2023年矩阵练习带标准超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、一、填空题：1.若A，B为 同 阶 方 阵，则22)(BABABA的 充 分 必 要 条 件 是 BAAB。2.若n阶方阵A，B，C满足IABC,I为n阶单位矩阵，则1CAB。3.设A，B都是n阶可逆矩阵，若00ABC,则1C0011BA。4.设 A1112，则1A2111。5.设111111A，432211B.则 BA2731733。6.设300020001A，则1A31000210001 7设矩阵1 -1 32 0,2 0 10 1AB，TA为A的转置，则BAT=160222.8.110213021A，B为秩等于 2 的三阶方阵，则AB的秩等于 2 .二、判断题（每小题 2 分，共 12

2、分）1.设BA、均为n阶方阵，则 kkkBAAB)(（k为正整数）。（）2.设,A B C为n阶方阵，若ABCI，则111CB A。（）3.设BA、为n阶方阵，若AB不可逆，则,A B都不可逆。()4.设BA、为n阶方阵，且0AB，其中0A，则0B。()5.设CBA、都是n阶矩阵，且ICAIAB,，则CB。（）6.若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且ACAB，则B也是n阶对角矩阵。（）7.两个矩阵A与B，如果秩（A）等于秩（B），那么A与B等价。（）8.矩阵A的秩与它的转置矩阵TA的秩相等。()三、选择题(每小题 3 分,共 12 分)1.设A为 34 矩阵，若矩阵A的秩为 2，则矩阵TA3的

3、秩等于（B ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的（C ）（A）)(BCAABC （B）)(kBAkAB（C）BAAB （D）CBCABAC)(3.已知BA、为n阶方阵，则下列性质不正确的是（A ）(A)BAAB (B)()(BCACAB (C)BCACCBA)(D)CBCABAC)(4.设IPAQ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则（D ）（A）111QPA （B）111PQA （C）PQA 1 （D）QPA 1 5.设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即BAAB，那么A必定是（B ）（A）可逆矩阵 （B）数量矩阵 （

4、C）单位矩阵 （D）反对称矩阵 6.两个n阶初等矩阵的乘积为（C ）（A）初等矩阵 （B）单位矩阵 （C）可逆矩阵 （D）不可逆矩阵 7.有矩阵23A，32B，33C，下列哪一个运算不可行（A ）（A）AC （B）BC（C）ABC （D）CAB 8.设A与B为矩阵且ACCB，C为mn的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A)n mm n (B)m nn m (C)n nm m (D)m mn n 为阶方阵若不可逆则都不可逆设为阶方阵且其中则设都是阶矩阵且则若是阶对角矩阵为阶矩阵且则也是阶对角矩阵两为则矩阵的秩等于假定为阶方阵关于矩阵乘法下述哪一个是错误的已知为阶方阵则下列性质不正确的是设其中

5、都是阶矩阵的乘积为初等矩阵单位矩阵可逆矩阵不可逆矩阵有矩阵下列哪一个运算不可行设与为矩阵且为的矩阵则与分别是9.设A为n阶可逆矩阵，则下列不正确的是 (B )(A)1A可逆 (B)IA可逆(C)2A可逆 (D)2A可逆 10.BA,均n阶为方阵，下面等式成立的是 （B ）（A）BAAB （B）TTTBABA)(（C）111)(BABA （D）111)(BAAB 11.设BA,都是n阶矩阵，且0AB，则下列一定成立的是（C ）（A）0A或0B （B）BA,都不可逆 （C）BA,中至少有一个不可逆 （D）0 BA 12.设BA,是两个n阶可逆方阵，则 1TAB等于（A ）（A）1TA1TB (B)

6、1TB1TA （C）TB1TA)(1 （D）TB11TA 13.若BA,都是n阶方阵，且BA,都可逆，则下述错误的是（A ）（A）BA也可逆 （B）AB也可逆（C）1B也可逆 （D）11BA也可逆 14.BA,为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是 （B）（A）AB （B）BA （C）BA （D）BAB 15设BA,均为n阶方阵，下列情况下能推出A是单位矩阵的是 （D）（A）BAB （B）BAAB （C）IAA （D）IA 1 16.设BA,都是n阶方阵，则下列结论正确的是（D ）（A）若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵（B）若0A且0B，则0AB（C）若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵

7、（D）若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵 17.若BA与均为n阶非零矩阵，且0AB，则（A ）为阶方阵若不可逆则都不可逆设为阶方阵且其中则设都是阶矩阵且则若是阶对角矩阵为阶矩阵且则也是阶对角矩阵两为则矩阵的秩等于假定为阶方阵关于矩阵乘法下述哪一个是错误的已知为阶方阵则下列性质不正确的是设其中都是阶矩阵的乘积为初等矩阵单位矩阵可逆矩阵不可逆矩阵有矩阵下列哪一个运算不可行设与为矩阵且为的矩阵则与分别是 （A）nAR)(（B）nAR)(（C）0)(AR （D）0)(BR 四、解答题：1.给定矩阵443312111A，343122321B，求ABT及1A 解：6848126594443312111

8、313422321ABT.（5 分）2121252121211041A(5分)2.求解矩阵方程X110011101521234311 解：02110011101 分 111001110111111111121 分 301222012X 分 3.求解矩阵方程BXA，其中011220111A，112011111B 解：因为 6A 所以A可逆 .(2 分)为阶方阵若不可逆则都不可逆设为阶方阵且其中则设都是阶矩阵且则若是阶对角矩阵为阶矩阵且则也是阶对角矩阵两为则矩阵的秩等于假定为阶方阵关于矩阵乘法下述哪一个是错误的已知为阶方阵则下列性质不正确的是设其中都是阶矩阵的乘积为初等矩阵单位矩阵可逆矩阵不可逆矩

9、阵有矩阵下列哪一个运算不可行设与为矩阵且为的矩阵则与分别是3131313161313261311A(4 分)故 3465323131323431311BAX.(4 分)4.求解下面矩阵方程中的矩阵X：021102341010100001100001010X 解：令021102341,010100001,100001010CBA，则BA,均可逆，且 010100001,10000101011BA 所以20143111211BCAX 5.设矩阵321011324A，求矩阵B，使其满足矩阵方程BAAB2.解：BAAB2即ABIA)2(分 而.461351341121011322)2(11IA 分 为

10、阶方阵若不可逆则都不可逆设为阶方阵且其中则设都是阶矩阵且则若是阶对角矩阵为阶矩阵且则也是阶对角矩阵两为则矩阵的秩等于假定为阶方阵关于矩阵乘法下述哪一个是错误的已知为阶方阵则下列性质不正确的是设其中都是阶矩阵的乘积为初等矩阵单位矩阵可逆矩阵不可逆矩阵有矩阵下列哪一个运算不可行设与为矩阵且为的矩阵则与分别是所以 AIAB1)2(321011324461351341 =.9122692683 分 五、证明题 1.若A是反对称阵，证明2A是对称阵。证明：因为A是反对称阵，所以AAT（3 分）22)()()(AAAAAAAATTTT,所以2A为对称阵。（5 分）2.设矩阵,A B及AB都可逆，证明11A

11、B也可逆。证明：因为,A B，AB可逆，故11,AB，1()AB存在，分 所以有 11111111111()()()()ABB ABAA BIBAAA BA ABAAABABAAA AI 分 故11AB可逆，其逆为1B ABA.分 3.已知BA,为n阶方阵，且BABABBAA222)(,，证明：0 BAAB 证明：BABAABBABA222)(4 分 所以0 BAAB4 分 4.设BA,为两个n阶方阵，试证明：22)(BABABA的充要条件是BAAB。为阶方阵若不可逆则都不可逆设为阶方阵且其中则设都是阶矩阵且则若是阶对角矩阵为阶矩阵且则也是阶对角矩阵两为则矩阵的秩等于假定为阶方阵关于矩阵乘法下

12、述哪一个是错误的已知为阶方阵则下列性质不正确的是设其中都是阶矩阵的乘积为初等矩阵单位矩阵可逆矩阵不可逆矩阵有矩阵下列哪一个运算不可行设与为矩阵且为的矩阵则与分别是证明：充分性：因为BAAB 所以2222)(BABBAABABABA 4分 必要性：因为22)(BABABA，即2222BABBAABA 所以BAAB 8 分 5.A是反对称矩阵，B是对称矩阵,证明:AB是反对称矩阵的充要条件是BAAB。证明：充分性：因为AAT,BBT,BAAB 所以ABBAABABTTT)(,即AB是反对称矩阵 4 分 必要性：因为AB是反对称矩阵，即ABABT)(又BAABABTTT)(所以BAAB 8 分 为阶方阵若不可逆则都不可逆设为阶方阵且其中则设都是阶矩阵且则若是阶对角矩阵为阶矩阵且则也是阶对角矩阵两为则矩阵的秩等于假定为阶方阵关于矩阵乘法下述哪一个是错误的已知为阶方阵则下列性质不正确的是设其中都是阶矩阵的乘积为初等矩阵单位矩阵可逆矩阵不可逆矩阵有矩阵下列哪一个运算不可行设与为矩阵且为的矩阵则与分别是