2023年数值计算方法试题集及答案.pdf

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1、 数值计算方法 复习试题一、填空题:4-1 0A=-1 4 -10-1 4A =答案：1-1/401-4/1 5则A的L U分解为7 4 -1 01 5/4 -15 6/1 5 _A =2、已知f(l)=L 0,/(2)=1.2,/=1.3,则 用 辛 普 生(辛 卜 生)公 式 计 算 求f J 得J(fM d x -,用三点式求得/*O答 案：2.3 6 7,0.2 53、八2)=2,3)=1,则过这三点的二次插值多项式中V的系数为,拉格朗日插值多项式为 O科壮,L,M =a-2)(x-3)-2(x-l)(x-3)-(x-l)(x-2)合 菜：-1,2 24、近似值%*=0.2 3 1关于

2、真值=0.2 2 9有(2 )位有效数字；5、设/(X)可微，求方程x =/(x)的牛顿迭代格式是()；答 案 用n 1-/U)6、对/(x)=x 3 +x +l,差商打 0,1,2,3 =(1 ),打0,1,2,3,4 =(Q )；7、计算方法重要研究(截 断)误差和(舍入)误 差；8、用二分法求非线性方程/(%)=0在区间3力)内的根时，二分次后b-a的误差限为(k);9、求解一阶常微分方程初值问题、=/(%,y),M%()二 泗的改善的欧拉公h式 为（y +i .匕?+/（*，）+f（&+i，+i）.1 0、已 知 川）=2,4 2）=3,h 4）=5.9,则 二 次 N e w to

3、n 插值多项式中X2系数为（0.1 5 ）;1k两点式高斯型求积公式J3dx七）,代数精度为（5 ）;1 2、解 线 性 方 程 组 Ax的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均不为零）。s 3 4 6y =1 0 H-1-z-71 3、为 了 使 计 算.A 1（XT）?（A 1）3 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为一=1+（3 +（4-6）小=_,为 了 减 少 舍 入 误2差，应 将 表 达 式 国 T-a 丽 改写为 e 0 0 1+V 1 9 9 9 。1 4、用二分法求方程，（x）=x 3 +x-1 =0 在区间 0,口内的根，进行一步后根的所在区间为 0.

4、5,1 .进行两步后根的所在区间为 0.5,0.7 5 o1 5、计算积分二4叱 取 4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4 2 6 8 ,用 辛 卜 生 公 式 计 算 求 得 的 近 似 值 为 0.4 3 0 9 ,梯形公式的代数精度为，辛 卜 生 公 式 的 代 数 精 度 为 3 。3%|+5 1 2 =11 6、求解方程组1 0-2%+2 =的高斯一塞德尔迭代格式为_X产）=（l-5 x产）/3 l x 尸）=r尸）/2。该迭代格式的迭代矩阵的谱半径P（用）=1 2 _o17、设/（o）=J=1 6,/（2）=4 6,贝 I/|（x）=/,（%）=x（x 2）_,/（x）

5、的二次牛顿插值多项式为N,x)=1 6 x +7 x(x-l)_o f(x)dx X A /(XZ：)1 8、求积公式总 的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2/1 +1 )次代数精度。1 9、已 知/(1)=1/(3)=5/(5)=3,用 辛 普 生 求 积 公 式 求/*)%(1 2 )。2 0、设/(1)=1,五2)=2,/(3)=0,用 三 点 式 求 广 2.5 )。2 1、假如用二分法求方程d+x-4 =0在区间口内的根精确到三位小数,需 对 分(1 0 )次。/0%1S(x)=2 时+X：+3儿(%)=4 2。、=0(x+x+3(,、f 斓=%+/琰(尤，4)9=/(x，

6、y)J _ h(0 24、解初值问题1 y(/)=y。的改善欧拉法rn+l =+和(为，得)+/*+用)】是2 阶方法。25、区间 M 上 的 三 次 样 条 插 值 函 数 S 3在a,b上 具 有 直 到2 阶的连续导数。26、改 变 函 数G-爪（1）的形式，使计算结果较精确，=焉+屋。27、若用二分法求方程/（6 =。在区间 1,2内的根，规定精确到第3位小数，则需要对分次。S（x）=2,-X-128、设 卜+以+bx+G 1JW2是3次样条函数，则a=3 ,b=-3 ,c=1 。29、若用复化梯形公式计算J。,公，规定误差不超过i o ,运用余项公式估计，至少用 4 7 7个求积节点

7、。玉 +1.6%2=130、写 出 求 解 方 程 组t-0-4 x+=2的G a u s s-Sei del迭代公式卜”=1-1.6姗 f o -1.6 x”=2+0.4x产）,迭代矩阵为 -0-64；,此迭代法是否收敛收敛_。_5 4）3 1、设A=1 4 则|A|J 9。4 8 2A=2 5 73 2、设矩阵 136的 A=LU,则 u=482u=0 160 0 23 3、若/(X)=3/+2X+1,则差商/2,4,8,1 6,3 2 =334、数值积分公式）+8八 ）+/的 代 数 精 度 为20 1 5x=12 F 11 1235、线性方程组1 0 _ 3 _的最小二乘解为_ _ _

8、 _ _ _ _ _3 2 14=2 0 4设 矩 阵 L 3 5 _36分解为ALU则u=30024-30110T212二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组Ar=的必要条件是（C）。A.A的各阶顺序主子式不为零 B.P（A）1C.。-0=1，2,D.M l 12 2-3 A=0 5 12、设 0 0-7J,则夕缶）为（C）.A.2 B.5 C.7 D.33、三点的高斯求积公式的代数精度为（B）0A.2 B.5 C.3 D.44、求解线性方程组A户）的LU分解法中，A须满足的条件是（B）oA.对称阵 B.正定矩阵C.任意阵 D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A）产生的误差。A

9、.只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观测与测量 D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有（B）位有效数字的近似值。A.6 B.5 C.4 D.77、用1+x近 似 表 达e，所产生的误差是（C）误差。A.模型 B.观测 C.截断 D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）oA.控制舍入误差 B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算X _9、用1+3近似表达加日所产生的误差是（D）误差。A.舍入 B.观测 C.模型 D.截断10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字。A.5 B.6 C.7 D.811、设/(0)

10、=3/(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)0A.-0.5 B.0.5 C.2 D.-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C）oA.3 B.4 C.5 D.213、(D)的3位 有效数字是0.236X102。(A)0.0023549 X 103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54x io-i14、用简朴迭代法求方程f(x)=0的实根，把 方 程f(x)=0表 达 成x=(p(x),则f(x)=0的根是(B)0(A)y=(p(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(p(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(p(x)的

11、交点3%,一%+4巧=1 o (B)/(xo)r(x)o (o /ao)r u x o (D),y(xo)r(x)o1 9、为求方程x 3 x 2 1=0 在区间 1.3,1.6 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )0/=一迭代公式:%+|=(A)x-1 4A-1X =1 +4,迭代公式：xk+i=1 +3(B)x X k(C)/=1 +X?,迭代公式：4+1 =(1 +X；)3丁 1=_?,迭代公式:=1+1(D)4+Z+1y=f(x,y)。欧拉法的局部截断误差是0;改善欧拉法的局部截断误差是0;四阶龙格一库塔法的局部截断误差是(A )(A)O(

12、h 2)(B)0(h 3)(C)O(h 4)(D)0(h 5)2 1、解方程组A x b的简朴迭代格式心川=母+g 收敛的充要条件是()o(1)Q(A)I,(2)P(B)I,(4)0(B)12 2、在牛顿-柯特斯求积公式：一 噂 0 6 )中，当 系 数 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)n S,(2)n 7,(3)n 1 0,(4)n6,2 3、有下列数表X00.511.522.5f(x)-2-1.7 5-10.2 524.2 5所拟定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次2 4、若用二阶中点公式=+

13、矿区+5，/X，/）求解初值问题V =-2 y,y（0）=l,试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）o(1)O /Z 1,(2)0 /z l,(3)0 /?1,(4)0 /z l2 5、取8*1.7 3 2计算x =(G-1)%下列方法中哪种最佳？()1 6 1 6(A)28-16A/3.(B)(4-2V3)2.(C)(4+2扬？；)(V3 +1)4 o.f I 0 x 2S(x)=设M x)是 认 为 乙=依 节点的L a g r a n g e插值基函数，则9ZM(A)=仁()(A)x；(B)k；(C)i；(D)l o3 3、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(

14、A)5；(B)4；(C)6；(D)3 oc/、X3 0 x 2S(X)=1 a3 4、已知 l 2(x-l)3+(x-2)+f t 2 x 4是三次样条函数，则“，的值为()(A)6,6；(B)6,8；(C)8,6；(D)8,8。3 5、已 知 方 程2 x-5 =0在x =2附近有根，下列迭代格式中在x =2不收敛的是()L 5 2 x；+5_ _ _ _ _ _ x j 2 +x=*_(A 卢L32%+5；(B)A+l v s；(C 卢+I =右7*一5；(D)K+3X1-2 O3 6、由下列数据X01234/(x)1243-5拟定的唯一插值多项式的次数为（）(A)4；(B)2；(C)l；

15、(D)3 o37、5个节点的G a u ss型求积公式的最高代数精度为（）(A)8；(B)9；(C)1 0；(D)l l o三、是 非 题（认为对的的在后面的括弧中打4,否则打x）1、已知观测值（如乃）G =0，l，2,，用最小二乘法求n次拟合多项式PQ）时，PQ）的 次 数 n 可以任意取。（）X22、用 1-2 近 似 表 达 c o s%产生舍入误差。（）（x-x0）（x-x2）3、5一 人）（尤1-彳2）表 达 在节点为的二次（拉格朗日）插值基函数。（4 ）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可运用前一次插值的结果。（q ）3 11、-2 5 35、矩阵A12 5）具

16、有严格对角占优。（）四、计算题:1、用 高 斯-塞 德 尔 方 法 解 方 程 组4Xj+2X2 4-x3=11X+4+2X3=182项 +5匕=22,取 XO)=(0,0,0),迭 代 四 次（规 定 按 五 位 有 效 数 字 计 算）。答 案：迭 代 格 式螳 旬=；（11 2球）一只”-X，=；（18-x”-2 x，）小 钊=（22-2X，D-x产）k靖）老）000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、f 1 1求A、B使求积公式+/+6 （）+八 科 的 代

17、数精 度 尽 量 高，并 求 其 代 数 精 度；运 用 此 公 式 求J 一=f人 2 九公（保 存 四 位 小数）。答 案：/（X）=1，X,/是 精 确 成 立，即24+28=22A+3*A=得8-9B-求积公式为 f J*=I (T)+/(1)1+i/(-l)+码2 _当x)=x 3时，公式显然精确成立；当，(x)=/时，左=二，右=3。所以代数精度为3 o2 1 ,臼-3 1 1 1 1 118r 1 1 1x J-i f+3 9 -1 +3 1 +3 9 -1/2 +3 1/2 +39 70.6 9 2 8 61 4 03、已知xi1345/(X,)2654分 别 用 拉 格 朗

18、日插值法和 牛 顿 插 值 法 求/的三次插 值 多项式鸟(X),并 求f 的 近 似 值(保 存 四 位 小 数)。(%-3)(%-4)(%-5)(%-1)(%-4)(%-5)(X)=2-Fo-答案：3(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)5(D(X-3)(X-5)4(X-1)(X-3)(X-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为6(X)=N3(X)=2+2(X-1)-(X-1)(X-3)+；(X-1)(X-3)(X-4)Xi%一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101/4八 2)”=5.54、取步长/z =0.2,用预

19、估-校正法解常微分方程初值问题了 =2 x +3 yy(O)=l (0 x 1)MM=%+0 2X(2X”+3%)V答案：解：l%+i =%+0 x K2 x“+3 y”)+(2 x”+3 y；M)即 B+i =0.5 2 x”+1.7 8 y +0.04n012345尤“00.20.40.60.81。yn11.825.879610.713719.422435.02795、已知-2-1012f42135求f M的二次拟合曲线，2（x）,并求广（0）的近似值。答 案：解：i%X：*%0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100

20、34341正规方程组为5ao+10%=15 10%=310即 +34%=4110 3 117 1 10 2 14，/、3 11夕22（X）=-1-X10 73r（o）P；（o）=6、已知sinx区间 0.4,0.8的函数表必（为+，+22 7 10 140.4 0.5 0.6 0.70.80.38942 0.47943 0.56464 0.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才干使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差I&()区I -3(X)I尽量小，即 应 使 尽 量 小，最靠近插值点的三个节点满足上述规定。即取节点 0 5 0 6

21、 0.7 最佳，实际计算结果sin 0.63891 0.596274,且|sin 0.63891-0.596274|(0.63891-0.5)(0.63891-9 -0.6)(0.63891-0.7)|0.55032 xlO-47、构造求解方程+加-2=0的根的迭代格式与+产以为),=0,1,2,，讨论其收敛性,并将根求出来，X+】f 1 1 0答案：解：令/(x)=e+1 0 x 2,/(0)=-2 0且/(x)=e*+1 00 对V x e(-8,+8),故 f(x)=0在(0 J)内有唯一实根.将方程/(x)=0变形为x=-(2-ex)1 0则当X (0,1)时火X）咻（2一？胸=喙端

22、1故迭代格式x+i=.（2-e，）收敛。取珈=0-5,计算结果列表如下：且满足 I 巧 一 区 0.000 000 9 5 1 0-6.所以 X*0.09 0 5 2 5 008n01230.035 1270.096 4240.089 8770.5872785325n45670.090 5950.090 5170.090 5250.090 525xn993340950008玉 +2X2+3去=1 4 2x+5X2+2巧=1 88、运用矩阵的LU 分解法解方程组1 3 2+巧+5巧=2 0。1 1 F1 2 3A=LU=2 1 1 -4答案：解：b-5 -2 4 _令功=得 y =(1 4,-1

23、 0,-7 2)7 ,U x =y 得 x =(l,2,3)r.3 x）4-2X2+10X3=1 5 1 0%一 4X2-x3=59、对 方 程 组 1 2 对+1 0超-4 巧=8（1）试建立一种收敛的S ei d el 迭代公式，说明理由;（2）取初值“=（0。0）,，运 用（1）中建立的迭代公式求解，规定|X（什1）7 k 10-3。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优lOxj-4X2-%=5025丁 13505-4-1211325-55-4 3-121-1 1-42 1 1 11-125-43-128弓 4、013179555579012855550-4 3-12|3 79T-

24、5 y513 13.回代得 与=-1,彳2=6,尤=312、取节点和=，/0 5出=1,求函数Ax)=e-x在区间 0,1 上的二次插值多项式4(x),并估计误差。解:0(X 0.5 X 1)+-0.5 X(1)(1)1 A.I-C A r C A(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)(x 0)(x 0.5)+e x _(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x-D-4e-5x(x-1)+-0.5)/(x)=e r,/(口=一6:限=max|尸(x)|=l又0,1故截断误差I&(%)1=1 e r -5(x)4|x(x-0.5)(x-l)|o13、用欧拉方法求y(x)=J；e

25、,2dz在点x=0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。产_ 产解：y(x)=Je dr等价于y =e-xy(0)=0 x 0)己 f（x,y）=e ,Jp L h=0.5-o =，/=5.0,=1.5,x4 2.0.则由欧拉公式V4+1=%+/矿（X“%）7o =,=0,1,2,3可得 y（0.5）y=0.5,y（l .0）=y 2 M 0.8 8 9 40,X1.5）y3=1.07334,y（2.0）=y4 1.126（M14、给定方程/（x）=（xT）e T =。1）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5 位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程（x-

26、l）e-l =o （1）改写为X-I=e-x（2）作函数工（x）=x T,/2（x）=e T的 图 形（略）知（2）有唯一根X*e（l,2）。2）将 方 程（2）改写为 x =l +e r,4+i =1+尸构造迭代格式 =L5 伏=01,2,）计算结果列表如下：k1234567891.223 1.29 4 1.274 1.279 1.278 1.278 1.278 1.278 1.278Xk1331096912564447463)e(x)=l +e T,(pf(x)=-e-x当 x 1,2时，(p(x)e S(2)u 1,2,且|(x)|e-1所 以 迭 代 格 式Xk+=P(Xk)(左=0,

27、1,2,)对任意尤0 6 1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求右的近似值。取0=1.7,计算三次，保存五位小数。解：百 是“为=产-3=0的正根,八x)=2 x,牛顿迭代公式为即X”+产X”笠2%X 3 蜜+(12)取xo=1.7,列表如下:n123Xn1.732351.732051.7320516、已知/(-1)=2J(1)=3,/(2)=-4,求拉格朗日插值多项式&(幻及/(I,5)的近似值，取五位小数。解：卬幻。品若马+3，招储i部号2 3 4=-(x-l)(x-2)-(x +l)(x-2)-(x +l)(x-l)/(1.5)L2(1.5)=-0.0416717、片3,用复合梯形公式求

28、 e 5的 近 似 值(取 四 位 小 数)，并求误差估计。女”1 e vdx r,=e+2(e1/3+e2/3)+e1 1,7342解：Jo 3 2x3/(x)=eX(x)=e、时，*)区eA eIR|=|e-T.|=0.025-0.053 12x32 108至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 31J0-3-11 卜1、1 x24J K 5、-1取/)=(0,0,0尸,列表计算三次，保存三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为:_ 碎)+5)一尸)=_ g(r产)-琮)-1)婢+|)=；(_ 吊1)+芯*旬 -8)口 o r1 -3 1系数矩阵

29、1 -14严格对角占优，故Ga uss-Se ide l迭代收敛.取x(0-(0,0,0)T,列表计算如下:kx2）X/11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526y =x+y19、用预估一校正法求解L()=1 (0r。=1,h=0.2,H =0,1,2,3,4,代入上式得:n12甥45Xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如=。+法2的经验公式拟合以下数据:X,192530wy119.032.349.073.3解：=span,x2Tr i i i 11192 252

30、 312 382J=19.0 32.3 49.0 73.3解方程组 A 7 C =yT4 3391 1 7 173.6 A 7=jiT y=其中 3391 3529603J 179980.7-0.9255577C=解得：0.0501025 所以 a=0.9255577,0=0.050102521、（15分）用 =8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算0dx时，试用余项估计其误差。用=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。|=一 /“（）J-x-x e。=0.001302解：T 1 12 12 82 768卜 7H8）=-/（a）+2 f（xk）+f（b）2

31、 k=p l+2 x（0.8824969+0.7788008+0.60653066+0.5352614+0.47236655+0.41686207）+0.36787947=0.632943422、（15分）方程d-x-1 =0在x=L5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x =EI相应迭代格式加=病节；（2）.+相应迭代X-H _|_格 式+l V七，；（3）%=/-1相应迭代格式“用=舅-1。判断迭代格式在乩=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x =L 5附近的根，精确到小数点后第三位。1 二解：=故收敛；d（x）=-7=（2）2 x （1.5）1=0.1 7 1,故发散。选 择（1

32、）:%=L 5,%,=1.3 5 7 2?x2=1.3 3 0 9 ,x3=1.3 2 5 9?x4=1.3 2 4 9 ,=1.3 2 4 7 6,x6=1.3 2 4 7 22 3、（8分）已知方程组AX=/,其中4 3A=3 4 -1-1 42 4/=3 0-2 4（1）列出J a c o bi迭代法和Ga uss-Se ide l迭代法的分量形式。（2）求出J a c o bi迭代矩阵的谱半径。解：J a c o bi迭代法:X（M）=l（2 4-3 x）x尸）=；（3 0 _ 3 x f）+x，）/+D=；（2 4 +以）=0,1,2,3,靖+i）=；（2 4 3球），无 产）=；（

33、3（）_ 3靖口+尤，）%”=；（2 4 +x”）Ga uss-Se ide l 迭代法：.攵=0,1,2,3,Bj=e（+U）=-%o_ 0%0 _河为）=周（亘少平）=0.7 9 0 5 6 924、1、（15 分）取 回.1,;求解初值问题dy=y+1dx1 ）（0）=1用改善的欧拉法求yQ 1）的值；用经典的四阶龙格一库塔法求y。1）的值。解：改善的欧拉法:*=兄 +h f g,y）=0.9j+0.1x.+1=+5 （x“，y“）+/*,用，婢）卜 0.905X,+0.095所以 （。1）=必=1；经典的四阶龙格一库塔法:h,用=%+-IK+2&+2/+h OWw”）%2=/（+，”+

34、/）.r,h h.%=/（%+5，得+5&）.&=/（x“+/?,必+）匕=自=勺=3=0,所以y（o.l）=必=1。25、数值积分公式形如f Xf（x）dx S（x）=A/（0）+b （0）+试拟定参数A,BC。使公式代数精度尽量高；（2）设，（x）w C 4 0,l ,推导余项公式R（x）=I （x）d x r（x）,并估计误差。二A=R=_ R=D _ _ 解：将/(尤)=1,X，X-，X分布代入公式得：20 20 30 20“3（七）=/（七）构造H e r m i t e插值多项式”式幻满足1 ；（七）=八七），=。其中X。=0,X)=1(4)/则有：卜也(x g=S(x),fM-&

35、(尤)=F-d(x T)2R(x)-J x/(x)-S(x)dx=/二。)x3(x-l)2t i c/“)()_ -4)0)4!x6 0 14 4 02 6、用二步法y“+i =+%y,i +h0 f（xn,y）+（l-6 ）/（x.1,y“_ ）y=f（x,y）求解常微分方程的初值问题1 y（x）=y。时，如何选择参数/吗，。使方法阶数尽也许高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解：h2 力3R,h=y(x“+i)-%+1=y(xn)+hy(xn)+/(%)+)+h2 h3-1(y(x“)-hy(xn)+y(xn)-y”(x“)+)h2 3-办(X )+(1-0 Xy(xn)-hy(x

36、n)+ym(xn)-y(x“)+=(-a0-at)y(xn)+A(1-1 +a,)y(xn)+之(一 g +1-8)y”(x“)+小(：+g -)+0(/)2 2 o o 2所以1-CXQ 6 Z j =0ao=1%=0 n =3.22-2主项：”)该方法是二阶的。27、(10分)已知数值积分公式为：公*+/(切+劝“-八”试拟定积分公式中的参数心使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：，。)=1显然精确成立；rh h h、,/、.xdx=-=-0 +h+Ah2l-1f(x)=x时，Jo 2 2；ph h.3 h 3 1，/、2 i|xdx=0+,2 +劝20-2川=-2 Ah=/

37、=，(x)=x 时，Jo 3 2 2 12；一、3,=-L O +A3J +/22L O-3/?2/(x)=x-时，Jo 4 2 12；r(、4,f xAdx=-0+/?4J +/?20-4/23J =/(幻二/时，Jo 5 2 12 6 ；所以，其代数精确度为3。28、(8分)已 知 求&(。)的迭代公式为：x&+=(x&H-)X。0 k=0,1,2,2 与证明:对一切=1,2,*之&,且 序 列kJ是单调递减的,从而迭代过程收敛。1 z a、1 八+)-x 2 x证明：2 Xk 2x,x =-fa k-0,1,2-4故对一切4=1 2,-=i（i+4）i（i+i）=i又 xk 2 xk 2

38、界，从而迭代过程收敛。所以4 M 4,即序列上 是单调递减有下3329、（9 分）数 值 求 积 公 式 +初是否为插值型求积公式?为什么？其代数精度是多少？解：是。由于/在基点1、2 处的插值多项式为Y 2 X-1。（幻=正、川）+公、/（2）33f p(x)=-/(l)+/(2)JO 2其代数精度为l o30、（6 分）写出求方程4 x=cos（x）+l 在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。g（6 4分）=。（七,）=4 +C O既）】,n=n0,1 1,Q2,%=/in”1.对任意的初值X。e叩,迭代公式都收敛。3 1、（1 2 分）以 1 0 0,1 2 1,1 4

39、4 为插值节点，用插值法计算后的近似值,并运用余项估计误差。用 New t o n 插值方法：差分表:Vn?1 O+O.0 4 7 6 1 9 0(1 1 5-1 0 0)-0.(1 1 5-1 0 0)(1 1 5-1 2 1)1 001 211 441011120.0 4 7 61 9 00.0 4 3 47 8 3-0.=1 0.7 2 2 7 5 5 53-X 28R =3：，(115-100X115-121X115-1441 3-100 2 xl5x6x290.0016368/=sin(x)公3 2、(1 0分)用复化S im p s o n公式计算积分 Jo x 的近似值,规定误差

40、限为0 5 x 1 0。=0.94608693I，-2 核百|S 2-S j=0.3 9 3 x /=5 2 =0.9 4 6 0 8 6 9 3或运用余项：八,3!5!7!9!I/4,H41-2880 x5n42,/a S 23 3、(1 0分)用Ga u s s列主元消去法解方程组:%1 +4X2+2X3=24 +%2+5%3=342x1+6X2+w=273.0 0 0 01.0 0 0 05.0 0 0 03 4.0 0 0 00.0 0 0 03.6 6 6 70.3 3 3 31 2.6 6 6 70.0 0 0 05.3 3 3 3-2.3 3 3 34.3 3 3 33.0 0

41、0 01.0 0 0 05.0 0 0 03 4.0 0 0 00.0 0 0 05.3 3 3 3-2.3 3 3 34.3 3 3 30.0 0 0 0 0 1.9 3 7 5 9.6 8 7 5x=(2.0000,3.0000,5.0000),1113 4、（8分）求方程组“”的最小二乘解。p 6丫矶.8、（A Z）x=A%,16 14般厂20,J-1.3333“一 1 2.0000)若用Ho u s eh o lder变换，则：-1.73205-3.46410 4.61880、(A,)-0-0.36603-1.52073、0-1.36603 2.52073,-1.73205-3.464

42、10-4.61880、7 0 1.41421 2.82843、0 0 0.81650,最 小 二 乘 解:(-1.3 3 3 3 3,2.0 0 0 0 0)T.3 5、(8 分)已知常微分方程的初值问题:Kdx=x/y,lx =3 _2X*D_2 球 川(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为0-2 2B=D(L+U)=-1 0-1-2-2 04=4=4 =0,P(B)=O i,Gauss-Seidel 迭代法发散38、(1 0分)对于一阶微分方程初值问题 义0)印，取步长人=0.2,分别用Euler预报一校正法和经典的四阶龙格一库塔法求y(o z的近似值。解：Euler预报一校正法/=yn+O

43、.2(2x-J)=0.4x+0.8jJ,.=J+0,1(2XB-J +2x“+|一璐)=0.16x+0.2x,l+l+0.82jj(0.2)j,=0.2x0.2+0.82x1=0.86经典的四阶龙格一库塔法0 2北+1 =匕+丁3+2也+2月+也)&=2x-yn e=2(x“+o)(4 +o.火)右=2(x“+0l)-(y“+O g)勺=2(乙 +0.2)-(北 +0.2/)y(0.2)j,=0.8562(占=1.504 l;Jt2=1.5537;jt3=1.5487;k4=1.5943)h39、(10分)用二步法加=北+3 0 )+”，1 求解一阶常微h=f(x,y)分方程初值问题b(。)=

44、，。，问：如何选择参数劣尸的值，才使该方法的阶数尽也许地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为=J(xn+1)-J(x)-af(xn,y(xn)+(x.,j(x,)JL2 口=y(xn)+hy,(xn)+yn(xn)+ym(xn)+O(h4)-y(xn)-ay(xn)+Py,(x,)=y(xn)+hy(xn)+yn(xn)+ym(0)4 1、(1 0 分)取步长九=0.2,求解初值问题1 虫。)=2 ,分别用欧拉预报一校正法和经典四阶龙格一库塔法求虫2)的近似值。解：（1）欧拉预报-校正法:,瑞=兄+0.2(8-3%)=1 6+0.4、加=此+(8-3y.+8

45、-3(1.6+0.4 券)=1.12+0.58 券y(0.2)j1=2.28(2)经典四阶龙格-库塔法:,0.2J+I=y+丁(匕+2 的 +2占+h)O用=8-3纥 他=8-3(%+0.因)无3 =8-3(”+0.应).号=8-3(北+0.2的)j(0.2)j,=2.300442、（1 0分）取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分。1+2%2的近似值（保存4位小数）。解：5个点相应的函数值“）=百左%i00.511.52fiXi)10.6666670.3333330.1818180.111111-(2 分)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5)：式=号1+2x(0.6

46、66667+0.333333+0.181818)+0.111111=0.868687（2）复化梯形公式（n=2,h=2/2=l）：s,=匕1 +4 X (0.6 6 6 6 6 7+0.181818)+2 x 0.333333+0.111111一 6=0.86 19534 3、(1 0分)已知方程组Ax =其中列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;（2）讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Ja co b i迭代法：-x；*+l）=（l-x*,-x*,）/2-=-琛）/2,、0 -2 2B=D(L+U)=1 0 12 21 1八-0Ja co b i迭代矩阵：2 2

47、,（研=1 收敛性不能拟定（2）G a u s s-S e i d e l 迭代法：靖+。=（_ 球）以+。=（1一靖+|-琛）/2以川=（_ 琛旬_ 球口）/2G=(D-L)U =Gauss-Seidel 迭代矩阵:_1 _1该迭代法收敛44、（10分）求参数。，分使得计算初值问题的二步数值方法yn+l=yn+M叭 4 ,yn)+好(七一，H一月的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。解.y(x“+J=7(X)+W(X)+*(X)+?”(%)+。W)yn+i=y()+h(ayxn)+by(x_,)=J(x)+ahy(xn)+bh(y(xn)-hyn(xn)+ym(x“)+O(h4)乙I L f.3=y(X)+(a+b)hy(xn)-bh2yn(xn)+hym(xn)+O(h4)a+b=1所以当=5,即 5屹=一5时，局部截断误差为+=）=殍父）+曲）=百）_ 川 田局部截断误差的主项为加虫”向）=一4（X）,该方法为二阶方法。