第四、五节--无穷大与无穷小-极限运算法则课件.ppt

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1、1 第四节第四节 极限运算法则极限运算法则 一、无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则二、极限的运算法则2 拉格朗日曾用无穷小分析的方法拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统系统地建立了动力学基础地建立了动力学基础,创立了创立了“分析力学分析力学”.牛顿对微积分的探讨牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无可以说使用了无穷小的方法穷小的方法.的理论称为的理论称为“无穷小量分析无穷小量分析”.常常把整个变量常常把整个变量 欧拉于欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论无穷小分析引论.即所谓无穷小量即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家(1642

2、1727)NewtonLagrange意大利数学家、力学家意大利数学家、力学家(17361813)瑞士数学家瑞士数学家(1707 1783)Euler都可以转化为一种简单而重都可以转化为一种简单而重要的变量要的变量,数学分析的历史表明数学分析的历史表明,较复杂的变量较复杂的变量,很多变化状态比很多变化状态比3 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。

3、在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。论价值，值得我们单独给出定义。41.定义定义 极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量,简称简称如如,无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.无穷小无穷小.一、无穷小一、无穷小在某个过程中在某个过程中62.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证:当当时时,有有对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证.注：注：7意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问

4、题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证8注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.10推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小11二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的绝对值无限增大的变

5、量变量称为称为无穷大无穷大.13如是无界函数是无界函数,但不是但不是无穷大无穷大.因为取因为取而取而取当当所以所以 f(x)不是不是无穷大无穷大!15三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证16意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.18四、极限运算法则四、极限运算法则定理定理1证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得1920有界，有界，注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同

6、样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论有两个重要的推论21推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2定理的条件：定理的条件：存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立22定理定理2

7、 2那末那末如果如果24 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要注意条件:参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限它们的极限商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.都存在都存在,25五、求极限方法举例五、求极限方法举例解解例例1 126 小小 结结则有则有则有则有28解解例例3 3 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限.方方 法法分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子29 求极限求极限

8、 例例 一一 解解 例例 二二 解解 31例例4 4解解无穷小因子析出法无穷小因子析出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出以分出再求极限再求极限.求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,32 小小 结结例例5 5解解33例例6 6解解先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式=不能用运算法则不能用

9、运算法则.方方 法法34例例7 7解解“根式转移根式转移”法法化为化为 型型不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则.分子有理化分子有理化35 解解 当当x x时时 分子及分母的极限都不存在分子及分母的极限都不存在 故关故关于商的极限的运算法则不能应用于商的极限的运算法则不能应用 例例 8 8 是无穷小与有界函数的乘积是无穷小与有界函数的乘积 36解解 原式原式=解解原式原式=37设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,有定义有定义,若若且存在且存在有有则则定理定理4(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法

10、则)(xgfy=)(ufy=)(xgu=)(xgfy=,)(0uxg 六、复合函数极限六、复合函数极限38证证由极限定义得由极限定义得39此定理表明：此定理表明：则可作代换则可作代换极限过程的转化极限过程的转化注注可得类似的定理可得类似的定理40化为化为如果函数如果函数满足满足该定理的条件该定理的条件,那么作代换那么作代换可把求可把求例例9求极限求极限:解解可看作可看作与与复合而成复合而成.并且并且因而因而41例例10解解原式原式=这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法.故故42思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，

11、有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？解答解答没有极限没有极限假设假设由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误有极限，有极限，为什么？为什么？(1)43试确定常数试确定常数解解 令令则则使使即即(2)0)1(lim33=-xaxx44(3)1993年考研数学三年考研数学三,3分分A.无穷小量无穷小量B.无穷大量无穷大量C.有界量非无穷小量有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量无界但非无穷大量D45(4)(4)解解先变形再求极限先变形再求极限.46 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极

12、限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。关系求极限。47无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是

13、唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.六、小结六、小结483.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;4.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.49作业作业习题习题1-4(411-4(41页页)1;2.(1);6.习题习题1-5(481-5(48页页)1(单单),(14);2;3.50思考题思考题1思考题思考题2 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？51思考题思考题1解答解答不能保证不能保证.例例有有思考题思考题2解答解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误52无界，无界，不是无穷大不是无穷大