最新数学（理科）高三一轮复习系列《一轮复习讲义》52第八章 立体几何与空间向量 8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离5.pptx

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1、8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1 基础知识 自主学习PART ONE1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理ZHISHISHULI l1与l2所成的角 a与b的夹角范围 0，求法cos _2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a，平面 的法向量为n，直线l 与平面 所成的角为，a与n 的夹角为，则sin|cos|.3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小.(2)

2、如 图，n1，n2分 别 是 二 面 角 l 的 两 个 半 平 面，的 法 向 量，则二 面 角 的 大 小 满 足|cos|，二 面 角 的 平 面 角 大 小 是 向 量 n1与n2的夹角(或其补角).|cos n1，n2|1.利用空间向量如何求线段长度？【概念方法微思考】2.如何求空间点面之间的距离？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()基础自测JICHUZICE1 2 3 4 5

3、(5)若二面角 a 的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角 a 的大小是.()1 2 3 4 5题组二教材改编2.P104T2 已 知 两 平 面 的 法 向 量 分 别 为 m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为A.45 B.135C.45 或135 D.901 2 3 4 5两平面所成二面角为45 或180 45 135.1 2 3 4 54.在 直 三 棱 柱ABC A1B1C1中，BCA 90，M，N 分 别 是A1B1，A1C1的 中 点，BC CA CC1，则BM 与AN 所成角的余弦值为1 2 3 4 5题组三易错自纠1 2 3 4 55.已知向量

4、m，n 分别是直线l 和平面 的方向向量和法向量，若cos m，n，则l 与 所成的角为_.0 90，30.302 题型分类深度剖析PART TWO题型一求异面直线所成的角师生共研例1 如 图，四 边 形ABCD 为 菱 形，ABC 120，E，F 是 平 面ABCD 同 一 侧 的两点，BE 平面ABCD，DF 平面ABCD，BE 2DF，AE EC.(1)证明：平面AEC 平面AFC；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹

5、角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.思维升华跟踪训练1 三 棱 柱ABC A1B1C1中，ABC 为 等 边 三 角 形，AA1平 面ABC，AA1AB，N，M 分别是A1B1，A1C1的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为题型二求直线与平面所成的角例2(2018 全 国)如 图，四 边 形ABCD 为 正 方 形，E，F 分 别 为AD，BC 的 中点，以DF 为折痕把DFC折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF.师生共研(1)证明：平面PEF 平面ABFD；证明由已知可得BF PF，BF EF，PF EF F，PF，EF 平面PE

6、F，所以BF 平面PEF.又BF 平面ABFD，所以平面PEF 平面ABFD.(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.思维升华(1)证明：PO 平面ABC；跟踪训练2(2018 全 国)如 图，在 三 棱 锥P ABC 中，AB BC，P APB PC AC 4，O 为AC 的中点.(2)若 点M 在 棱BC 上，且 二 面 角M P A C 为30，求PC 与 平 面P AM 所 成 角 的正弦值.题型三求二面角师生共研例3(2018 达 州 模 拟)如 图，在 梯 形ABCD 中，AB CD，AD DC CB 2，ABC 60，平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是菱形，CAF

7、60.(1)求证：BF AE；(2)求二面角B EF D 的平面角的正切值.思维升华利 用 向 量 法 求 二 面 角 的 大 小 的 关 键 是 确 定 平 面 的 法 向 量，求 法 向 量 的方 法 主 要 有 两 种：求 平 面 的 垂 线 的 方 向 向 量；利 用 法 向 量 与 平 面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.(1)证明：平面AMD 平面BMC；(2)当 三 棱 锥M ABC 体 积 最 大 时，求 平 面MAB 与 平 面MCD 所 成 二 面 角 的 正弦值.例(12分)如 图，四 棱 锥SABCD 中，ABD 为 正 三 角 形，BCD120，CBCD C

8、S 2，BSD 90.答题模版D A TIMUB AN利用空间向量求空间角(1)求证：AC 平面SBD；(2)若SC BD，求二面角A SB C 的余弦值.3 课时作业PART THREE1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16基础保分练1.已 知 两 平 面 的 法 向 量 分 别 为 m(1，1，0)，n(0，1，1)，则 两 平 面 所成的二面角为A.60 B.120C.60 或120 D.90即m，n 120.两平面所成二面角为120 或180 120 60.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 162.如 图，在

9、空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱ABC A1B1C1，CA CC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为3.在 正 方 体ABCD A1B1C1D1中，点E 为BB1的 中 点，则 平 面A1ED 与 平 面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 164.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC 与B1D 所成角的大小为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165.(2018 上 饶 模 拟)

10、已 知 正 三 棱 柱ABC A1B1C1，AB AA12，则 异 面 直线AB1与CA1所成角的余弦值为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167.在 三 棱 锥P ABC 中，P A 平 面ABC，BAC 90，D，E，F 分 别 是 棱AB，BC，CP 的中点，AB AC 1，P A 2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为_.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1

11、5 169.如 图 所 示，在 三 棱 柱ABCA1B1C1中，AA1底 面ABC，AB BC AA1，ABC 90，点E，F 分 别 是 棱AB，BB1的 中 点，则 直 线EF 和BC1所 成 的 角 是_.601 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1610.(2019 福 州 质 检)已 知 点E，F 分 别 在 正 方 体ABCD A1B1C1D1的 棱BB1，CC1上，且B1E 2EB，CF 2FC1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为_.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(1)证明：B1Q

12、 A1C；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(2)求直线AC 与平面A1BB1所成角的正弦值.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(1)证明：平面BEF 平面PEC；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(2)求二面角A BF C 的余弦值.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16技能提升练1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(1)证明：无论 取何值，总有AM 平面PNQ；(2)是 否 存 在 点P，

13、使 得 平 面PMN 与 平 面ABC 的 夹 角 为60？若 存 在，试 确 定 点P 的位置，若不存在，请说明理由.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练A.1 B.2C.13 D.261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1616.如 图 所 示，在 梯 形ABCD 中，AB CD，BCD 120，四 边 形ACFE为 矩 形，且CF 平面ABCD，AD CD BC CF.(1)求证：EF 平面BCF；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(2)点M 在 线 段EF 上 运 动，当 点M 在 什 么 位 置 时，平 面MAB 与 平 面FCB 所 成 的 锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离第八章立体几何与空间向量