选修4-5 第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式.pptx

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1、第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式1.1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法作差比较法作商比较法作商比较法理论依据理论依据ab _ab _ab _a0,1 abb0,1 abb1b1 aba0a-b0a-b0a-b1,1,则则x+2yx-y.()x+2yx-y.()(2)(2)已知已知ab-1,ab-1,则则 ()()(3)(3)设设t=s=(ba0)t=s=(ba0)，则，则st.()st.()(4)(4)证明证明 可用比较法证明可用比较法证明.().()(5)(5)数学归纳法的第一步数学归纳法的第一步

2、n n的初始值一定为的初始值一定为1.()1.()【解析】【解析】(1)(1)错误错误.若若x-y0 x-y0，则有，则有x+2yx-y.x+2yb-1,a+1b+10,.ab-1,a+1b+10,(3)(3)错误错误.ba0,a-ba0,a-b0,s0,s0,0,0,0,答案：答案：考向考向 2 2 综合法与分析法的应用综合法与分析法的应用【典例【典例2 2】(1)(1)已知已知a+b+c=1,a+b+c=1,则则ab+bc+caab+bc+ca的最大值为的最大值为_._.(2)(2)已知已知x0,y0,x0,y0,设设 则则s s与与t t的大小的大小关系为关系为_._.【思路点拨】【思路

3、点拨】(1)(1)已知条件是已知条件是a a，b b，c c和的形式，可考虑将已知和的形式，可考虑将已知条件两边平方然后结合基本不等式求解条件两边平方然后结合基本不等式求解.(2)(2)可先采取特殊法比较可先采取特殊法比较s s与与t t的大小关系，然后去证明的大小关系，然后去证明.【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由a+b+c=1a+b+c=1得得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=1.+2ab+2bc+2ca=1.由由a a2 2+b+b2 22ab2ab，b b2 2+c+c2 22bc2bc，a a2 2+c+c2 22ac2ac，2(a2(a2 2+

4、b+b2 2+c+c2 2)2(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)，aa2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.由由1=a1=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca3(ab+bc+ca),+2ab+2bc+2ca3(ab+bc+ca),ab+bc+ca ab+bc+ca 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立.答案：答案：(2)(2)令令x=y=1,x=y=1,则则 由由y=2y=2x x在在R R上为增函数，上为增函数，猜想猜想stst，证明如下：，证明如下：要证明要证明 只需证明只需证明(x(x2 2+y+y2 2

5、)3 3(x(x3 3+y+y3 3)2 2，即证即证x x6 6+3x+3x4 4y y2 2+3x+3x2 2y y4 4+y+y6 6xx6 6+2x+2x3 3y y3 3+y+y6 6，即证即证3x3x4 4y y2 2+3x+3x2 2y y4 42x2x3 3y y3 3.x0,y0,xx0,y0,x2 2y y2 20,0,即证即证3x3x2 2+3y+3y2 22xy.2xy.3x3x2 2+3y+3y2 2xx2 2+y+y2 22xy,3x2xy,3x2 2+3y+3y2 22xy2xy成立成立,即即st.st.答案：答案：stst【拓展提升】【拓展提升】1.1.综合法证

6、明不等式的方法综合法证明不等式的方法(1)(1)综合法证明不等式要着力分析已知与求证之间，不等式的左综合法证明不等式要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键这是证明的关键.(2)(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个：综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个：aa2 20(aR).(a-b)0(aR).(a-b)2 20(a,bR),0(a,bR),其变形有：其变形有：a a2 2+b+b2 22ab,2ab,ab,a ab,a2 2+b+b2 2

7、 (a+b)(a+b)2 2.若若a,ba,b为正实数，为正实数，特别特别 aa2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.2.2.分析法证明不等式的思路分析法证明不等式的思路用分析法证明不等式，是从要证的不等式着手，逐步推求使它用分析法证明不等式，是从要证的不等式着手，逐步推求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知正确的不等式或为已知成立的充分条件，直至所需条件为已知正确的不等式或为已知条件，是一种执果索因的思考方法和证明方法条件，是一种执果索因的思考方法和证明方法.【提醒】【提醒】分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆.【

8、变式训练】【变式训练】(1)(1)已知已知a0,b0,c0,a0,b0,c0,且且a+b+c=1a+b+c=1，则，则 的最小值为的最小值为_._.【解析】【解析】当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.同理同理 当且仅当当且仅当b=cb=c时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=ca=c时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立.又又a+b+c=1,1.a+b+c=1,1.答案：答案：1 1(2)(2)已知已知a0,a0,设设 n=a+-2n=a+-2，则，则m m与与n n的大小关系为的大小关系为_._.【解析】【解析】当当a=1

9、a=1时，时，m=0,n=0,m=n.m=0,n=0,m=n.当当a=2a=2时，时，m=m=n=n=mn.mn.猜想：猜想：mn.mn.证明：要证原不等式成立，只需证证明：要证原不等式成立，只需证即证：即证：只需证：只需证：即证：即证：只需证：只需证：由基本不等式知由基本不等式知 故上式显然成立，故上式显然成立，原不等式成立，即原不等式成立，即mn.mn.答案：答案：mnmn考向考向 3 3 反证法与放缩法的应用反证法与放缩法的应用【典例【典例3 3】在下列空白处填上适当的不等号在下列空白处填上适当的不等号:(1)(1)若函数若函数f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的增函数上的增函数

10、,a,a，bRbR，则当，则当f(a)+f(b)ff(a)+f(b)f(-a)+f(-b)(-a)+f(-b)时，时，a+b_0(a+b_0(填填“”或或“”).”).(2)_2.(2)_2.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)利用反证法求解利用反证法求解.(2)(2)由于由于 有有n n项，直接求和不可能，故可利用项，直接求和不可能，故可利用放缩法解决放缩法解决.【规范解答】【规范解答】(1)(1)假设假设a+ba+b0 0，则，则a a-b,b-b,b-a.-a.又又f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上是增函数，上是增函数，则则f(a)f(a)f(-b),f(b)f(-b),f(b)

11、f(-a).f(-a).两式相加得两式相加得f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).f(-a)+f(-b).这与已知条件这与已知条件f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾矛盾,故故a+b0.a+b0.(2)(2)=2-=2-2.2.答案：答案：(1)(2)(1)(2)【拓展提升】【拓展提升】1.1.反证法的应用技巧反证法的应用技巧(1)(1)当要证明的结论与条件之间的联系不明显当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出直接由条件推出结论很困难时结论很困难时,常用反证法常用反证法.(2)(2)如果从正面入手证明需分多种情

12、况进行分类讨论如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面而从反面进行证明进行证明,只需研究一种或很少的几种情况的不等式时只需研究一种或很少的几种情况的不等式时,常用反常用反证法证法.2.2.用放缩法证明不等式的常用方法用放缩法证明不等式的常用方法(1)(1)添加或舍去一些项添加或舍去一些项.(2)(2)将分子或分母放大将分子或分母放大(或缩小或缩小).).(3)(3)真分数的性质真分数的性质:若若0 0a ab,mb,m0 0，则，则(4)(4)利用基本不等式利用基本不等式.(5)(5)利用函数的单调性利用函数的单调性.(6)(6)绝对值不等式绝对值不等式:|a|-|b|ab|a|+

13、|b|.:|a|-|b|ab|a|+|b|.【变式训练】【变式训练】若若n n1 1，且，且nNnN+，则下列两式的大小关系为，则下列两式的大小关系为:_ _【解析】【解析】=答案：答案：考向考向 4 4 数学归纳法的应用数学归纳法的应用【典例【典例4 4】若若f(n)=1f(n)=12 2+2+22 2+3+32 2+(2n)+(2n)2 2,则则f(k+1)-f(k)f(k+1)-f(k)的值的值为为_._.【思路点拨】【思路点拨】明确明确f(n)f(n)中各项特点，正确写出中各项特点，正确写出f(k),f(k+1),f(k),f(k+1),观观察察f(k+1)f(k+1)与与f(k)f(

14、k)的差异，然后写出结果的差异，然后写出结果.【规范解答】【规范解答】f(k)=1f(k)=12 2+2+22 2+(2k)+(2k)2 2,f(k+1)=1f(k+1)=12 2+2+22 2+(2k)+(2k)2 2+(2k+1)+(2k+1)2 2+(2k+2)+(2k+2)2 2,f(k+1)-f(k)=(2k+1)f(k+1)-f(k)=(2k+1)2 2+(2k+2)+(2k+2)2 2.答案：答案：(2k+1)(2k+1)2 2+(2k+2)+(2k+2)2 2【拓展提升】【拓展提升】应用数学归纳法时应注意的问题应用数学归纳法时应注意的问题(1)(1)第一步的验证，对于有些问题验

15、证的并不是第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n=1,n=1,有时需验有时需验证证n=2,n=3,n=2,n=3,甚至需要验证甚至需要验证n=10,n=10,如证明：对足够大的正整数如证明：对足够大的正整数n,n,有有2 2n nnn3 3,就需要验证就需要验证n=10n=10时不等式成立时不等式成立.(2)n=k+1(2)n=k+1时式子的项数，特别是寻找时式子的项数，特别是寻找n=kn=k与与n=k+1n=k+1的关系时，项的关系时，项数发生什么变化容易被弄错数发生什么变化容易被弄错.因此对因此对n=kn=k与与n=k+1n=k+1时关系式的正时关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问

16、题的保障确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“(3)“假设假设n=k(k1n=k(k1且且kNkN+)时命题成立，利用这一假设证明时命题成立，利用这一假设证明n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.【变式训练】【变式训练】(2013(2013西安模拟西安模拟)用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：时，由时，由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时时左边需增添的项是左边需增添的项是_._.【解析】【解析】当当n=k+1n=k+1时，左边时，左边=增加的是增加的是答案：答案：