随机信号课后习题答案2.pdf

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1、2.1 随 机 过 程 X)=/cosm+Bsinm,其 中。为 常 数，4、8 是 两 个 相 互 独 立 的 高 斯 变 量,并 且 理 图=旦=0,EA2=EB2=a2,求 取。的 数 学 期 望 和 自 相 关 函 数。解：EX(t)=EA cos cot+B sin cot=EAcoscot+EBncot=EAcosa)t+E5sin6yr=0 CEA=EB=0)Rx(/j,/2)=1X(4)X2)=E(4cos+BsinGG(4cos 2+BsnM2)=E A2 cos cot cos cot2+ABccotx sin cot2+JBsin6y/,cos a)t2+Basina】s

2、in2=J2 COS COScot2+JE5cos69/l sin cot2 EAEBncotx cos69/2+EB2sin(vt sin%=ElTicos coscot2+EB2sincot sincot2(EX=DX+(EX)2)=。2 cos 以，2 7i)=a2 cos 69(r)(r=Z2-/j)2.2 若 随 机 过 程 X(f)在 均 方 意 义 下 连 续，证 明 它 的 数 学 期 望 也 必 然 连 续。证：由 均 方 连 续 的 定 义 lim EX(t+Ar)-X(/)/=0,A/T O 1 1展 开 左 式 为：lim EXt+A/)-X(t+4)X(/)-X(t+

3、A)XQ)+X2(/)AI T O=lim EX(t+A/)(X(/+kt)-X(/)EX(/)(X(/+&t)-X)=04/-0固 有 lim EX(t+/)-=0，证 得 数 学 期 望 连 续。2.3 证 明 随 机 过 程 存 在 均 方 导 数 的 充 分 条 件 是：自 相 关 函 数 在 他 的 自 变 量 相 等 时 存 在 二 阶 偏 导 数 粤 0 1，。次。2 1证：丽(廿 2)=lim R+A 3 2)-叫，2)=lim 讥 X(/|+AGX(/2)EX(/JX(12)dt 包 田 A%M-o A/1 X&+M)X G)X 6)X G)_ 司 X2)X(4+5)X(4)

4、一 lllTl llITlA/O/1 M-0/1/即“)_ 11m 仇 X(4+A4)X(/1+AG-X(G 仇 X2)X(4+A4)X(GA/i-0,A/2-O S Gn m 仇 四 d U 3 3 2 1 在,/2 时 存 在,A/|-0,A/2-0 A/1 A/2也 就 是 lim E X+，/）-X（/）2 存 在。&TO A/2.4 判 断 随 机 过 程 X（/）=4cos（o/+。）是 否 平 稳？其 中。为 常 数，/、。分 别 为 均 匀 分 布 和 瑞 利 分 布 的 随 机 变 量，且 相 互 独 立。1 a-力（夕）=丁 0 夕 02乃 a解：Ecos(cot 4-0)

5、=2J；c os(加+)1 d(p=6o 2万 EX(t)=EAcos(M+0)=EAEcQso)t+)=0Rx(/,/+T)=EA2 C O S(6 9/+0)C O S 69(/+f)+0=E A1 EC0S(lC0t+2+C O T)+C O S69fl=J2c o s d r与 时 间 的 起 点 无 关，且 a x?8因 此，是 广 义 平 稳 的 随 机 过 程。2.5 证 明 由 不 相 关 的 两 个 任 意 分 布 的 随 机 变 量/、B构 成 的 随 机 过 程 X。)=/c o s W+3sin 卬 是 宽 平 稳 而 不 一 定 是 严 平 稳 的。其 中 为，为 常

6、 数，/、4 的 数 学 期 望 为 零，方 差。2相 同。证：EX(t)=Jcos(2?0/+，5siny0/=0Rx(/,/+r)=E(y4cos c oQt+5 sin gZ)(4 cos 豌。+c)+8 sin+r)=EA2 cos a)ot cos g(/+z)+4 8 cos g f sin g+r)+4 8 sin gZ cos6 90(/+r)+52 sin a)ot sin%(f+T)=J2CO S cos 6 90(Z+r)+E?lEBcos()t sin g(/4-r)+EAEBy sin c o(t cos 供)(，+r)+EB2 sin sin g Q+r)2=4 2

7、 cos o cos g(/+/)+EB2 sin sin/Q+汇)(E X 2=O X+(I X)2)=CT2 COS VE 2(/)0/3+E(A2B COS卬 cosa)()t2+AB?cos例 由 sin a)ot2+AB2 sin 供 在 cos c o(t2+B3 sin%sin a)Qt2)sin c o()t3=EA3 c o s c o s例 府 cosC D y+EBy sin sin c o t2 sin 3 6 可 见，该 随 机 过 程 构 不 成 三 阶 平 稳，因 此 不 符 合 严 平 稳 过 程 的 要 求。第 六 次 作 业：练 习 二 之 6、7、8、9、

8、10题 2.6 有 三 个 样 本 函 数 玉=2,%=2cosf,X3=3sin/组 成 的 随 机 过 程 X。)，每 个 样 本 函 数 发 生 的 概 率 相 等，是 否 满 足 严 平 稳 或 宽 平 稳 的 条 件？解：X(Z)=X(/),x2(r),x3(/)=2,2cos/,3sintPi=P2=Pi=L3 1仇 x(/)=Z x,(/)4=(2+2cos/+3sin/)/=i 3由 于 数 学 期 望 与 时 间 相 关，不 为 常 数，因 此 不 满 足 一 阶 平 稳，也 就 不 满 足 严 平 稳 或 宽 平 稳 的 条 件。2.7 已 知 随 机 过 程 丫(/)=0

9、53/+。)，为 在 0,24内 均 匀 分 布 的 随 机 变 量，A 可 能 是 常 数、时 间 函 数 或 随 机 变 量。A 满 足 什 么 条 件 时，X)是 各 态 历 经 过 程？解:(1)考 查 X)为 平 稳 过 程 的 条 件 在 A 为 常 数 或 与。不 相 关 的 随 机 变 量 时，满 足 EX(t)=ORx(t,t+7)=EX(t)X(t+r)=EA2 cos(cot+)COSG(，+r)+1 9、=EA Ecos(2 m+20+COT)+Ecos cor1 2=E A CQSO)T=R x。(2)考 查 XQ)为 各 态 历 经 过 程 的 条 件 在 A 为

10、常 数 或 与。不 相 关 的 随 机 变 量 时，满 足 X(7)=lim fx(/)6/=lim h cos(Z+(P)dt=lim cossincoT=0=EX(t)-T T B TT v coT i i而 _ i T i TX(t)X(t+r)=lim(X X(7+z)d7=lim f2cos(69/+0)cosdy(/+r)+0(7/r-oo 2T-iidtA2=cosiyr2只 有 在 A 为 常 数 时，满 足 X(/)X(/+T)=R*(r)。欲 使 X(/)是 各 态 历 经 过 程，A 必 为 常 数。2.8设 X 和 丫 是 相 互 独 立 的 平 稳 随 机 过 程，他

11、 们 的 乘 积 是 否 平 稳？解：令 z(/)=x(/)y(/)EZ(t)=X(/)K(/)=EX(t)EY(t)=mxmYRzt,t+r)=EX(/)y(/)X(/+r)y(Z+r)=仇 X(/)XQ+r)EY(t)Y(t+项=尺 八 7)&)=用 又 Z2(/)X2(/)y2(Z)oox(/)和 丫 的 乘 积 是 平 稳 的。2.9 求 用 X。)自 相 关 函 数 及 功 率 谱 密 度 表 示 的 y)=X)cosQ)Z+。)的 自 相 关 函 数 及 功 率 谱 密 度。其 中，。为 在 0,2勿 内 均 匀 分 布 的 随 机 变 量，X)是 与。相 互 独 立 的 随 机

12、过 程。解：RY(t,z+r)=EK(/)y(z+r)=X(/)cos(y0/+0)X(r+r)cosy0(/+r)+0=EXt)X(t+r)Ecos(y0/+0)cosy()(/+r)+07?v(r)cosy0r=Ry(J)8 00SY(,)恺 43+为)，+/3-Hr1 S*(g+g)+S(o o r-o o 2tnx=0,14=&(。)-R X(8)=(1)X)的 一 维 概 率 密 度：Zr(x/)1 力-L-re 2V 2(2)平 稳 高 斯 过 程 n 维 概 率 密 度 等 于 n 个 以 为 概 率 密 度 的 乘 积。f X（*1，2 4，2）1-lx-712.11对 于 两

13、 个 零 均 值 联 合 平 稳 随 机 过 程 X。）和 y”），已 知 4=5,才=1 0,说 明 下 列 函 数 是 否 可 能 为 他 们 的 自 相 关 函 数，并 说 明 原 因。(1)Ry(r)=-cos(6r)e*r(3)描(r)=6+4e-3(4)(5)&=5(2(6)sin(3r)/?r(r)=5-3rRX(T)=5sin(5r)&(r)=5e+解：（a）自 相 关 函 数 是 偶 函 数，仅 有（1）、（2）、（3）、（6）满 足;RX(0)RX(T),(a)中 仅 有(2)、(3)、(6)满 足;（c）对 于 非 周 期 平 稳 过 程 有 a=&,（。）-&（），（6

14、）中 仅 有 满 足。因 此，（6）是 自 相 关 函 数。2.12 求 随 机 相 位 正 弦 信 号 X(/)=cos(6V+。)的 功 率 谱 密 度，为 在 0,2万 内 均 匀 分 布 的 随 机 变 量，g 是 常 数。Rx(Z,/+r)=EX(Z)X(/+r)=Ecos(y(/+)cos/+7)+解：1=cos0r00|00Sx(69)=Rx(T)eJMrdT=jcos690re_7(yr6/r-0 0 2 FTT=-(y+(y0)+(ty-y0)2.13 已 知 随 机 过 程 X（/）=4 X）,式 中 q 是 常 数，X,（/）是 平 稳 过 程，并 且 相/=1互 之 间

15、 是 正 交 的，若 Sx,（表 示 毛 的 功 率 普 密 度，证 明 x（/）功 率 谱 密 度 为 S*3）=E/S*（/=i证：因 X）是 平 稳 过 程，并 且 相 互 之 间 是 正 交 的，为=0,ioj。%=E X（t）X（t+r）=+r）?=i/=i=右 4/%夕)用(/+T)=/泳 刘/=1/=1Sx(y)=jRx(r)eJ&,rd T=住 1G S*()oo oo i=l i=l2.1 4 由 X(t)和 y(/)联 合 平 稳 过 程 定 义 了 一 个 随 机 过 程 V(t)=X(t)cos/，+丫 sin J(i)x 和 r(z)的 数 学 期 望 和 自 相 关

16、 函 数 满 足 那 些 条 件 可 使 r(/)是 平 稳 过 程。(2)将(1)的 结 果 用 到/，求 以 X。)和 y 的 功 率 谱 密 度 和 互 谱 密 度 表 示 的 的 功 率 谱 密 度。(3)如 果 x(/)和 丫 不 相 关，那 么 修 的 功 率 谱 密 度 是 什 么？解：(1)以/=EX(t)cosco0t+r(/)sin(yor=娟 X cos6V+EY(/)sing/欲 使 Efy”)与 时 间 无 关，不 随 时 间 函 数 cos供/、s i n g/变 化，X(/)和 丫(/)的 数 学 期 望 必 须 是 EX(/)=0,&丫(/)=0；R t,t+r

17、)=E V V(t+T)=X(7)cos/+y(/)sin/X。+r)cos g(/+T)+丫 Q+r)sin g(7+r)=EX(/)X(7+T)cos 0Z cos&0(Z+r)+X(/)7(/+r)cos 砾/sin%(/+r)+EYtX(t+r)sin 4/c o s g(/+r)+EY(t)Y(t+r)sin 0/sin 0(/+r)=R v(r)cos 6 70/cos 0(/+r)+7?A.r(r)cosiy(/sin+r)+RYX(r)sin a)(t cos*(/+r)+Ry(r)sin a)(t sin 6 y o(/+r)在“)=曷)水 制(7)=-&*(T)时，上 式

18、可 写 作 与 时 间 起 点 无 关 的 表 达 式：Rp(r)=Rx(r)cos yor+(r)sin c t)or因 此,当 康 x(/)=o闺 y(/)=o,&)=&)，&/)=-&*时，)是 平 稳 过 程。(2)对&(c)=/?A.(r)cosy()r+?AT(r)sin(yor 两 边 同 时 作 傅 氏 变 换:Sy(0)=Rv(r)eJ(t)T dr=j Rx(r)cos C O0T+(r)sin a)QTeJ(1)Tdr so X2 Bx(一 o)+s x(S+%)+2 S%y(口 一 o)+S(口+0o)(3)x(/)和 丫 不 相 关，玄 的 互 功 率 谱 密 度 为

19、 零。Sp(。)=-Sx(-a)0)+Sx(v+(v()2.1 5设 两 个 随 机 过 程 X)和 丫 各 是 平 稳 的，且 联 合 平 稳 X(7)=cos(y(/+0)7(/)=sin(g/+。)式 中，。为 在 0,2万 内 均 匀 分 布 的 随 机 变 量，乃 是 常 数。他 们 是 否 不 相 关、正 交、统 计 独 立。解：EX(t)=EY(t)=0Rx(r)=R、,=gcosgc7?AT(r)=EX(t)Y(t+r)=Ecos(0，+到 sin(gf+仞=gsin grCyy(r)=R XY-X(/)Ey(/)=|sin gr w 0XQ)和 丫 是 相 关 的，不 是 统 计 独 立 的;又 以/QwO,X(z)和 丫 是 非 正 交 的