教学课件：第五章-质点运动微分方程.ppt

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1、第第5 5章章 动力学基本定律与质点运动微分方程动力学基本定律与质点运动微分方程第第6 6章章 质心运动定理与动量定理质心运动定理与动量定理第第7 7章章 动量矩定理动量矩定理第第8 8章章 动能定理动能定理第第9 9章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理第第1010章章 虚位移原理虚位移原理第第5 5章章动力学基本定律动力学基本定律质点运动微分方程质点运动微分方程5-1 牛顿运动定律与惯性参考系牛顿运动定律与惯性参考系 一、一、一、一、牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律1687 Sir Isaac NewtonSir Isaac Newton(1642-1727)发发表了著名的自然哲学

2、的数学原理表了著名的自然哲学的数学原理牛顿三大定律，它描述了动力学最基牛顿三大定律，它描述了动力学最基本的规律，是古典力学体系的核心本的规律，是古典力学体系的核心 任任何何质质点点如如不不受受外外力力作作用用，则则将将保保持持其其原原来来静静止止的的或或匀匀速直线运动的状态。速直线运动的状态。第一定律第一定律 (惯性定律惯性定律)不不受受外外力力作作用用时时，物物体体将将保保持持静静止止的的或或匀匀速速直直线线运运动动的的状态，这是物体的属性，这种属性称为惯性。状态，这是物体的属性，这种属性称为惯性。第一定律也称为惯性定律。第一定律也称为惯性定律。匀速直线运动也称为匀速直线运动也称为惯性运动惯

3、性运动。第二定律第二定律（力与加速度之间关系定律）（力与加速度之间关系定律）质点动力学基本方程质点动力学基本方程 质质点点受受力力作作用用时时所所获获得得的的加加速速度度的的大大小小与与作作用用力力大大小小成成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。式中式中 m 为质点的质量；为质点的质量；质质量量是是物物体体惯惯性性的的度度量量，质质点点的的质质量量愈愈大大，保保持持惯惯性性运运动动的能力愈强。的能力愈强。物体的质量物体的质量 m 与它的重量与它的重量 W 之间的关系：之间的关系：W=mg g 是重力加速度，取是重力加速度，

4、取 g=9.8 m/s2 此方程只能直接应用于质点。此方程只能直接应用于质点。是作用于质点的所有力的合力矢。是作用于质点的所有力的合力矢。或或第三定律第三定律(作用与反作用定律作用与反作用定律)两两物物体体间间相相互互作作用用的的力力总总是是同同时时存存在在，且且大大小小相相等等、方方向相反、沿同一直线。向相反、沿同一直线。作作用用与与反反作作用用定定律律对对研研究究质质点点系系动动力力学学问问题题具具有有重重要要意意义义。它它给给出出了了质质点点系系中中各各质质点点间间相相互互作作用用的的关关系系，从从而而使使质质点动力学的理论能推广应用于质点系。点动力学的理论能推广应用于质点系。二、惯性参

5、考系二、惯性参考系适用牛顿定律的参考系称为适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系惯性参考系。什么样的参考系可以作为惯性参考系呢什么样的参考系可以作为惯性参考系呢?实践结果证明实践结果证明：在在绝绝大大多多数数工工程程问问题题中中，可可取取固固结结于于地地球球的的坐坐标标系系为为惯惯性性参考系。参考系。对对需需考考虑虑地地球球自自转转影影响响的的问问题题（如如由由地地球球自自转转而而引引起起的的河河流流冲冲刷刷，落落体体对对铅铅直直线线的的偏偏离离等等）必必须须选选取取以以地地心心为为原原点点而而三三个个轴轴指指向向三三颗颗“遥遥远远恒恒星星”的的坐坐标标系系作作为为惯惯性性参参考考系系，即即所谓的

6、地心参考系。所谓的地心参考系。在在天天文文计计算算中中，则则取取日日心心参参考考系系，即即以以太太阳阳中中心心为为坐坐标标原原点，三个轴指向三颗点，三个轴指向三颗“遥远恒星遥远恒星”。相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系，也是惯性参考系。相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系，也是惯性参考系。三、单位制和量纲三、单位制和量纲1、单位制、单位制现在普遍采用国际单位制现在普遍采用国际单位制(SI)。在在F=ma中中，涉涉及及到到四四个个量量，每每个个量量都都必必须须用用一一适适当当的的单单位位来来度度量量。在在应应用用公公式式时时，并并不不是是每每个个量量的的单单位位都都可可以以任任意意规规定定的的

7、。其其中中只只有有三三个个量量的的单单位位是是可可以以任任意意选选取取的的，它它们们的的单单位位称称为为基基本本单单位位，这这三三个个量量称称为为基基本本量量；第第四四个个量量的的单单位位可可根根据据公公式式由由基基本本单单位位导导出出，称称为为导导出出单单位位，这这个个量量相相应应地地称为称为导出量导出量。选取不同的基本单位，就形成不同的单位制。选取不同的基本单位，就形成不同的单位制。国国际际单单位位制制：以以长长度度、时时间间和和质质量量的的单单位位为为基基本本单单位位，分分别别为为米米(m)、秒秒(s)和和千千克克(kg)；力力是是导导出出量量，等等于于质质量量与与加加速速度的乘积，力的

8、单位是导出单位。度的乘积，力的单位是导出单位。质质量量为为1kg 的的质质点点要要产产生生 1m/s2 的的加加速速度度，作作用用在在该该质质点上的力的大小为点上的力的大小为1kg1m/s21kgms22、量纲、量纲 表表示示某某一一物物理理量量由由哪哪几几个个基基本本量量按按什什么么规规律律组组成成的的式式子，称为该物理量的量纲或因次。子，称为该物理量的量纲或因次。在在国国际际单单位位制制中中，基基本本量量为为长长度度、时时间间和和质质量量，它它们们的的量量纲纲分分别别用用L、T、M表表示示，其其它它量量的的量量纲纲都都可可表表示示为为这这三个量纲的函数。三个量纲的函数。例如：加速度的量纲是

9、例如：加速度的量纲是LT2，而力的量纲是，而力的量纲是MLT2。力的单位是：力的单位是：kgms2。令令1kgms2=1N（称为（称为1牛）牛）注意注意：量纲与单位是两个不同的概念。：量纲与单位是两个不同的概念。一一个个物物理理量量的的量量纲纲是是一一定定的的，但但它它的的大大小小可可用用不不同同的的单单位来度量。位来度量。物理量的量纲还可以用来检验方程的正确性。物理量的量纲还可以用来检验方程的正确性。在在同同一一方方程程中中，各各项项的的量量纲纲必必须须相相同同。如如果果一一个个方方程程各各项的量纲不尽相同，则可以断定该方程必定是错误的。项的量纲不尽相同，则可以断定该方程必定是错误的。在作数

10、字计算时，还必须做到同一个量的单位要相同。在作数字计算时，还必须做到同一个量的单位要相同。例例如如长长度度的的量量纲纲是是L，但但可可用用米米、毫毫米米、千千米米等等作作为为度度量长度的单位。量长度的单位。5-2 质点运动微分方程质点运动微分方程2、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影或写为或写为质点动力学基本方程质点动力学基本方程:1、矢量形式的质点运动微分方程、矢量形式的质点运动微分方程一、质点运动微分方程一、质点运动微分方程二、质点动力学的两类基本问题二、质点动力学的两类基本问题 第一类基本问题：已知运动求力第一类基本问题：已知运动求力.第二类基本问

11、题：已知力求运动第二类基本问题：已知力求运动.混合问题混合问题：第一类与第二类问题的综合第一类与第二类问题的综合.由于由于故有故有3、质点运动微分方程在自然轴上的投影、质点运动微分方程在自然轴上的投影第一类基本问题：已知运动求力，属于微分问题。第一类基本问题：已知运动求力，属于微分问题。例如已知质点运动方程：例如已知质点运动方程：将运动方程对时间求两阶导数，代入质点运动微分方程：将运动方程对时间求两阶导数，代入质点运动微分方程：求作用于质点上的力求作用于质点上的力Fx即可求得力即可求得力Fx第二类基本问题：已知力求运动，属于积分问题。第二类基本问题：已知力求运动，属于积分问题。作作用用于于质质

12、点点的的力力可可以以是是常常力力或或变变力力，变变力力可可能能是是时时间间、质质点点的的位位置置坐坐标标、速速度度的的函函数数，只只有有当当函函数数关关系系较较简简单单时时，才才能能求求得得微微分分方方程程的的精精确确解解；如如果果函函数数关关系系复复杂，有时只能求出近似解。杂，有时只能求出近似解。此此外外，求求解解微微分分方方程程时时将将出出现现积积分分常常数数，这这些些积积分分常常数数须须根根据据质质点点运运动动的的初初始始条条件件，即即初初速速度度和和初初位位置置坐坐标标来来确确定定。所所以以，对对于于这这一一类类问问题题，除除了了需需要要已已知知作作用用于于质质点点的的力力以以外外，还

13、还必必须须知知道道质质点点运运动动的的初初始始条条件件，才才能能完全确定质点的运动。完全确定质点的运动。例例如如，当当作作用用于于质质点点上上的的力力Fx是是常常量量或或时时间间的的函函数数时时，求求质质点运动方程：点运动方程：将质点运动微分方程将质点运动微分方程 积分：积分：再积分一次，得运动方程再积分一次，得运动方程当作用于质点上的当作用于质点上的力力Fx是位置坐标是位置坐标x的函数的函数时，求质点的运动。时，求质点的运动。将质点运动微分方程将质点运动微分方程 分离变量，以便积分分离变量，以便积分当作用于质点上的当作用于质点上的力力Fx是速度是速度vx的函数的函数时，求质点的运动。时，求质

14、点的运动。将质点运动微分方程将质点运动微分方程 分离变量，以便积分分离变量，以便积分例例 曲曲柄柄连连杆杆机机构构如如图图所所示示.曲曲柄柄OA以以匀匀角角速速度度 转转动动,OA=r,AB=l,当当 比比较较小小时时,以以O 为为坐坐标标原原点点,滑滑块块B 的的运运动方程可近似写为动方程可近似写为 如如滑滑块块的的质质量量为为m,忽忽略略摩擦及连杆摩擦及连杆AB的质量的质量,试求当试求当 和和 时时，连连杆杆AB所受的力所受的力.解解:研究滑块研究滑块其中其中当当属于动力学第一类问题。属于动力学第一类问题。例例 套套筒筒重重P，在在介介质质中中沿沿导导杆杆下下滑滑，受受到到大大小小为为F0

15、.2Pv（v以以m/s计）的阻力的作用，试求：计）的阻力的作用，试求：1、套筒能达到的最大速度；、套筒能达到的最大速度；2、套筒达到、套筒达到2m/s速度所需要的时间。速度所需要的时间。解解 取套筒研究取套筒研究F0.2Pv1、求套筒能达到的最大速度、求套筒能达到的最大速度 当套筒达到的最大速度时，当套筒达到的最大速度时，a=0。得得称为极限速度。称为极限速度。令令F0.2Pv2、求套筒达到、求套筒达到2m/s速度所需要的时间速度所需要的时间 由式由式得得当当时，得时，得属于动力学第二类问题。属于动力学第二类问题。例例 一一圆圆锥锥摆摆,如如图图所所示示。质质量量 m=0.1kg 的的小小球球

16、系系于于长长 l=0.3 m 的的绳绳上上，绳绳的的另另一一端端系系在在固固定定点点O，并并与与铅铅直直线线成成 角角。如如小小球球在在水水平平面面内内作作匀匀速速圆圆周周运运动动，求求小小球球的的速速度度 v 与与绳绳的的张张力力F。属于混合问题。属于混合问题。其中其中解：研究小球解：研究小球m=0.1kgl=0.3 m例例 粉粉碎碎机机滚滚筒筒半半径径为为R，绕绕通通过过中中心心的的水水平平轴轴匀匀速速转转动动，筒筒内内铁铁球球由由筒筒壁壁上上的的凸凸棱棱带带着着上上升升。为为了了使使小小球球获获得得粉粉碎碎矿矿石石的的能能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数量，铁球应在时才掉下来。

17、求滚筒每分钟的转数 n 。当当 时，球不脱离筒壁。时，球不脱离筒壁。解：研究铁球解：研究铁球其中其中当当 时，解得时，解得例例 销钉销钉 的质量为的质量为 0.2 kg，由水平槽杆带动，使其在半径为，由水平槽杆带动，使其在半径为的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速向上运动，不计摩擦。向上运动，不计摩擦。的作用力。的作用力。求求 在图示位置时圆槽对销钉在图示位置时圆槽对销钉 解解 取销钉取销钉M 研究研究受力分析受力分析水平槽对水平槽对 M 的约束力为的约束力为FN，圆槽对圆槽对 M 的约束力为的约束力为F。速度与加速度分析速度与加速度分析动点：销钉，动系：水

18、平槽杆动点：销钉，动系：水平槽杆将式将式在在 y 轴上投影，得轴上投影，得将质点动力学基本方程在将质点动力学基本方程在x轴上投影，得轴上投影，得5-3 质点在非惯性参考系中的运动质点在非惯性参考系中的运动riOFN 在在自自然然界界和和工工程程技技术术中中有有很很多多问问题题，需需要要研研究究质质点点相相对对非非惯惯性性参参考考系系的的运运动动，所所以以要要讨讨论论物物体体在在非非惯惯性性参参考考系系中中的的运动与其所受的力之间的关系，也就是建立运动与其所受的力之间的关系，也就是建立ar与与F之间的关系。之间的关系。例如：考虑地球自转时，河流的运动；例如：考虑地球自转时，河流的运动；机电排灌中

19、要研究水轮机中水流相对于转动的叶片的运动等。机电排灌中要研究水轮机中水流相对于转动的叶片的运动等。惯性参考系（静系）：惯性参考系（静系）：Oxyz 非惯性参考系（动系）：非惯性参考系（动系）：Oxyz 质点质点 M，质量为，质量为 m，在力，在力F 作用作用下运动，有下运动，有令令 牵连惯性力牵连惯性力 科氏惯性力科氏惯性力则有则有 质点相对运动动力学方程质点相对运动动力学方程关关于于“惯惯性性力力”，有有学学者者把把它它称称为为“虚虚拟拟力力”，以以此此强强调调该该力起源于坐标系的加速度，而不是来自于物体间的相互作用。力起源于坐标系的加速度，而不是来自于物体间的相互作用。质点相对运动微分方程

20、质点相对运动微分方程几种特殊情况：几种特殊情况：1、动系作平行移动、动系作平行移动 动系平移时质点相对运动方程动系平移时质点相对运动方程2、动系作匀速直线平行移动、动系作匀速直线平行移动牛顿运动定律在此参考系中成立牛顿运动定律在此参考系中成立动系作匀速直线平移时，此动系也是惯性参考系。动系作匀速直线平移时，此动系也是惯性参考系。此此式式说说明明，在在一一个个封封闭闭的的系系统统内内部部所所做做的的任任何何力力学学试试验验，都都不不能能决决定定该该系系统统是是静静止止的的还还是是作作匀匀速速直直线线平平移移。这这一结论称为一结论称为“古典力学的相对性原理古典力学的相对性原理”。3、质点的相对平衡

21、与相对静止、质点的相对平衡与相对静止质点的相对平衡是指相对非惯性参考系作匀速直线运动质点的相对平衡是指相对非惯性参考系作匀速直线运动是常矢量是常矢量即即 质点相对平衡方程质点相对平衡方程相对静止时，有相对静止时，有 质点相对静止方程质点相对静止方程请你思考请你思考 置置于于圆圆桶桶的的水水，若若圆圆桶桶以以w w 绕绕其其中中心心轴轴匀匀速速转转动动，水水表面将呈何状态？试写出水面在表面将呈何状态？试写出水面在 Oxy 平面内的曲线方程。平面内的曲线方程。水表面为一旋转抛物面。水表面为一旋转抛物面。水面在水面在 Oxy 平面内的曲线方程：平面内的曲线方程：例例 一一质质点点 M 沿沿离离心心泵

22、泵的的光光滑滑导导叶叶向向外外运运动动，如如图图所所示示。设设离离心心泵泵以以匀匀角角速速度度 转转动动，初初瞬瞬时时，质质点点在在导导叶叶内内端端r=ri 处处（r 为为质质点点与与泵泵轴轴心心的的距距离离），而而 。试试将将质质点点沿沿导导叶叶运运动动的的速速度度 及及导导叶叶作作用用于于质质点点的的力力FN 表表示示为为 r 的函数，并求质点相对导叶的运动方程。的函数，并求质点相对导叶的运动方程。riOFNriOFN解解 1、求、求FICFIe在沿半径方向投影在沿半径方向投影两边乘以两边乘以dr，并积分并积分得得应用质点相对运动动力学方程求解较方便应用质点相对运动动力学方程求解较方便 在

23、垂直于半径的方向投影在垂直于半径的方向投影将方程将方程riOFNFICFIe得得2、求、求3、求、求将式将式改写为改写为积分积分得得例例 图为单摆，已知图为单摆，已知 l、m、aO，求此摆微幅振动的周期。，求此摆微幅振动的周期。解解：以以单单摆摆的的悬悬挂挂点点为为坐坐标标原原点点，建建立立平平动动参参考考系系Oxy。小小球球相相对对动动系系的的运运动动相相当当于于绕绕固固定定点的点的O的摆动。的摆动。受力分析：受力分析：真实力真实力 mg、FT，惯性力惯性力 FIemaO FIc0（动系平动）（动系平动），相对运动微分方程相对运动微分方程：aOxylOmgFTFIe在在轴上投影：轴上投影：令

24、令其解为其解为摆动的周期摆动的周期aOxylOmgFTFIens例例 由由于于地地球球自自转转的的影影响响，地地面面上上各各处处（除除两两极极及及赤赤道道附附近近外外）的的铅铅直直线线并并不不沿沿着着地地球球半半径径，而而是是下下端端偏偏向向赤赤道道。试试求求偏角偏角 与纬度与纬度 的关系的关系北北FGWFIeM设设地地球球是是半半径径为为R的的圆圆球球。考考虑虑地地球球自转，小球处于相对静止状态。自转，小球处于相对静止状态。作用在小球上的真实力：作用在小球上的真实力：G、F小球的惯性力：小球的惯性力：FIe其相对静止平衡方程为其相对静止平衡方程为解解：在在纬纬度度为为 的的地地面面上上用用绳

25、绳悬悬挂挂一一小球小球M，使其静止。，使其静止。北北FGWFIeM铅直线沿绳，即沿力铅直线沿绳，即沿力F 作用线。作用线。x取取 x 轴垂直于铅直线轴垂直于铅直线由于由于 的值很小的值很小故故FIe远远小于地球引力远远小于地球引力G，可以认为，可以认为绳的拉力绳的拉力 F 与小球的重力与小球的重力 W构成二力平衡，故有构成二力平衡，故有式中式中因为因为 极小，故有极小，故有将方程将方程 在在 x 轴上投影轴上投影得得取取则则在纬度在纬度 45处，偏角处，偏角 有最大值有最大值由由于于偏偏角角很很小小，可可以以忽忽略略不不计计，故故可可认认为为重重力力指指向向地地心心，铅直线则沿地球半径方向。铅直线则沿地球半径方向。作业作业：51、54、514、525