角三角形全等除了应用一般三角形全等的判定方法外,还有特

47、殊的判定定理.定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.拓展归纳(1)“HL”是直角三角形所独有的判定三角形全等的定理,对于一般三角形不成立.判定两个直角三角形全等时,这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件,只需找出另两个条件即可.而这两个条件中必须有一组边对应相等,与一般三角形全等的情形一样,只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等(它们是相似的).(2)直角三角形全等的判定,除了“HL”外,还可采用其他的判定方法,如“SAS”“ASA”“SSS”“AAS”等.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四例4如图所示,在ABC中,AB=CB

48、,ABC=90,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt ABE Rt CBF;(2)若CAE=30,求ACF的度数.分析:由于Rt ABE 和Rt CBF 具备斜边、直角边对应相等,所以可以利用“HL”判定这两个三角形全等.第(2)题利用三角形角之间的关系求解.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四(1)证明:ABC=90,CBF=ABE=90.在Rt ABE 和Rt CBF 中,AE=CF,AB=BC,Rt ABE Rt CBF(HL).(2)解:AB=BC,ABC=90,CAB=ACB=45.BAE=CAB-CAE=45-30=15.由(1)知Rt ABE R

49、t CBF,BCF=BAE=15.ACF=BCF+ACB=45+15=60.知识点一 知识点二 知识点三 知识点四拓展点一 拓展点二拓展点一利用勾股定理解决图形折叠问题例1如图,直角三角形纸片ABC,C=90,AC=6,BC=8,折叠ABC的一角,使点B与点A重合,展开得折痕DE,求BD的长.分析:由折叠知ADE BDE 得到AD=BD,在Rt ACD中,由勾股定理求AD 的长.解:由折叠可知ADE BDE,AD=BD.设BD=x,则AD=x,CD=8-x.在Rt ACD中,由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,即62+(8-x)2=x2,拓展点一 拓展点二拓展点一 拓展点二拓展点二添辅助线证

50、直角三角形全等例2如图所示,已知AB=AE,BC=ED,B=E,AF CD,F为垂足,求证:CF=DF.分析:通过添加辅助线,构造全等三角形,再通过证三角形全等得到线段相等.拓展点一 拓展点二证明:如图,连接AC,AD,在ABC 和AED 中,AB=AE,BC=ED,B=E,ABC AED(SAS).AC=AD.AF DC,AFC=AFD=90.在Rt ACF 和Rt ADF 中,AC=AD,AF=AF,Rt AFC Rt AFD(HL).CF=DF.拓展点一 拓展点二P15议一议第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件.第三个定理的条件和结论分别是第四个定理的结论和条件.所列的三组