非齐次线性方程组.pdf

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1、非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论摘要：摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。关键字：关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换引言a11x1 a12x2 a1nxn b1a x a x a x b2122222nn2非其次线性方程组（）

2、am1x1 am2x2 amnxn bn的矩阵形式为AX B.取B 0,得到其次线性方程组AX 0称为非其次线性方程组AX B的导出组。我们知道非其次线性方程组AX B的解有以下的一些性质：（1）若u1是非其次线性方程组AX B的一个解，v1是其导出组AX 0的一个解，则u1 v1也是AX 0的一个解。证明：因为u1是非其次线性方程组AX B的一个解，所以有Au1 B，同理有Av10，则由Au1 v1 Au1 Av1 B 0 B.所以u1 v1是非其次线性方程组AX B的解。（2）若v1,v2是非其次线性方程组的两个解，则v1v2是其导出组的解证明：由Av1 B,Av2 B,所以有Av1v2

3、Av1 Av2 B B 0,故v1v2为其导出组的解。2.定理（非其次线性方程组解的结构定理）若v1是非其次线性方程组AX B的一个解，v是其导出组的通解，则u1 v v1是非其次线性方程组的通解。证明：由性质（1）可知u1加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解v，一定是u1与其导出组某一个解v1的和，取*v1 v*u1由性质（2）可知，v1是导出组的一个解，于是得到v u1 v1，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表*精品示。因此，根据定理我们可

4、以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解，如果v0是方程组（）的一个特解，1,2,nr是其导出组的一个基础解系，那么（）的任一*个解都可以表示成：u u0 k11 k22 knrnr3.由上面 2 的证明过程，我们可以知道其次线性方程组AX 0的全部解可由基础解系1,2,nr线 性 表 示 出（其 基 础 解 系 含 有n r个 解 向 量），即k11 k22 knrnrk1,k2,knr为任意实数。那么，当非其次线性方程组则AX B至多有多少个线性无关的解向量？AX B的全部解又如何表AX B有解时，示？定理若其次线性方程组AX 0的基础解系为1,2,nr，当非其次线性方程组AX B

5、0有 解 时，则 它 至 多 且 一 定 有nr 1个 线 性 无 关 的 解 向 量1,2,nr,nr1，AX B的通解可以表示为k11 k22 knrnr knr1nr1为满足关系式k1 k2 knr knr11，的任意实数。证明：（）若是非其次线性方程组AX B的解，则为非零解向量，那么向量组，1,2,nr线性无关（否则可由1,2,nr线性表示，与是AX B的解矛盾）。那 么，易 证1,21,32,nr1nr都 是AX B的 解，并 且1,2,nr,nr1线性无关。这说明AX B至少有nr 1个线性无关的解向量。下面再证AX B至多有nr 1个线性无关的解向量。反证：若AX B有n r

6、2个线性 无关的 解向量1,2,nr1,nr2，那么易 证1nr2,2nr2,nr1nr2均为AX 0的解，并且线性无关。这样AX 0具有nr 1线性无关的解向量矛盾，所以，AX B至多且一定有nr 1个线性无关的解向量AX B。（）对于AX B的任意一个解，一定可以表示成它的一个特解与其导出组AX 0的基础解系的线性组合，即 k11 k22 knrnrk1,k2,knr为任意常数那么精品 k11 k22 knrnr1 k1 k2 knr k11 k22 knrnr1 k1 k2 knr1 k12 k23 knrnr1（k1,k2,knr为任意实数，且组合系数1 k1 k2 knr,k1,k2

7、,knr之和等于 1.这说明，AX B的任意解都可以表示成这样的形式。另 一 方 面，由 于1,2,nr,nr1都 是AX B的 解，对 于k11 k22 knrnr knr1nr1，只要满足k1 k2 knr knr11仍然是所以，AX B的解，AX B的通解可以表示成k11 k22 knrnr knr1nr1，且k1,k2,knr,knr1为满足关系式k1 k2 knr knr11，的任意实数。例 2设0是线性方程 组的一个解，1,2,3,t是它导出组的一个基 础解系，令r10,r20,rt1t0。证 明：线 性 方 程 组 的 任 一 一 个 解 u1r1u2r2ut1rt1，其中u1u

8、2ut11。证明：由题可设方程组的任一解可以表示成0u21ut1t（u2,ut1为常数）令u11u2ut1，则(u1ut1)0u21ut1t u10u2(10)ut1t0 u1r1u2r2ut1rt1（1）引理：设A为mn矩阵，用初等行变换，把A化为阶梯形矩阵，并使该梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元素（从左算起）为 1，且该元素所在列的其他元素为零，这样的阶梯形矩阵的为A的行简化阶梯形矩阵。定理：非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是，它的增广矩阵A的秩r(A)与系数矩阵A的秩rA相等，且A的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于 2.证明：必要性方程组有全非零解，则必须满

9、足方程组的条件，因而，r(A)rA.不妨设其秩为r且A的简化阶梯矩阵为：精品1000000100000000l1,r10l2,r1l1,r2l2,r1l1,nl2,nlrn001lr1,r1lr2,r2000000d1d2dr（2）00且其对应的方程组为x1 l1,r1xr1l1,r2xr2x2 l2,r1xr1l2,r2xr2xr lr,r1xr1lr,r2xr2l1nxnd1l2nxnd2lrnxndr li,n di 0，至少n）若对某个ri i r有li,r1 li,r2则xi0，这和方程组（2）有全非零全部解矛盾，故对每个i（r 1,2,存在一个j（r 1 j n）使lij0或di

10、0，即（2）中第i（r 1,2,两个非零元素。nrnr充分性：设 N 是充分大的正数，令xr1 N，xr1 N，r）行至少有xn N，当lij 0r）将其带入（2）得：xi li.r1Nnrli,r2Nnr1li,Ndi（r 1,2,（r 1 j n），di0时，显然成立；当上式右端至少存在一个非零系数，设第一个非xi li,rkNnrk1li,rk1Nnrk零系数为li,rk1 k nr，则 li,rkNnrk1linN dili,rk1Nnrkli,nN di1nrk1li,rkN因为lim所 以li,rk1Nnkrli,rkNli,nN dinrk1N 0Nlimxi，i 1,2,r，故

11、 存 在 充 分 大 的 正 数Ni，使xi li,rkNnrk1li,rk1NnrklinN di 0（i 1,2,r）；可使取N maxN1,N2,Nr，精品xi li,rkNnrk1li,rk1NnrklinN di 0（i 1,2,r）这样，就得到方程组的一个全非零解x x1,x2,例 1方程组xr,Nnr,Nnr,Nnr1,NTx12x34x4 x51x1 x22x36x4 x5 2有全非零解的充要条件？x1 x2 x36x4(c1)x5 0 x 3x 4x c1 x 352412x x 5x 10 x c3x 534512解:其增广矩阵A的简化阶梯形矩阵为1000002100100

12、001 2210c32 00000041故由上述定理可知，该方程组有全非零解的充要条件是c为任意实数。x1 x2 x3 x4 1例 2 已知非齐次线性方程组4x13x25x3 x4 1有三个线性五官的解，ax x 3x bx 13412（）证明方程组系数矩阵A的秩rA 2,()求a,b的值及方程组的通解。解：（）设1,2,3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则12,13是导出组Ax 0的线性无关解，所以nrA 2，从而rA 2，显然矩阵A中存在不为零的 2 阶子式，又有rA 2，从而秩rA 2。（）对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换，有精品1A4a10011111111101351115313b101a3abaa111111153042bb4a542a于是r Ar A2故a2,b3，又因为2,1,1,0是Axb的解，且T12,1,1,0,24,5,0,1是Ax0的 基 础 解 系，所 以 方 程 组 的 通 解 为k1 1k22（k1,k2为任意实数）TT精品