高数7-1多元函数概念极限连续.ppt

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1、第第 章章7 7 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同一、平面点集的有关概念一、平面点集的有关概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性Ch7-1 Ch7-1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 1.邻域邻域 一、平面点集的有关概念一、平面点集的有关概念2.区域区域例如，例如，即为开集即为开集开区域开区域闭区域闭区域(a)(b)(c)(d)(6)区域区域 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域

2、或开区域开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域(a)(b)(c)(d)有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，3.有界集有界集4.聚点聚点(1)内点一定是聚点；内点一定是聚点；(2)边界点一定是聚点；边界点一定是聚点；例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点说 明(3)点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合5.n维空间维空间(1)n维空间的记号为维空间的记号为注：注：注：注：(2

3、)n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 注：注：n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地特殊地,当当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为1.引例引例 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦三角形面积的海伦(秦九韶秦九韶)公式公式二、多元函数的概念二、多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义定义 1 设设D是平面上的一个点集，则称映射是

4、平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在为定义在D上的二元函数，上的二元函数，2.二元函数的定义二元函数的定义点函数符号点函数符号 f(P)例例1 1 解解所求定义域为所求定义域为二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.3.二元函数二元函数z=f(x,y)的图形的图形例如例如,二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.三元函数三元函数 定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球三、多元函数的极限三、多元函数的极限1.定义定义（1 1）定义中）定义中 P PP P0 0 的方式是任意的；的方

5、式是任意的；（2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二元以上的函数的极限可类似地定义。二元以上的函数的极限可类似地定义。说 明例例2 用定义证明用定义证明 证明证明:原结论成立原结论成立2二元函数极限问题举例二元函数极限问题举例 例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 证明证明 分析分析：要证明二重极限不存在，可使：要证明二重极限不存在，可使P选择不同选择不同的路径而趋于的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限，如有不同的极限，则二重极限不存在。不存在。证明证明：令：令P

6、沿直线沿直线y=kx而趋于点而趋于点P0(0,0),则有则有显然，此极限值随显然，此极限值随k的变化而变化的变化而变化,所以二重极限所以二重极限确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：定义定义3 3(1)间断点的判别与一元函数类似。间断点的判别与一元函数类似。(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。多元函数不仅有间断点而且有间断线。1.多元函数连续性的定义多元函数连续性的定义 四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性说 明例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在(例例4),又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周 多元初等函数多元初等

7、函数：由常数及不同自变量的一元由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域2.多元初等函数的连续性多元初等函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例例5 5解解3.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上上至少取得它的最大

8、值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果 在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理小结小结 本本节节主主要要讨讨论论了了多多元元函函数数的的概概念念、多多元元函函数数极限及连续的概念极限及连续的概念 本本节节要要求求了了解解多多元元函函数数极极限限及及连连续续的的概概念念，知知道道多多元元初初等等函函数数的的连连续续性性及及有有界界闭闭区区域域上上连连续续函数的性质，会求一些二元函数的极限函数的性质，会求一些二元函数的极限思考：思考：解：解：当当P沿直线沿直线y=kx而趋于而趋于(0，0)点时，点时，当当P沿曲线沿曲线y=kx2而趋于而趋于(0，0)时时,它是与它是与k的取值有关的，所以二重极限的取值有关的，所以二重极限