一轮全国数学听课手册答案4.pdf

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1、与 圆。2：。-4)2+丁=2 内 切，求 动 圆 圆 心 M 的 轨 迹 方 程.解：如 图 所 示，设 动 圆/的 半 径 为 r,则 由 已 知|MG|=r+4L 尸 厂 一 啦,：.MCx-MC2=2y2.又 G(4,0),C2(4,0),UI=8,，2 住 Q.根 据 双 曲 线 的 定 义 知，点 M 的 轨 迹 是 以 Ci(一 4,0),C2(4,0)为 焦 点 的 双 曲 线 的 右 支.:a=yi,c=4,b2c2a214,2 2.点 M 的 轨 迹 方 程 是 与 一 行=l(xN圾.第 54讲 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题【考 情 分 析】考 点 考 查 方 向

2、考 例 考 查 热 度 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 弦 长，中 点 弦 问 题 2015全 国 卷 H202013 新 课 标 全 国 卷 H 20 曲 线 的 简 单 应 用 最 值、范 围、证 明 问 题 2015全 国 卷 I 52015 全 国 卷 H202011,新 课 标 全 国 卷 20 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 定 点、定 值、探 索 性 问 题 2015全 国 卷 I 202015 全 国 卷 H20【真 题 再 现】20152011课 标 全 国 真 题 在 线 1.2015全 国 卷 I 在 直 角 坐 标 系 xy中，曲 线 C：卜=不 与

3、 直 线/：y=fcc+a(a0)交 于 M,N 两 点.(1)当 k=0 时，分 别 求 C 在 点 和 N 处 的 切 线 方 程.(2轴 上 是 否 存 在 点 P,使 得 当 上 变 动 时，总 有/O P W=N O P N?说 明 理 由.解：(1)由 题 设 可 得 加(2 3，a),N(-2ya,4)或 M(2 W，a),N(2ya,a).又 尸 主 故 尸 千 在 x=2 g 处 的 导 数 值 为 幅 所 以 曲 线 C 在 点(2如，0 处 的 切 线 方 程 为 y _ q=g(x _ 2 W),即 g x y_a=0.2在 工=一 2 3 处 的 导 数 值 为 一

4、如，所 以 曲 线。在 点(一 2 3，。)处 的 切 线 方 程 为 y。=ya(x+2ya)9 即 0 x+y+a=O.故 所 求 切 线 方 程 为 g/y=0和 Wx+y+a=0.(2)存 在 符 合 题 意 的 点，证 明 如 下：设 尸(0,6)为 符 合 题 意 的 点，M(xx,yx),N(X2,y2)，直 线 PM,P N的 斜 率 分 别 为 左 i，k2.y=kx-a 代 入 C 的 方 程 得 j-4kx4Q=0,故 X+2=4攵，XX2=-4a.从 而 鬲+后=铝+?X X22fcq应+(二 一 6)(jq+32)XX2k(+b)当 6=一。时，有&+用=0，则 直

5、线 尸”的 倾 斜 角 与 直 线 P N的 倾 斜 角 互 补，故 NOPM=/O P N,所 以 点 P(0,a)符 合 题 意.2.2015全 国 卷 U 已 知 椭 圆 C：9x2+y2=m2(m0),直 线/不 过 原 点。且 不 平 行 于 坐 标 轴，/与 C有 两 个 交 点 2,B,线 段 的 中 点 为(1)证 明：直 线 0 M 的 斜 率 与/的 斜 率 的 乘 积 为 定 值.(2)若/过 点 停，延 长 线 段 与 C交 于 点 P,四 边 形。1P5能 否 为 平 行 四 边 形？若 能，求 此 时/的 斜 率；若 不 能，说 明 理 由.解：证 明：设 直 线/

6、：y=fcc+贴 WO,6W0),A(X l,刃)，B(x2,y2),M(XM,yM).y=k x+b 代 入 9X2+J2=7?/2,得(炉+9)x2+2khx+/一 机 2=0,故 M=kb!9b=F+9,十 匕=必+9 Xj+%22于 是 直 线 O M 的 斜 率%=%=-IXM K即 k()M 9 k=-9.所 以 直 线 O M的 斜 率 与/的 斜 率 的 乘 积 为 定 值.(2)四 边 形 OAPB能 为 平 行 四 边 形.因 为 直 线/过 点 停 所 以/不 过 原 点 且 与 椭 圆 C有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 心 0H3.9由(1)得 直 线 O

7、M 的 方 程 为 y=-a.设 点 尸 的 横 坐 标 为 Xp,曲 9 2 2产 一 炉，且 2 炉?得 知 二 铲 丙 9 f+y 2 f 2 9 六 十 81+km即 孙 将 点 J L/m(3一%)/的 方 程 得 b=3 因 此 XM=k(%3)m3(后+9),四 边 形 OAPB为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 A B 与 线 段 O P 互 相 平 分，即 XP=2 X,”,hkm k(3)m于 是 行=2义 守/不 丁，解 得 k1=4一 币,左 2=4+币.因 为 火 0,k R 3,所 以 当/的 斜 率 为 4-币 或 4+由 时，四 边 形 O P 8

8、为 平 行 四 边 形.3.2013新 课 标 全 国 卷 II 平 面 直 角 坐 标 系 xy中，过 椭 圆 M：+*=l（a60）右 焦 点 的 直 线 x+y一 小=0 交 M 于 Z,B 两 点,P 为 的 中 点，且 O P 的 斜 率 为 今（1）求 M 的 方 程；（2）C,。为/上 两 点，若 四 边 形 N C 8 Q 的 对 角 线。8,求 四 边 形 N C 2 D 面 积 的 最 大 值.解：（1）设 4（修，刈），8（必，歹 2），0，泗），则 一 X2 Xi由 此 可 得 续 咛 4=_ 9=1.a（H+乃）X2X1因 为 X+X 2=2 X。，yi+y2=2y（

9、）,=5，人 0 z.所 以 a2=2ti2.又 由 题 意 知，V 的 右 焦 点 为（小，0）,故/-62=3.因 此 J=6,b23.2 2所 以 M 的 方 程 为 菅+七=1.O 3因 此|/8|=子.由 题 意 可 设 直 线 C D 的 方 程 为 夕=x+一 受 V 小,设。3，乃），。（X4，刈）y=x+n,由，/+上 得 3/+4+2 26=0,2任/2（9一 刀 5于 7E Xj.4=3 因 为 直 线 C D 的 斜 率 为 1,所 以|8|=小,4X3I=1/9一 以 由 己 知，四 边 形 A C B D 的 面 积 S=；|CD|M8尸 笠&/9-I.当=0 时，

10、S 取 得 最 大 值，最 大 值 为 5所 以 四 边 形/圆。面 积 的 最 大 值 为 空.一 一 2015年 其 他 省 份 类 似 高 考 真 题 2 2 八 1.2015天 津 卷 已 知 椭 圆 5+方=1(60)的 左 焦 点 为 尸(一 c,0),离 心 率 为 早 点/在 椭 圆 上 且 位 于 第 一 象 限，直 线 用 0 被 圆 工 2+丁=9 截 得 的 线 段 的 长 为 c,|F M=芈.(1)求 直 线 尸 A/的 斜 率；(2)求 椭 圆 的 方 程；(3)设 动 点 P 在 椭 圆 上，若 直 线 F P 的 斜 率 大 于，L 求 直 线 OP(。为 原

11、 点)的 斜 率 的 取 值 范 围.2 1解：(1)由 已 知 有/=,又 由/=6 2+。2,可 得 屋=3。2,/=2。2.设 直 线 用 0 的 斜 率 为 依 1 0),则 直 线 的 方 程 为 y=4 v+c).由 已 知，有-7峥 2+字 7 k 十 1 乙=，解 得 A=坐.2 2 6(2)由(1)得 椭 圆 方 程 为 券+金=1,直 线 力 0 的 方 程 为 y=(x+c),两 个 方 程 联 立，消 去 y,整 理 得 3 f+2 c x 5c2=0,解 得 x=等 或 x=c.因 为 点 M 在 第 一 象 限，所 以 的 坐 标 为 c,羊 c.由|尸 必=嘲(c

12、+c)2+。一()2=华,解 得 c=l,所 以 椭 圆 的 方 程 为 点+=1.(3)设 点 尸 的 坐 标 为(x,y),直 线 E P的 斜 率 为 3 则，=我，即 y=x+l)(x W-l),与 y=t(x+1),椭 圆 方 程 联 立 消 去 y,整 理 得 2/+3/。+1)2=6.又 由 己 知，得/=/6 2九 2 3A/7/1 1 2y2，解 得 jx 1 或 一 1 vx 0 1 3 X I 1)乙 设 直 线。尸 的 斜 率 为 7,则 7=?即 尸?X(XW O).与 椭 圆 方 程 联 立，整 理 可 得?2=1一 23,当 x 一 方，一 1时，有 尸 心+1)

13、0,于 是 三,得?右 乎，斗.当 x(1,0)时,有 y=x+l)0,因 此 2 0,于 是 加=一 J U，得 加 8,2 s3,综 上，直 线 O P的 斜 率 的 取 值 范 围 是 一 8,一 平 冲,毕.2.2015 山 东 卷 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中，已 知 椭 圆 C：+g=im b 0)的 离 心 率 为 坐 左、右 焦 点 分 别 是 外，西.以 居 为 圆 心 以 3 为 半 径 的 圆 与 以 出 为 圆 心 以 1 为 半 径 的 圆 相 交，且 交 点 在 椭 圆 C 上.(1)求 椭 圆 C 的 方 程.2 2(2)设 椭 圆 E：髭+为 1=1,

14、尸 为 椭 圆 C 上 任 意 一 点.过 点 P 的 直 线 交 椭 圆 E于/,B 两 点,射 线 P O交 椭 圆 E 于 点 Q.求 后 菖 的 值；(ii)求 面 积 的 最 大 值.解：(1)由 题 意 知 2a=4,则 a=2,用=奉/一=户,可 得 6=1,2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为%丁=1.2 2(2)由 知，椭 圆 E 的 方 程 为 六 十 号=1,设 P(x(),加)，由 题 意 知。(一 疝()，一 到 0).r2因 为 才+泗 2=1,且 上 铲 2+上”=i,即 煞+M)=,所 以 2=2,即 附=2.(ii)设/(即,为)，8(x2，及).将=h+加

15、代 入 椭 圆 E 的 方 程，可 得(1+4%2)f+8kmx+4，/16=0,由/0,可 得 加 2V 4+16好，则 有%1+%22,8km 4 广 一 161+4*修 M=+4 受，仪 16后+4毋 所 以,必|一+4必 因 为 直 线 了=京+加 与 歹 轴 交 点 的 坐 标 为(0,m),所 以 QZ8 的 面 积 S=mx X 2 I2 y 16 必+4?2 削|=1+4*21（16必+4一 m2）m21+4后将 夕=履+机 代 入 椭 圆 C 的 方 程，可 得(I+42)%2+Skmx+4?24=0,由 2 0,可 得,a?W 1+4足 由 可 知 04W1,因 此 S=2

16、 1(4 f)1=2勺 产+书.故 SW2小，当 且 仅 当，=1,即,/=1+4*时，S 取 得 最 大 值 2小，由 知，AB。的 面 积 为 35,所 以 面 积 的 最 大 值 为 6小.3.2015北 京 卷 已 知 椭 圆 C：夕+方=1(心 60)的 离 心 率 为 坐，点 尸(0,1)和 点 9,)(加#0)都 在 椭 圆 C 上，直 线 PA交 x 轴 于 点 M.(1)求 椭 圆 C 的 方 程，并 求 点 的 坐 标(用 加，表 示).(2)设 O 为 原 点，点 8 与 点/关 于 x 轴 对 称，直 线，8 交 x 轴 于 点 M 问：y 轴 上 是 否 存 在 点。

17、，使 得 N O 0 M=N C W 0?若 存 在，求 点 0 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.7=1,解：(1)由 题 意 得 Q满 足)，/=区 w|网.2rn M m m w.2 i住 I为 XN=yrp，E+=1，2所 以 yQ=|x加、N|=_ 2=2.所 以=啦 或 yQ=y2.故 在 y 轴 上 存 在 点。，使 得 N O Q M=N O N Q,点。的 坐 标 为（0,啦）或（0,一 啦）.2 14.2015浙 江 卷 已 知 椭 圆 方+丁=1上 两 个 不 同 的 点 4 8 关 于 直 线 尸 机 x+；对 称.（1）求 实 数 机 的 取 值 范 围；（2）

18、求 Z O B面 积 的 最 大 值（O 为 坐 标 原 点）.1 丫/因 为 直 线 y=与 椭 圆+丁=1有 两 个 不 同 的 交 点,-4所 以/=2价+2+正 0.,、t 2 1、将 的 中 点 叱 W W，篇 片）的 坐 标 代 入 直 线 方 程 y=m x-,解 得 方=一 勺 萨.由 得，一 芈 或 加 坐（2）令，=5 w（一 半 0）U（0,啕,则 A/-2 r4+2?+1AB=yfF+.3-;-,?+2且。到 直 线 Z 8 的 距 离 d=设 4 0 8 的 面 积 为 S）,所 以 S（r）=3 幽.2（/2；）+2W坐,当 且 仅 当=；时，等 号 成 立.故 A

19、AO B面 积 的 最 大 值 为 乎.【课 前 双 基 巩 固】知 识 聚 焦 1.（1）相 交 相 切 无 公 共 点（2）平 行 平 行 或 重 合 正 本 清 源 1.（1,0）解 析 只 要 参 数 7 的 系 数 为 零 即 可，即 对 任 意 参 数 2 只 要 y=0,方 程 X?+肛 2=1。/0）恒 成 立，即 曲 线 2+勿 2=口#0）恒 过 定 点（1,0）.2,解 析 设 8：x=（y+4,代 入 抛 物 线 方 程 得 4。-16=0.设 4（x”刃），Bg,yz）,则 了 必=16,所 以 S 为=r 2+必=+力 力=-16=0,所 以 n=T3.V 加 解

20、析 方 法 一：设/=x+y,则=%,代 入 椭 圆 方 程 得 6X210戊+5 一 5=0,J=100/2-120（?-1）0,解 得 一 般 W eW加，故 x+y 的 取 值 范 围 是 一,，的.方 法 二：从 三 角 换 元 的 角 度 考 虑，可 以 令 x=4cos。，y=s i n。,则 x+y=，cos。+sin 0 yf6sin（0+加，y 6.4丁 解 析 设|“碎=加，|A/&|=，则 加+=4,但 皿/r、口/+“24（阳+）2一 2?4 6、6 1根 据 余 弦 7E理 得 COSZ F1MF2=2 M N=而=-1 应 王 后 一 1=5,2当 且 仅 当，=2

21、 时，取 等 号，根 据 余 弦 函 数 的 单 调 性 可 得/阳 尸 2的 最 大 值 为 手.5.（1）3（2）1 解 析（1）结 合 图 形 分 析 可 知，满 足 题 意 的 直 线 共 有 3 条：直 线 x=0,过 点（0,1）且 平 行 于 x 轴 的 直 线 以 及 过 点（0,1）且 与 抛 物 线 相 切 的 直 线（非 直 线 尤=0）.（2）因 为 直 线 产 一 齐 3+2 与 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 尸 一 3寺 平 行，所 以 它 与 双 曲 线 只 有 1个 交 点.2 26表+尹 1 解 析 由 题 意 知 kAB=,设 A（X l,八），8（X

22、2，及），则 1,1（为+.口）,（甘 一 二）（川+乃）.（1 一 2）c=7+工+X2=2,A2 V.y7 1 _ _ o由”的 中 点 是（1,一 1）知,、,7=2二=5，又/一 户=9,解 得 J=18,y ry2=-2,a xi x2 22 2h2=9,故 椭 圆 E 的 方 程 为,+方=1.7./=2 炉+3 解 桐 将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立，消 去 y,得（3+2*裙+4加 X+2/2-6=0,由/=1 6 d 一 火 3+2好）X（2加 26）=0,得 机 2=2炉+3.第 1课 时 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系【课 堂 考 点 探

23、究】典 例 探 究 例 1 思 路 点 拨(1)设 出 椭 圆 C 的 方 程，利 用 所 给 条 件 列 出 方 程 组，解 出 即 可；(2)设 出 直 线 方 程 为 y=x+l),与 椭 圆 方 程 联 立 方 程 组，可 得 关 于 x”处 的 方 程，求 出 七 解：设 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为+方=1(心 Q0),c Se=/2，由 已 知 可 得 3,1下 十/一，a2 b2+c2,解 得。/=41.,故 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为:十 丁=1(2)由 已 知，若 直 线/的 斜 率 不 存 在，则 过 点 E(1,0)的 直 线/的 方 程 为 x=7,此

24、时|E/|=|E 8|,不 符 合 题 意，所 以 直 线/的 斜 率 存 在，设 直 线/的 方 程 为 y=A(x+l).5=,由 0.设 乃)，8(X2，次)，EI 8炉 4 4则 X+切=一 互 彳 X 必=游+由|E/|=2|E 8|,得 修+2=-3,联 立 解 得 k=*.所 以 直 线/的 方 程 为 v=乎(x+1).y=(。+1)x 1,变 式 题 解：因 为 直 线/与 抛 物 线 C恰 好 有 一 个 公 共 点，所 以 方 程 组 匕 y=ax有 唯 一 一 组 实 数 解，消 去 y,得(a+l)x-l2=a x,整 理 得(+1衣 2(3。+2我+1=0.(*)当

25、。+1=0,即“=一 1时:方 程(*)是 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程，解 得 x=-l,原 方 程 fx=1,组 有 唯 一 解=_ 当“+1关 0,即。羊 一 1时，方 程(*)是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程，判 别 式/=(3。+2产 一 4(+1)2=Q(5+4),令/=0,解 得=0 或=一.当 4=0 时，原 方 程 组 有 唯 一 解 1 I：4|x=-5,当 a=-1时，原 方 程 组 有 唯 一 解,=_2综 上，实 数。的 取 值 集 合 是 一 1，o 例 2 思 路 点 拨（1）利 用 已 知 条 件 及 双 曲 线 的 性 质 求 解 m 6

26、的 值 即 可 求 得 其 方 程；（2）求 出 直 线 方 程，与 双 曲 线 方 程 联 立，利 用 弦 长 公 式 即 可 求 解.2 2解：（1）；双 曲 线 C：夕 一 方=1 3 0,60）的 离 心 率 为 小，点（小，0）是 双 曲 线 的 一 个 顶 点，片 小，2 2 2.J，c=3,b2=c2a2=69。=小，.双 曲 线 的 方 程 为?一 总=1.X2 V2（2）由 知 双 曲 线 了 一 左=1 的 右 焦 点 为 尸 2（3,0）,又 直 线/的 倾 斜 角 为 30,.直 线/的 方 程 为、=亭。-3）,与 双 曲 线 的 方 程 联 立，整 理 得 5X?+

27、6 L 27=0,6 27设 4 a 1，为），8（X2，N），则 修+必=5，Xl 2=一 行，/.AB 1 7（X 乃）2 7（即+必）2 4工 工 2=邛 丁 2），则.+必=4,那 么|4用+|8 n=片+电+2=6,又+当 4 8 过 焦 点 F 时 取 得 最 大 值 6.例 5 思 路 点 拨（1）设 出 直 线 的 方 程，与 椭 圆 方 程 联 立，得 出 与 判 别 式 有 关 的 不 等 式，结 合 条 件 Z 8 的 中 点 在 直 线 上，综 合 求 得 机 的 取 值 范 围；（2）用 设 而 不 求 的 思 想 分 别 得 出 弦 长|明 和 点 O 到 直 线

28、A B 的 距 离，再 求 面 积 的 最 值.1 仔+丁=1,解：（1）由 题 意 知，W 0,可 设 直 线 18 的 方 程 为 y=正+6 由 j 尸 一 帚+儿 消 去“得 一 誓 x+/一 1=。1 2因 为 直 线 y=-6+6 与 椭 圆 5+丁=1有 两 个 不 同 的 交 点，所 以/=2/+2+4 0.tn将 的 中 点 吒 鲁 与，哈）的 坐 标 代 入 直 线 方 程 y=/nx+y 解 得/.由 得 加 V一 乎 或 心 里（2）令 片/（-4,0 M 0.则 _ A/2;4+2z2+y|阴=正+1;-,?+2/2+1且。到 直 线 A B 的 距 离 d=-F=.

29、r+l设 408的 面 积 为 S）,所 以 S（t）AB,d=T 4-2（/一+2 W 坐,当 且 仅 当 产=时，等 号 成 立.故/。8 面 积 的 最 大 值 为 当.【教 师 备 用 例 题】备 选 理 由 圆 锥 曲 线 中 的 弦 长 问 题 及 直 线 与 圆 锥 曲 线 关 系 的 判 定 是 高 考 常 考 的 知 识 点.解 决 这 类 问 题 的 基 本 思 想 是 将 直 线 方 程 代 入 曲 线 方 程，整 理 为 一 元 二 次 方 程，利 用 判 别 式、根 与 系 数 的 关 系、弦 长 公 式 求 解.例 1针 对 位 置 关 系 设 置，例 2 针 对

30、弦 长 公 式 的 应 用 而 设 置，旨 在 加 强 学 生 对 此 类 问 题 的 理 解 与 应 用.例 1【配 例 1使 用】设 抛 物 线 C：?=2 勿 0）的 焦 点 为 产，准 线 为/,/为 C 上 一 点，已 知 以 F 为 圆 心，凡 I为 半 径 的 圆/交/于 8,。两 点.若 NBFD=90,的 面 积 为 4啦，求 p 的 值 及 圆 尸 的 方 程；(2)若“，B,尸 三 点 在 同 一 直 线 m 上，直 线 与 加 平 行，且 与 C 只 有 一 个 公 共 点，求 坐 标 原 点 到 直 线 m,n 距 离 的 比 值.解：(1)由 已 知 可 得 4 8

31、 尸。为 等 腰 直 角 三 角 形，BD=2p,圆 尸 的 半 径|物|=|E8尸 物.由 抛 物 线 的 定 义 可 知 点 A 到 直 线/的 距 离 d=E4=也 p.因 为 的 面 积 为 4 V L 所 以:|8。卜=46，吗 X20 y2p=4-2,解 得 p=-2(舍 去)或 p=2.所 以 尸(0,1),圆 尸 的 方 程 为 x2+(y1)2=8.(2)因 为 4 B,F 三 点 在 同 一 直 线 加 上，所 以 N 5 为 圆 F 的 直 径，Z A D B=90.由 抛 物 线 的 定 义 知|4)|=|物 尸;u 卦 所 以/8。=30,直 线 加 的 斜 率 为

32、坐 或 一 坐.当 直 线，的 斜 率 为 由 时，由 已 知 可 设 直 线”：y=x+b,代 入 f=2 力 得 f 唔 一 2Pb=0.由 于 直 线 与。只 有 一 个 公 共 点，故/=5 2+即 6=0,解 得 6=一/因 为 直 线 7的 纵 截 距 仇=多 所 以 肾=3，所 以 坐 标 原 点 到 直 线?，”距 离 的 比 值 也 为 3.同 理 可 得，当 直 线，的 斜 率 为 一 当 时，坐 标 原 点 到 直 线 用，距 离 的 比 值 为 3.综 上，坐 标 原 点 到 直 线 机，距 离 的 比 值 为 3.2 2例 2 1配 例 2 使 用】2015成 都 诊

33、 断 已 知 椭 圆 H+方=1(60)的 右 焦 点 为(2吸，0),且 过 点(2小，0).(1)求 椭 圆 厂 的 标 准 方 程；(2)设 直 线/：v=x+m(meR)与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 4 B,且|NB|=3啦，若 点 尸(x(),2)满 足|丽=|两，求 劭 的 值.解：(1)由 已 知 得。=2小,c=2小，/.b2a2c24,x2 v2椭 圆 厂 的 方 程 为 为+；=1.(y=x+m9(2)由 1f+、2 得 4f+6?x+3加 2 12=0.直 线/与 椭 圆 厂 交 于 不 同 的 两 点 N,5,A J=3 6 TW2-1 6 X(3 7 M2-

34、1 2)0,得 加 2V 设 一 如 乃),8(X2，)，则 为，*2是 方 程 的 两 根，n.3m 3w212且 占 十 工 2=-亍，Xi X2 4.3又 由 4引=3也，得 一 1，+12=9,解 得 加=2.据 题 意 知，点 尸 为 线 段 4 8 的 中 垂 线 与 直 线 y=2 的 交 点.设 16 的 中 点 为 后（阳 加，则 必=色 卡=一 乎，性=必+加=半 3 1当 m=2 时,E y 21 3 此 时 线 段 A B 的 中 垂 线 方 程 为 厂；=-x+1,即 尸-x-1.令 j=2,得 祀=-3.当 机=-2 时，丐,一；,此 时 线 段 48 的 中 垂

35、线 方 程 为 y+x今 即 产 一 x+1.令 y=2,得 x（）=1.综 上 所 述，X0的 值 为 一 3 或 一 1.第 2 课 时 最 值、范 围、证 明 问 题【课 堂 考 点 探 究】典 例 探 究 例 1 思 路 点 拨（1）求 椭 圆 方 程 可 结 合 条 件 利 用 待 定 系 数 法 解 答；（2）用 设 而 不 求 思 想 表 示 出 弦 长|加 和 点/到 直 线 I的 距 离，再 求 出 面 积 的 最 值.x2 2 广=3,犷=4,卜 岩，解:由 已 知 可 设 椭 圆 方 程 为 5+2=1,则 有 V 1,3 解 得,2 或 C（舍 7+赤=1 W=1丫 2

36、去），所 以 椭 圆 C 的 方 程 为，+丁=1.（2）当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，SAMAN=L 当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设 直 线/：与 椭 圆 交 于 M x，弘），N（M，N），将、=也 代 入 椭 圆 方 程 得（1+4必 我 2-4=0,显 然/=16（1+4/）0.又 X|+x2=0,X1X2=-；必 2,所 以|A/N|=、l+42 7(XI+M)24XIX 2=W+产,yj I+4尸=4/+4后.点 A 到 直 线 I 的 距|T|离 十 l,所 以 Si2 kg.N o 2_./,I AMAN/1+4公 4户 一 4%+1 4k 4-N-=1-TW

37、=1-I所 以 当 左=-3时 S 3/取 得 最 大 值 2,此 时 S 山 N 取 得 最 大 值 班，综 上 可 知 所 求 面 积 的 最 大 值 为 啦.变 式 题 解：（1）设 动 圆 圆 心 的 坐 标 为 C（x,y）,根 据 题 意 得（y-2）2=y/y2+4,化 简 得 d=4y.,（2）方 法 一：设 直 线 尸。的 方 程 为 由 1=4 乃 消 去 y 得 幺 一 4Ax4 人=0,%+%2=4 左，设 尸（X|,乃），0（X 2,处），则，且/=16*+166,xi 2=-4 b,以 点 P 为 切 点 的 切 线 的 斜 率 为 川=%1,其 切 线 方 程 为

38、 y-n=&i（x-xi）,即 靖，同 理，过 点。的 切 线 的 方 程 为 尸 疝 一 为 2,设 两 条 切 线 的 交 点 为/（心，力），X1+%2 _.Xj 2 2k,联 立 由 修 W M，解 得 即 4（22,b）.XX2,丹=丁=_ 6，由 点 力 在 直 线 x-y-2=0 上，得 2A+62=0,即 6=22A.代 入/=16然+166=162+3232左=16（左 一 1）2+160,/.PQ=,1+小。-x2|=4.1+冈*+6,点 A（2k,-6）到 直 线 P Q 的 距 离 2”学,yjlc+1SA=；|P。卜 d=4,+切 7+6=4（必+6）1=,3,34（

39、*-2 左+2）=4（上 一 1）2+15，二 当 上=1 时，SA.。最 小，其 最 小 值 为 4,此 时 点 力 的 坐 标 为（2,0）.方 法 二：设/的,为）在 直 线 xy2=0 上，点 尸（xi，yi）,0（X2,）2）在 抛 物 线 f=4 y 上,则 以 点 P 为 切 点 的 切 线 的 斜 率 为 妨=g i，以 点 P 为 切 点 的 切 线 方 程 为 y-yi=5i（xxi）,即 y=2xx y，同 理，以 点 Q 为 切 点 的 切 线 方 程 为 y=5 2%X2,由 两 条 切 线 均 过 点 4。0,泗），得 泗=1沏 一 乃，y o=5 2 X（）一 及

40、，点 P,Q 的 坐 标 均 满 足 方 程 为=5。沏 一 y,即 直 线 P Q 的 方 程 为 y=&a r则，代 入 抛 物 线 方 程 消 去 y 可 得 x-2x（）x+4yo=0,则 X+X2=2X（）,x 1 X 2=4y（）fPQ-x-M|=202 2jo1%。2+1又 点 A（X（）9 jo）到 直 线 P Q 的 距 离 d S，APQ=PQ*=叔 2-4yo|5 2 4次=如 2-4y0）|=23=212+4 所 以 当 x o=2时，SA.2 最 小,其 最 小 值 为 4,此 时 点 N 的 坐 标 为（2,0）.例 2 思 路 点 拨（1）根 据 圆 与 x 轴

41、的 交 点 求 得 抛 物 线 的 焦 点，即 可 得 抛 物 线 的 方 程；（2）因 为 焦 点 厂 在 以 线 段 C O为 直 径 的 圆 E 的 外 部，所 以 F C 7 7 A 0,贝 依 1一 1）（必 一 1）+为 心 0,设 直 线/的 方 程 为 y=芈（xw）,与 抛 物 线 方 程 联 立，代 入 上 式，整 理 可 得 小 的 取 值 范 围.解：因 为 圆 G：x+J=o 与 x 轴 的 交 点 为（0,0）,（1,0）,且 抛 物 线 的 焦 点 在 x 轴 上，所 以 抛 物 线 的 焦 点 为（1,0）,故 抛 物 线 的 方 程 为 丁=4x.（2）设。（

42、修,刈），。（“2，及），因 为 焦 点/在 以 线 段 C D 为 直 径 的 圆 E 的 外 部，所 以 R 7 FD3即（为-1）（切-1）+9 2 0.设 直 线/的 方 程 为 了=亭 在 一 阶），于 是（X|1）（X21）+yiy2=（X|1）（X2 1）+|（X|m）（x2 m）=|4x|X2（m+3）（x,+x2）+3+即 4 X 1 X 2（加+3）,（X+工 2）+3+阳 20.由 0,解 得 z2小+3 或 m 0,得 加 一 3所 以 一 3加 2小+3.变 式 题 解：（1）由 题 意 得 圆 心 M（2,0）,半 径 尸=4,c=2,c 7又.a=3,由/=/一（

43、?,得 从=5,2 2二 椭 圆。的 方 程 为 a+5=L（2）直 线/过 椭 圆 的 左 顶 点（一 3,0）,由 题 意 知，直 线/的 斜 率 上 存 在，则 其 方 程 为+3),即 依 一 y+3A=0.直 线 l与 圆 M 相 交，.圆 心 M 到 直 线 1的 距 离 dr,即 凶 W+1：.(5k)20,Z0),2 2椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 京+5=1.2 2(2)证 明：设-(X,?),0(必，征 2)，由 椭 圆 的 标 准 方 程 为 号+5=1，可 知|PF|=yj(x+y2)2+y2=y j 5+啦)？+2 一 芋=2+坐 x,同 理|叫=2+冬 2，又

44、 MF=yJ(l+g 2+号=2+当,且 2MF=PF+QF,，2 X 2+乎=4+坐(X|+必)，修+巧=2.当 为 7 X 2时，由 丁，+22=4得 X|2%22+2(2 22)=0,.yiy2_ l.ri+.r2xix2-2y,+y2设 线 段 产。的 中 点 为 N(l，)，由。=扛=一/，得 线 段 尸。的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 y-=2(x-l),，(2x1)-y=0,故 该 直 线 经 过 定 点 0.(ii)当 修=检 时，尸 1，-2 1。1 乎 或 尸 1,2,0 L 2,线 段 P 0 的 垂 直 平 分 线 是 x 轴，也 经 过 定 点/0.综 上，线

45、 段 尸。的 垂 直 平 分 线 经 过 定 点 0.变 式 题 解：(1)：|M/=1=5=4+M，p=2,抛 物 线 C 的 方 程 为 尸=4x.又 M(4，。0)在 抛 物 线 C 上，.”2=4 X 4=1 6,即 f=4,，M(4,4).(2)设 直 线/i：4=鬲(工 一 4),“与 抛 物 线 C交 于 M,Z 两 点，工 舟 工 0.y 4=k(x4)，、由 彳?得 左。广 一 4y+1616左 1=0,y=4x 叶 4奇 设 N g 弘)，则 11616 高-，.44/：1 4(1|)2 0)的 离 心 率 为 乎，左、右 焦 点 分 别 是 巾，尸 2.以 E 为 圆 心

46、 以 3 为 半 径 的 圆 与 以 尸 2为 圆 心 以 1为 半 径 的 圆 相 交，且 交 点 在 椭 圆 C 上.(1)求 椭 圆 C 的 方 程.2 2(2)设 椭 圆 氏 分+为 2=1,尸 为 椭 圆 C 上 任 意 一 点.过 点 尸 的 直 线 y=fcv+?交 椭 圆 E于 4 8 两 点，射 线 P。交 椭 圆 E 于 点 0.求 假 的 值；（ii）求/B。面 积 的 最 大 值.解：（1）由 题 意 知 2a=4,则 a=2,又?=坐，a2 c2b2,a 2可 得 b=1,2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 亍+/=1.2 2（2）由（1）知，椭 圆 E 的 方 程

47、 为 篇+=1,设 尸（xo，泗），Q p 1=2,由 题 意 知 0（Ar。，一 亚 0）.因 为 才+加 2=1,（一 a o）（一 均 0）2-1 6 十 所 以 4=2,即 浮=2.（ii）设 N（x”口）,5（x2，2）.将 代 入 椭 圆 E 的 方 程，可 得（1+4后）+8左 加、+4#16=0,由/0,可 得 m216+4一 加 2所 以 用 一 冽 一+4炉 因 为 直 线 夕=丘+狙 与 y 轴 交 点 的 坐 标 为（0,w）,所 以 0 4 8的 面 积 S=T网 X X,2、16人?+4一 加 2同 1 W2yl(162+4-I)毋 1+4正 1+4叩 1+4白 设

48、 1+4炉=将 y=k x+m 代 入 椭 圆 C 的 方 程，可 得(1+4k1)x2+Skmx+4m2-4=0,由/2 0,可 得 相 2 1+4好.由 可 知 0 1,因 此 S=2(4一 力/=2寸-3+41.故 SW2小，当 且 仅 当 f=l,即 机 2=1+4必 时，S 取 得 最 大 值 2小，由 知，Z80的 面 积 为 3S,所 以 NB。面 积 的 最 大 值 为 6小.2 2例 2【配 例 2 使 用】2015 天 津 卷 已 知 椭 圆 5+5=1 3 乂 0)的 左 焦 点 为 F(-c,0),离 心 率 为 坐,点 M 在 椭 圆 上 且 位 于 第 一 象 限，

49、直 线 尸 M 被 圆？+/=与 截 得 的 线 段 的 长 为 c,甲 根=芈(1)求 直 线 R W 的 斜 率；(2)求 椭 圆 的 方 程；(3)设 动 点 P 在 椭 圆 上，若 直 线 用 的 斜 率 大 于 也，求 直 线 OP(。为 原 点)的 斜 率 的 取 值 范 围.2.解：(1)由 已 知 有 又 由。2=/+02,可 得 02=302,/=2 2设 直 线 尸 M 的 斜 率 为 碎 0),则 直 线 尸 W 的 方 程 为 尸 碓+c).由 已 知，有浦；：+12=,解 得 上=坐.f V*2 S3(x-H)2，解 得|x 一 或 一 1 令。设 直 线。尸 的 斜

50、 率 为 m,则 相=?即 y=mx(xW0).与 椭 圆 方 程 联 立，整 理 可 得/=1 一 23,当 x 一 1,1时，有 歹=z(x+l)0,因 此 加 v0,于 是 m=一、J刍 吾,得 一 一 8,23(2)由(1)得 椭 圆 方 程 为 券+2=1,直 线 尸 M 的 方 程 为 y=(x+c),两 个 方 程 联 立，消 去 y,整 理 得 3X2+2CX-5 C2=0,解 得 x=一|c或 x=c.因 为 点 V 在 第 一 象 限，所 以 的 坐 标 为 c,事.由|F M=/(c+c)2+芈 c一。2=隼，解 得 c=l,所 以 椭 圆 的 方 程 为+=J J J