毕业：复变函数的孤立奇点及其应用(完整版)资料.doc

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1、毕业：复变函数的孤立奇点及其应用（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）论文题目：复变函数的孤立奇点及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：2011年4月7日复变函数的孤立奇点及其应用摘要 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用。而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题，本文主要探讨了孤立奇点在留数计算中的应用。函数在不同的孤立奇点的不同类型处，其计算的方法也不同，所以首先我们要对其做出判断。再根据孤立奇点类型的不同对应不同的留数求法，分别从可去奇点，本质奇点处留数的求法，极点处留数的求法，无穷远点的留数的求法，其中在本文中因为考虑极点处的留数求法又根

2、据：单极点、二阶极点、 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。另外，还采用了变量替换的方法，增加了一个计算留数的公式。 关键字：孤立奇点；可去奇点；极点；本质奇点；留数；Isolated singularities and its applicationAbstract Isolated singular point in the application of complex function of teaching and learning plays an important role. The residue of the calculation is complex fun

3、ction often encounter problems, the paper focused on a singular point in isolation remain in the calculation of the number of applications. Different functions in the isolation of the different types of singular point, the calculation methods are also different, so first of all we have to make their

4、 judgement. According to isolate different types of singular point to different stay for a few, were to go from the singular point is, in essence, to stay a few critical points for the law, the number of Poles seeking to stay the law, infinite number of points to stay for the law, which in this pape

5、r In view of the Poles to stay for a few in accordance with law: a unipolar point, second-order pole, the pole-order solution different, with examples given pole order of the judgement means. In addition, the variables used to replace the method, an increase of a formula for calculating the number o

6、f stay.Key words: isolated singular point; singular point to go; pole; nature of singularity and reservations目 录摘 要Abstract孤立奇点的定义-3孤立奇点的判别方法-4孤立奇点的应用-6参考文献-10第一章 孤立奇点的定义 假设X是一个代数簇，PX是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集)U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。 f（z）在 0za R上解析，即a是f（z）的孤立奇点 留数定理及其应用，则称积分值（12i）zaRf（z）dz为f（z

7、）关于a点的留数 ，记作Resf（z），a 。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分zaRf（z）dz表示旋源的强度环流量，所以留数是环流量除以2i的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）ak（za）k ，将它沿zaR逐项积分，立即可见Resf(z)，aa-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|60语句的功能是_。 所以，是函数的可去奇点，是的一阶极点.A. REPLACE 总分 WITH 高等数学+英语+计算机

8、网络 又是极点当时的极限点，不是孤立奇点.D、通常只用作局域网通信介质例8求所有孤立奇点处的留数： 解：函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式16. 下面关于类的描述，错误的是_。 这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式.所以X=A .参考文献： 1高等教育出版社高等代数 2对外经济贸易大学出版社考研数学基础训练经典题集 3实变函数与泛函分析基础（第3版） 程其襄4复变函数论(第三版)全程导学及习题全解 王玉玉目录摘要 1引言 2一 凸函数概念及其定义3（一）凸函数的几种不同定义 3（二）几种不同定义之间的相互联系 5二 凸函数的有关结论

9、6（一）凸函数的运算性质 6（二）凸函数的其它性质 7（三）凸函数的充要条件 9三 对数性凸函数的定义及其性质11（一）对数性凸函数的定义 12（二）对数性凸函数的基本性质 13（三）与对数性凸函数的性质相关的定理 14（四）对数性凸函数性质的应用 15结束语 17参考文献 17浅谈凸函数及其应用 摘要：凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于jensen著作中它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应

10、用，总结了凸函数的许多重要性质，列举了凸函数的几个著名的不等式引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文1的启发,在文1的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。其中包括应用比较广泛的詹森（Jensen）不等式、赫尔德（Hlder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.关键词：凸函数; 对数性凸函数；不等式;证明;应用Convex Function and its Application Abstract: convex function is a kind

11、of important function ,its concept form most early in Jensen in the writing .It has numerous application in broad fields of pure Mathematics and applied Mathematics .Convex function is now plays important theoretical basic and useful tools to mang subjects such as mathematical planning theory ,respo

12、nse theory ,numerical economics ,change ho theory and sub-optimal control and so on .For theoretical breakthrough,reinforce their application in practice, produced generalized convex function. Enumerated convex function is introduced several famous inequality logarithmic ratio convex function concep

13、t, won the logarithmic ratio some basic properties of convex function, and discussed the logarithmic ratio of basic properties of convex function by some of the application, the inspiration of 1, 1 in the basis, in this paper, we obtain the logarithmic sex convex function is seven basic properties,

14、and discusses the properties of logarithmic ratio convex function applications. This paper investigates the criterions of convex function and its applications based on the definition of convex function, summarizes many important properties of convex functions, and lists several well-known inequaliti

15、es of convex function, including Jensen inequality, Hlders inequality, Minkowski inequality and some elementary inequalities, which are widely applied.Keywords: convex function; Logarithmically convex function sex； inequality; proof; application引言一、凸函数的概念及其定义（一）凸函数的几种不同定义定义1 如果函数在上连续，对上任意不同的两点，有 ,则称

16、是上的下凸函数.定义 2 设为定义在区间上的函数，若对上任意两点和任意实数有，则称是区间上的下凸函数.定义3 设函数定义在区间上，对于上任意三点，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，称是区间上的下凸函数.注：（1）若将定义1，2，3中的“”改为“”，则称为上的严格下凸函数.（2）若定义1，2，3中的“”改为“”，则称为区间上的上凸函数.定义4利用二阶导数判断曲线的凸向:例 设函数在区间内存在二阶导数,则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.证法一 (用Taylor公式)对设,把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式，有其中和在与之间.注意到,就有于是,若有上式中,即严格上凸若有

17、上式中,即严格下凸.证法二 (利用Lagrange中值定理.)若则有严格单调增.不妨设,并设分别在区间和上应用Lagrange中值定理,有有，又由，即，严格下凸.可类证 情况.（二）几种不同定义之间的相互联系（1）在定义2中区间，为连续函数，当时，定义2即为定义1.（2）令 ，那么，令，代入定义3中任意一式，变形后即得定义2中的形式.二 凸函数的有关结论（一） 凸函数的运算性质性质1 若为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸函数.性质2 若 均为区间上的下（上）凸函数，则也为区间上的下（上）凸函数.推论 若均为区间上的下（上）凸函数，为非负实数，则也为区间上的下（上）凸

18、函数.性质3 若为区间上的下（上）凸函数,为上的下（上）凸增函数，且，则为区间上的下（上）凸函数.性质4 若均为区间上的下（上）凸函数，则也是区间上的下（上）凸函数.（二）凸函数的其他性质定理1设为区间上的严格下凸函数,若有是的极小值点，则是在上唯一的极小值点.证明 若有异于的另一极小值点，不妨设 ，由于是区间上严格下凸函数,故对于任意的,都有.于是对任意,只要充分接近1，总有但是,.这与是的极小值点矛盾，从而是在上唯一的极小值点.定理2 设为开区间上的凸函数，则对任何上满足Lipchitz条件，即存在,对任何，成立.证明 当取定后，因为是开区间，必能在中选取四点满足.任取, 现令 则有，,由

19、于上述常数与中的点无关，因此在上满足Lipchitz条件：存在,使得,对.定理3 设是上的下凸函数,则在上处处存在左、右导数,且 证明，记. 任意且定义3得即在上单调递增;再在右方任取一定点,由定义3得所以在上单调递增且有上界,故由单调原理极限存在,即存在;同理可证,极限存在,即存在,任意由定义3有 在上式中令，,则有（三）凸函数的充要条件定理4设为上的可微函数,则如下三者互相等价:为区间上的下凸函数; 为区间上的递增函数; 对区间上任意两点,有. 证明 在区间上任取两点及充分小的正数 根据的凸性及定义3有 .由的可微性,当时,有，所以为区间上的递增函数. 在以,为端点的区间上,应用拉格朗日中

20、值定理,存在介于与之间的点,使得.由于在区间上单调递增,设有,因而就有和最后合并上两式即得 设,为上任意两点,，令，则.由有分别用和分别乘以上面两式并相加得到 从而,为区间上的凸函数. 推论 设为区间上的二阶可导函数，则为下凸函数.定理5 为区间上下凸函数的充要条件是函数为上的凸函数,.证明 必要性.设为上的下凸函数,那么对任意的及,总有 .充分性.设为上的下凸函数,那么对任意的,及，总有.由定义2知为上的下凸函数.三 对数性凸函数的定义及其性质（一）对数性凸函数的定义定义1 设为区间上的正值函数，如果在区间上为下凸函数，即对任意的和所有的实数 (2)成立，则称在区间上为对数性下凸函数，如果对

21、于，（2）式严格不等式成立，则称在区间上为严格对数性下凸函数。若（2）式中不等号反向，则称在区间上为对数性上凸函数。（二）对数性凸函数的基本性质引理 若则，其中等式成立当且仅当.定理 1 设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的和所有的实数定理2设为区间上的正值函数且二阶可导，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对任意有性质 1 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。推论 1 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。性质 2 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。推论 2 如果函数为区间上

22、的对数性下凸函数，则也为区间上的对数性下凸函数。性质 3 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则为区间上的对数性上凸函数。性质 4 设为定义在区间上的正值函数，为区间，为区间上严格增的对数性下凸函数且在区间上为下凸函数，则为区间上的对数性下凸函数。性质 5 如果一个正值函数在区间上为对数性下凸函数，则对所有的值是下凸函数。性质 6 如果任意为区间上的对数性下凸函数，则是区间上的对数性下凸函数。（三）与对数性凸函数的性质相关的定理推论 1 如果函数为区间上的对数性下凸函数，则（为正实数）也为区间上的对数性下凸函数。证明： 令，由于为对数性下凸函数故 两边同乘以正实数，则 即 故 故由定理,为区间上

23、的对数性下凸函数，同理也是区间上的对数性下凸函数。又由性质2有，为区间上的对数性下凸函数.推论 2 设和为区间上的正数,， ，若在上是对数性下凸函数，则是下凸函数。证明：由于函数是对数性下凸函数，故对任意的和所有的实数，由定理1有因为 所以 =所以,由引理知即 所以,是下凸函数。定理 3 设函数为区间上的对数性下凸函数，则函数在的任意闭子区间上有界。证明：设为任意闭子区间（）.下证在上有上界事实上，因为区间上的对数性下凸函数,故由定理，知，其中（）.下证在上有下界记为a,b的中点,设关于的对称点是，则.因为为区间上的对数性下凸函数,故由定义2,得所以 ,令 ,则，有 ，,.故 , 所以在有下界

24、.定理 4 设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对上任意三点，总有证明：必要性：，记，则，由于在区间上为对数性下凸函数，所以为下凸函数，故 故 即 + 整理，得 即 充分性：在上任取，在上任取一点， 则由于 故 整理，得由于 ，故，于是所以为区间上为对数性下凸函数。定理 5 设为区间上的正值函数，则在区间上为对数性下凸函数的充要条件是对上任意三点，都有 证明：必要性：，记，则，由于在区间上为对数性下凸函数，所以为下凸函数，故 故 即 将式用行列式表示，得充分性：在上任取，在上任取一点， 则 由于 所以 整理，得 即 由于 ，故，于是故 所以为区间上为对数性下凸函数。（四

25、）对数性凸函数性质的应用例 1 . 证明 ：，其中证明 ：令 ，则，故 所以为对数性上凸函数, 因此 .例 2 . 如果则，其中等式成立当且仅当.证明：（1）.当时，显然成立，（2）.当 时，构造函数，则所以由定理2可知，函数 为对数性上凸函数。又因为，故由定理1,有,于是（3）.“”. 当显然成立.“”. 对求的偏导数，得, 即, 故 .例 3. 证明 ：.证明 ：构造函数，则 .由定理2, 为对数性上凸函数，于是由定理,令，则而 故 即 结束语凸函数的应用领域非常广泛，在许多证明题中我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式应用凸函数的性质证明可以非常简洁巧妙.本文把凸函数的定义及其性

26、质充分运用于各类不等式的证明之中,从而显示出凸函数在数学历史上的迅速发展以及凸函数在各个领域上的广泛应用.参考文献1 刘芳园等编： 对数性凸函数的一些性质，新疆，新疆师范大学学报，2006. 2 田宏根等编： 数学分析M（上册）， 北京，高等教育出版社，2002. 3 刘玉琏,傅沛仁： 数学分析讲义M（上册 第三版）， 北京，高等教育出版社，1998.4 裴礼文等编： 数学分析中的典型问题与方法， 北京，高等教育出版社，2005. 5 梅向明等编：华东师范大学数学系.数学分析M，北京，高等教育出版社，1980.6 吴良森等：数学分析习题精解M，北京，科学出版社,2001.摘 要本文首先提出了凸

27、函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度目 录1.引言12.凸函数的定义及几何意义12.1凸函数的几种定义12.2凸函数的几何意义：33.凸函数的判定定理34.函数凸性在经济学中的应用74.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用74.2凸函数在经济优化中的应用114.3凸函数在风险态度中的应用145.总结17参考文献18 1.引言 凸函数是一个十分重要的函数，它的

28、定义最早是由Jensen给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用. 利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的. 经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点. 人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数在区间上有定义，从几何上来看，若的图像上任意两点和之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上），

29、则称该函数是凸（凹）.参见图1.定义2：设函数在开区间上有定义，若有 则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的.若记，则.由的凸性可知：从而有 即 ，整理后可得 这就是凸函数的另一种定义.定义3：在区间上有定义且连续，称为上的凸函数，如果,有将“”改为“”，函数便成为严格凸函数.定义4：在区间上有定义且连续,称为上的凸函数，如果，有.2.2凸函数的几何意义：当时，点表示了区间中的某一点，即.在下图中弦的方程是： 将代入上式得： 图1但因此不等式（1）在几何上表示为也就是说，曲线在弦下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）凸函数除了上面的定义以外，还可以给出连续函数

30、在区间上为凸函数的等价性定义.如下所示： 3.凸函数的判定定理 定理1 设函数在开区间上可导，函数在区间上是凸函数当且仅当.证明： 根据中值定理对一切及必存在使得：又由凸函数定义得在上是凸函数.任取满足.我们来证明：及在区间上严格增加，设从中存在数使得，根据的严格下凸条件得：即上式表明的函数在严格增加.由此可见记起并以此类推可得在严格增加. . 定理2 设在开区间上可导，则下述论断相互等价： 1）为上凸函数； 2）为上的增函数； 3）对上的任意两点，有 （3）证明:若在是凸函数，则由定理1有在上单调增加有 同理可证明当时也有若有令 则对有：对有：从而：即在是凸函数. 定理3 如果函数在上有存在

31、二阶导函数,若对，有，则函数在上是一个凸函数.证明：在区间内任取两点，令函数在的泰勒公式是 当时： 当时 有即 于是或，因此内是凸函数. 定理4 （极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，. 1）若，则在取得极大值. 2）若，则在取得极小值. 证明： 1） 由于 ，故存在一个的邻域，在此邻域内有：当时，有，则必须大于0，即因此在的左邻域内单调递增，即当时，同理可知道在的右邻域内递减，有故当时，有在取得极大值.同理可证 2）.4.函数凸性在经济学中的应用4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用无差异曲线的凸性分析 无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图

32、所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量，曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线. 曲线是连续的，并在轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：式中和分别表示为商品1和商品2的变化量. 当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值. 利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对

33、值为.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点经、运动到的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的. 这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少. 经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合.所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用.生产函数曲线的凸性分析 短期生产函数表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化.由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系，它们的定义公式分别为：或者 根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系.图中的横轴表示可变要素劳动的投入量，纵轴表示产量，、三条曲线顺次表示