运动定律与守恒定律.ppt

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1、第第2章章 运动定律与守恒定律（四）运动定律与守恒定律（四）角动量守恒定律角动量守恒定律刚体的刚体的定轴转动定轴转动任课教师：周伟昌任课教师：周伟昌 讲授班级：工学院讲授班级：工学院2013级机械级机械/电子专业电子专业 本本节基本内容基本内容 一、角一、角动量定理（量定理（质点、点、质点系、点系、刚体）体）二、角二、角动量守恒定律量守恒定律（质点、质点系、刚体）（质点、质点系、刚体）三、三、转动惯量量四、四、转动定律定律 五、定五、定轴转动的的动能定理能定理 重点与重点与难点点 角动量守恒定律角动量守恒定律 转动定律与定律与动能定理能定理2.6.1.质点的角动量质点的角动量(对对O点点)大小

2、大小 质点的角动量与质点的动量及质点的角动量与质点的动量及位矢位矢(取决于固定点的选择取决于固定点的选择)有关。有关。特例：质点作圆周运动特例：质点作圆周运动2.6 角角动量和角动量守恒定律动量和角动量守恒定律说明说明O S惯性参照系惯性参照系质点运动质点运动质点相对于空间质点相对于空间质点相对于空间质点相对于空间某定点（轴）运动某定点（轴）运动某定点（轴）运动某定点（轴）运动角动量角动量角动量角动量角动量守恒定律角动量守恒定律动量动量（线动量）（线动量）动量守恒定律动量守恒定律（动量矩）（动量矩）方向方向 右手螺旋定则右手螺旋定则 -四指指向四指指向r，弯曲于，弯曲于p：质点对：质点对x轴的

3、角动量轴的角动量某一方向的分量怎么求呢？某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：由定义出发：涉及的位矢分量为涉及的位矢分量为x,y涉及的动量的分量为涉及的动量的分量为Px,Py t 时刻时刻 如图如图定义定义为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩2.6.2、力对定点的力矩、力对定点的力矩大小：大小：中学就熟知的：中学就熟知的：力矩等于力乘力矩等于力乘力臂力臂方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面量纲量纲：(1)(1)力对点的力矩力对点的力矩O .(2)(2)力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由力矩的方向由右螺旋法则确定右螺旋法则确定讨论讨论hA：质点对：质点对 x轴的力矩轴的

4、力矩某一方向的分量怎么求呢？某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：由定义出发：分量中，分量中，涉及的位矢分量为涉及的位矢分量为x,y涉及的力的分量为涉及的力的分量为Fx,FyxLOMy例例已知棒长已知棒长 L,质量质量 M，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动(如图如图)解解根据力矩根据力矩xdxTT例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩(质点角动量定理的积分形式质点角动量定理的积分形式)(质点角动量定理的微分形式质点角动量定理的微分形式)质点所受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的角动量

5、的增量等于质点的角动量的增量2.6.3.质点的角动量定理质点的角动量定理说明说明(1)冲量矩是质点角动量变化的原因冲量矩是质点角动量变化的原因(2)质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果动量定理动量定理2.6.4.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律(2)(2)通常对有心力：通常对有心力：例如例如 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1)角角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，

6、且在高速低速范围均适用宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论讨论m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过过O点点,M=0,角动量守恒角动量守恒 动量定理动量定理 角动量定角动量定理理力力力矩力矩动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩形式上相同。从动量定理到角动量定理，只需将相应的量变换一下形式上相同。从动量定理到角动量定理，只需将相应的量变换一下例：物体质量为例：物体质量为3kg，t=0时位于时位于 ,，解:(1)(2)解法一：根据角动量的公式 如一恒力如一恒力作用在物体上作

7、用在物体上,求求3秒后，秒后，(1)物体动量的变化；物体动量的变化；(2)相对轴角动量的变化相对轴角动量的变化求解t=0st=3s解法二：根据角动量定理 求解基本方法：基本方法：质点系运动定理质点系运动定理 加加 刚体特性刚体特性刚体定轴转动的刚体定轴转动的 动能定理动能定理 角动量定理角动量定理平动：动量定理平动：动量定理可以解决刚体的一般运动（平动加转动）可以解决刚体的一般运动（平动加转动）2.7 刚体的刚体的定轴转动定轴转动2.7.刚体的定轴转动刚体的定轴转动二二.刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行自身平行 刚体平

8、动刚体平动平动的特点平动的特点(1)刚体中各质点刚体中各质点的运动情况相同的运动情况相同(2)刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动一一.刚体刚体-指在任何情况下都没有形变的物体指在任何情况下都没有形变的物体2.7.1 刚体绕定轴转动的描述刚体绕定轴转动的描述zMIIIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度一一.描述描述 刚体绕定轴转动的角量刚体绕定轴转动的角量刚体的平动和绕定轴转动是刚体的刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动两种最简单最基本运动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动_刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固

9、定不动 定轴转动定轴转动 二二.定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度当当与质点的匀加速直线运动公式相象与质点的匀加速直线运动公式相象定轴定轴P,刚体刚体 参参考考方方向向zOr基点基点O O瞬时轴瞬时轴任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动,且且 ，都相同都相同 速度与角速度的矢量关系式速度与角速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式定轴定轴P,刚体刚体 参参考考方方向向zOr基点基点O瞬时轴瞬时轴三、三、质点系的角动量质点系的角动量质点系中第质点系中第i个质点受到外力矩为：个质点受到外力矩为：受到其他质点内力力矩之和为

10、：受到其他质点内力力矩之和为：根据质点的角动量定理有：根据质点的角动量定理有：mi对于内力力矩对于内力力矩内力是成对出现的，作用力和反作用力的力矩内力是成对出现的，作用力和反作用力的力矩之和为：之和为：jiO质点系内力力矩的矢量和为零。质点系内力力矩的矢量和为零。对质点系的各质点求和，得到：对质点系的各质点求和，得到：内力矩之和内力矩之和=0外力矩外力矩质点系角动量之和质点系角动量之和微分形式微分形式积分形式积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量质点系的内力矩不能改变质点系的角动量质点系的内力矩不能改变质点系的角动量说明说明质点

11、系的角动量定理质点系的角动量定理质点对轴的角动量为：质点对轴的角动量为：所以整个刚体绕此轴的角动量大小为：所以整个刚体绕此轴的角动量大小为：角动量的方向由右手螺旋确定。角动量的方向由右手螺旋确定。角动量的大小为：角动量的大小为：四四.刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理由转动定律由转动定律（角动量定理（角动量定理积分形式）积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律角动量定理角动量定理微分形式微分形式五五.转动惯量的计算转动惯

12、量的计算定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1)总质量总质量(2)质量分布质量分布(3)转转轴的位置轴的位置(1)J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM单个质点单个质点(2)J 与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四四.平行轴定理及平行轴定理及垂直轴定理垂直轴

13、定理zLCMzz(3)J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关1.平行轴定理平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离例例 均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量2.(薄板薄板)垂直轴定理垂直轴定理ML 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量例如求对圆盘的一条直径的转动惯量已知已知 yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直轴垂直薄板。薄板。zxy哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴

14、的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(1)M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体的 越大越大(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同六六.刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律实验证明实验证明当当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时，则刚体保持静止或匀速转动当存在当存在 M 时，时，与与 M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(3)与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：讨论讨论在国际单位中在国际单位中 k=1O理论推证理论推证取一质量元取一质量元切线方向切线方向对固定轴的力矩对固定轴的力矩对所有质

15、元对所有质元合内力矩合内力矩=0合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 J学学习方法方法类比法比法(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度绳端，试计算飞轮的角加速度解解 (1)(2)两者区别两者区别七七.转动定律的应用举例转动定律的应用举例例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计，(见图见图)一根长为一根长为 l，质量为，质量

16、为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCx解解 取一质元取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dm例例圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解例例求求 到圆盘静止所需时间到圆盘静止所需时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R例例 一个刚体系统，如图所示，一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量，现有一水平力作用于

17、距轴为，现有一水平力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N由质心运由质心运动定理动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律由转动定律2.7.3 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理一一.转动动能转动动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角

18、速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半结论结论取取二二.力矩的功力矩的功O 功的定义功的定义力矩作功的微分形式力矩作功的微分形式对一有限过程对一有限过程若若 M=C(积分形式积分形式 ）力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P三三.转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果对于一有限过程对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理(2)力矩的功就是力的功。力

19、矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论讨论(1)合力矩的功合力矩的功 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的刚体的机械能机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立例例 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用

20、机械能守恒定律方便求解OlmCx一长为一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动转动Or 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒力矩为零，动量矩守恒例例解解求求 昆虫沿杆爬行的速度。昆虫沿杆爬行的速度。使杆以匀角速度转动使杆以匀角速度转动代入得代入得转动定律转动定律其中其中四四.进动进动高速自转的陀螺在高速自转的陀螺在陀螺重力对支点陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动陀螺的动量矩近似为陀螺的动量矩近似为动量矩定理动量矩定理当当时时则则只改变方向，只改变方向，不改变大小不改变大小(进动进动)进动角速度进动角速度而且而且所以所以以上只是近似讨论，以上只是近似讨论，只适用高速自转，即只适用高速自转，即动量矩定理动量矩定理