立体几何易考点考向知识点总结分析,立体几何高考真题及答案解析.pdf

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1、考点2 7空间几何体的结构及其三视图与直观图空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.知识整合一、空间几何体的结构1.多面体几何体结构特征备注棱柱底面互相平行.侧面都是平行四边形.每相邻两个平行四边形的公共

2、边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱锥底面是多边形.侧面都是三角形.侧面有一个公共顶点.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥乂称为四面体.棱台上、下底面互相平行，且是相似图形.各侧棱的延长线交于一点.各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2.旋转体几何体结构特征备注圆柱圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.平行于底面

3、的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥底面是圆面.有无数条母线，长度相等且交于顶点.平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.圆台圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.有无数条母线，等长且延长线交于一点.平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球球心和截面圆心的连线垂直于截面.球心到截

4、面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式:d=,内-/.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.二、空间几何体的三视图与直观图1.空间几何体的三视图(1)三视图的概念光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.Oc 口a b正视图 侧视图a俯视图(2)三视图的画法规则排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图:正侧俯画法规则i)正视图与俯视图的

5、长度一致，即“长对正”；ii)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；iii)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等线条的规则i)能看见的轮廓线用实线表示；ii)不能看见的轮廓线用虚线表示.(3)常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2.空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：在已知图形中取互相垂直的x轴和），轴，两轴相交于点。.画直观图时，把它们画成对应的V 轴和

6、y 轴，两轴相交于点。，且使/乂。了=4 5。（或 1 3 5。），它们确定的平面表示水平面.己知图形中平行于x 轴或），轴的线段，在直观图中分别画成平行于乂轴或y 轴的线段.己知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Q x,Q y,再作O z 轴使/x O z=9 0。,且 Ny O z=9 0.画直观图时，把它们画成对应的轴。丫,。了,0幺,使/乂0了=4 5。（或 1 3 5。），/才。/=9 0。，V O y 所确定的平面表示水平平面.己知图形中，

7、平行于x轴、y轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于乂轴、J 轴或/轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与己知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.己知图形中平行于x轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于），轴的线段，长度变为原来的一半.画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系原图形与直观图的面积比为2=2 后，即原图面积是直观图面积的2 近 倍，S直观图面积是原图面积的=也倍.2V2 4点考向,考向一 空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结

8、构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例引领典 例 1下列命题中正确的是A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】B【解析】在 A 中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故 A 错误；在

9、 B 中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故 B 正确；在 C 中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故 C 错误；在 D 中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D 错误.故选B.变式拓展1.正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是典例引领典 例 2边长为5 cm 的正方形E F G H是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是A.10 cm B.5/2 cmC.5。兀 2+1 cm D.yjji2+4 c

10、m2【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，展开后七 尸=工2兀2=3兀2 2 2EG-J s）+兀了-g5/兀2 +4（c m）.故选D.【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理.变式拓展2.如图，在长方体AB C。4 4 c2中，A B =1,5 c =6,点M在棱C C 1上，当M A+M 4取得最小值时，MD,X M A ,则棱CQ的长为.考向二 空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.(2)由几何体

11、的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示.(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例引领典 例3如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是ABC D【答案】B【解析】A 选项三棱锥、C 选项圆台、D 选项的正视图都不是矩形，而 B 选项圆柱的正视图为矩形.故选B.变式拓展3.一个动点从正方体ABC。-4 4 G 2的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶

12、点G 位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是A.B.C.D.典例引领典 例 4如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是侧视图俯视图A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱【答案】B【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.变式拓展4.如图，网格纸上小正方形的边长为2,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为A.2/3B.4C.6D.4/2考向三空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：坐标轴的夹角改变，三变叫与y轴 平 行 的 线

13、 段 的 长 度 变 为 原 来 的 一 半；图形改变 平行性不改变“三不变，与x,z轴平行的线段的长度不改变.相对位置不改变典例引领典 例 5如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为y 4 6 1 2 3A.3 B.2C.6 D.3夜【答案】C【解析】原平面图形如图，即R t Z 0A8,其 中O A=O A=3,O B=2O B=4,故原平面图形的面积为-1 x 3x 4=，6，2故选C.【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为之=2起，即原图面积是直观图面S积的2血 倍，直观图面积是原图

14、面积的 产=立 倍.2V 2 4变式拓展兀5.已知边长为1的菱形A B C D中，N A =1,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为A&B&2 4V66D,显83点冲 关 救1.有下列三个说法：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有A.0 个 B.1 个C.2 个 D.3 个2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱3.如图为水平放置的正方形ABC。，在直角坐标系中点B 的坐标为（2,则用斜二测画法画出的正

15、方形的直观图中，点到x 轴的距离为C.I4.如图，正方体-中，E 为棱8 与 的中点，用过点A、E、a的平面截去该正方体的下半部分，则剩余凡何体的正视图（也称主视图）是5.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为wmraA.等腰三角形c.平行四边形B.直角三角形D.梯形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是X7.已知三棱柱A BC-AgG的高为2,底面三角形的边长分别为3,4,5.若球。内切于三棱柱A 8C-A 4C，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是8.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、

16、下底面半径之比为1:4,若截去的圆锥的母线长为3cm,则圆台的母线长为A.lcm B.3 cmC.12cm D.9cm9.一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系。-到z中 的 坐 标 分 别 是(0,1,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,2,2),绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为i o.一个正方体的内切球a、外接球a、与各棱都相切的球o；的半径之比为A.1:3:2 B.1:1:1C.1:6：后 D.1:2:31 1 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，

17、则这些梯形的面积之和为A.28C.3 2B.3 0D.3 61 2.长方体A 3 C O 4gG R 中，A B =B C =l,B B、=O,设点A关于直线BQ的对称点为P,则P与G两点之间的距离是A.1B.V2D.22c313.已知正三棱柱A B C-A iB C i的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A i,则该蚂蚁走过的最短路径为A.V193C.2V19314.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为便视图俯视图A.1B.2C.3D.41 5.如 图 所 示,分 别 为 正 方 体A B C D-A Z r C D的

18、 面ADDA面B C C 的中心，现给出图 的 4 个平面图形，则 四 边 形 在 该 正 方 体 的 面 上 的 射 影 可 能 是 图.（填上所有正确图形对应的序号）D_ c图 图 图1 6 .如图所示是一个几何体的表面展开平面图，该几何体中与数字面相对的是“_ _ _ 我 产X式1 7 .己知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有.（填序号）屈）画回正视图 侧视图1 8 .已知一个圆锥的母线长为2,底面圆的周长为26 7 1，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为.1 9 .一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为4 5。，腰和上底均为1的等腰

19、梯形，则 这 个 平 面 图 形 的 面 积 为.20.用半径为2 c m，圆心角为与 的 扇 形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为 c m.21 .正 三 棱 锥 尸。中，Z A P B =Z B P C =Z C P A =9 0 ,PA=PB =PC=a,A B 的中点为M,一小蜜蜂沿锥体侧面由M爬 到C点，最短路程是.1.（20 1 8 新课标全国1 文科）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8，则在此圆柱侧面上，从 到 N 的路径中，最短路径的长度为A.2而 B.2亚C.3D.22.（20 18

20、 新课标全国I H 文科）中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是梯头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3.（20 16天津文科）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为变式拓展1.【答案】C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线，故 C 正确.2 .【答案】巫2【解析】把长方形。C G A 展 开 到 长 方 形 A 所在平面，如图，当A，M

21、，R在M A A C 2同一条直线上时，M R+M 4 取得最小值，此时=M D、C Q 1令 M 4 =2 x,M D =x,CC=h,则/242+72=25.故 选 B.14.【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥尸-A B C,其中P C,底面A B C,底面A8C是一个三边分别为夜，夜，2 的三角形，PC=2.由（&+（直 =2 2,可得/A=9 0。，则 A8J_AC又 PCJ_底面 ABC,：.PCBC,PC.LAC.则 ABLPA.因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4.故选D.15.【答案】【解析】四边形BFDE在正方体AB C Q-A歹CD的面B C

22、C 上的射影是;在面ABCD上的射影是;易知的情况不可能出现.1 6.【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，与 数”字面相对的是“学1 7【答案】【解析】俯视图为时，该几何体从上往下依次为圆柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图为时，该几何体从上往下依次为长方体、长方体、圆柱组成的组合体；俯视图为时，该儿何体从上往下依次为圆柱、长方体、长方体组成的组合体；俯视图为时，该几何体从上往下依次为三棱柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图不可能为.1 8.【答案】227r【解析】底面圆的周长为2百兀，所以半径为6,两母线夹角最大为3圆锥的母线长为2,过圆锥顶点的截面

23、面积S =x 2 x 2 x si n a ,2所以，当截面中的两圆锥母线夹角为三时，截面面积最大为2.21 9 .【答案】2 +0【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为4 5。，腰和上底均 为1的等腰梯形，其面积为S =X(1 +1+&)X，I =4 1(2 +J 5),2 2 4又原图形与直观图的面积比为=2夜，S所以原图形的面积为S =2 0 S =2 +J 2.2 0.【答案】逑32 7 1 2 兀 4 7 1【解析】如图所示，半径为2 c m,圆心角为？-的扇形，所以扇形的弧长为？-x 2 =彳,4兀 2设卷成圆锥的底面圆的半径为广，则2兀尸=工，解得尸=彳，

24、3 3所以这个圆锥筒的高为h=J 22-(1)2=口年=孚.21.【答案】。2【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M 到 C 的距离，就是在M B C 中MC的长度，由 题 中 数 据 易 得=缶，Z M B C =Z P B A +Z P B C =90,2.M C=，如果将侧面PAC展开，同 理 可 得=2直通高考1.【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M 在上底面上，点 N 在下底面上，且可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为后工 定=2V5.故选B.【名师点睛】该题考查

25、的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2.【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形.故 选A.3.【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的

26、点、线、面之间的位置关系及相关数据.考点2 8空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识整合一、柱体、锥体、台体的表面积1.旋转体的表面积圆 柱（底面半径为r,母线长为/）圆 锥（底面半径为r,母线长为D圆 台（上、下底面半径分别为，/，母线长为1）侧面展开图1.,7*-2仃rA/底面面积s底=冗,S h底=兀，2,S下 底=兀,侧面面积S恻=2兀厂/5厕=”/S侧=戒（，+）表面积S表=2兀尸（尸+/）S 表=7 i r(r +/)S 表=兀(r 2 +，+/+4)2.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧

27、面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积1.柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体V柱体=S（5为底面面积，/I为高）,|柱=兀，（厂 为底面半径，为高）锥体腺体=；S （S为底面面积，/?为高），唳锥=；兀 厂2/?（r为底面半径，/?为高）台体腺体=g（S，+J 5 +S）（S、S分别为上、下底面面积，为高），幅台=g兀。（2+,，+，）（六厂分别为上、下底面半径，h为高）2.柱体、锥体、台体体积公式间的关系陷 体4（s+5九3.必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.三、球的表面积和体积1.球的表面积和体积公式设球

28、的半径为R,它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为4兀/?2,即球的表面积等于它的大圆面积的4 倍；其体积公式为3 兀 押 12.球的切、接 问 题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a,则 正 方 体 的 内 切 球 半 径 是；正方体的外接球半径是更；2 2与正方体所有棱相切的球的半径是Xa.2（2）若长方体的长、宽、高分别为a,b,h,则长方体的外接球半径是 J Y +.2（3）若正四面体的棱长为a,则正四面体的内切球半径是逅a；正四面体的外接球半12 7/y径 是 民。；与正四面体所有棱相切的球的半径是在a.4 4（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则

29、球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.考向一柱体、锥体、台体的表面积1.已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积.2.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3.求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例引领典 例 1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为nr+I0A.5 7 1B.6兀C.6兀 +2D.5兀 +2【答

30、案】D【解析】由三视图可知，该儿何体为两个半圆柱构成,其表面积为 2X71X12+71X1x24-71X1x1+2 x1=5K+2,故选D.【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱.典 例 2若正四棱柱ABC O -4 与G R 的底边长为2,A G 与底面4 5。成 45。角，则三棱锥8-A C G 的表面积为A.6+2 0 +2 6B.4+30+3百C.8+V2+2V3D.10+V 2+V 3【答案】A【解析】由A G 与底面ABC。成 45。角，且正四棱柱A 8C O-4 用G A 的底边长为2,可知棱

31、柱的高为2出，故三棱锥B-A C C,的表面积为-x2 V 2 x 2 /2 +-x 2 V 2 x 2 +-x 2 x 2 +-x 2 x 2 =6+2V2+2 .2 2 2 2故答案为A.变式拓展1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.46C.50D.522.梯卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫柳，凹进部分叫卯，梯和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种样卯的三视图，其表面积为A.192B.186C.1 8 0D.1 9 8考向二柱体 锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择

32、题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解.等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中

33、的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的凡何体堆积而成的，其体积就等于这儿个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个儿何体的体积.因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例引领典 例 3 如图所示的网格是由边长为1 的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.

34、4 01 6C.31 0B.38 0D.3【答案】D【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱3 C E-A G/割去一个三棱锥A-B C D所得的儿何体，如图所示:所以其体积为V=g x 4 x 4 x 4 一 ；x g xx 4 x 4|x 4 =2 J 3 ,故选D.典 例4如图，几何体E F-A B C D中，D E _ L平面A B C D,C D E F是正方形，A B C O为直角梯形,AB/CD,ADI.DC,A A C B是腰长为2金 的等腰直角三角形.B(1)求证：BC 1 A F；(2)求几何体EF-ABCO的体积.【解析】(1)因为八 4。3 是腰长为2g的等腰直角三角形

35、，所以AC 1 BC.因为O E 1平面4 B C 0,所以OE1BC.又D E/C F,所以CF1BC,又4C nC F=C,所以BC_L平面4CF.所以BC 1 AF.(2)因为ZXABC是腰长为2夜 的等腰直角三角形，所以 4c=BC=2 0,AB=y/AC2+BC2=4,所以/W=BCsinABC=2y2 x sin45=2,CD=A B-BCcosABC=4-272 x cos45=2.所以 CE=EF=CF=2,由勾股定理得AE=JAD2+DE2=2V2,因为DE 1平面4BCD,所以DE 1 4 0.又力 D J.DC,DEC!DC=D,所以AD 1平面COEF.所以V几何体EF

36、-ABCD=匕l何体A-CDEF+,四边形cDEF AABC。0 一 CD DE-AD+-x-A C B C C F =-x2 x2 x2 +-x-x2y/2x2y/2x2=.3 2 3 3 2 3变式拓展3 .已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为勺8,则。的值为3A.GC.2百4.如 图，在斜三棱柱ABC-AgG中，底面4 B C是边长为2的正三角形，M为棱3C的中点，B B、=3,AB1=V 1 0,NCB B =6 0。.(1)求证：A M _ L 平面 BCC4；(2)求斜三棱柱A B C -44G的体积.考向三球的表面积和体积1 .确定一个球的条件是球心和球的半径，已知

37、球的半径可以利用公式求球的表面积和体积;反之，己知球的体积或表面积也可以求其半径.2 .球与几种特殊几何体的关系：（1）长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；（2）正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（5）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.3 .与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间

38、的关系，正确建立等量关系.4 .有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间儿何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d=1 R 2-户.典例引领典 例5 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌.若三棱锥PA BC为鳖膈，Q4,平面AB C,A4 =A 3 =2,A C =4,三棱锥PA 8C的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为A.8兀B.1 2兀C.20TI D.2 4兀【答案】C7T【解析】如图，由题可知，底面Z V I B C为直角三角形，且=2则 B C =ylAC2-A B2=2 6,则球。的直径 2

39、R =yj P A2+A B2+B C2=72 0 =2石,:.R=也,则球。的表面积S=4K/?2=20K.故选C.A典 例6四棱锥尸 ABC。的底面为正方形A3CD,底面ABC。，AB=2,若该9兀四棱锥的所有顶点都在体积为一的同一球面上，则 的 长 为2【答案】C【解析】连接AC、B D 交于点E,取PC的中点0,连 接0 E,可 得0E用,P A J_底面 ABC。，；.0E_L底面 ABCD,可 得。到四棱锥的所有顶点的距离相等，即。为球心，设球的半径为R,可得 R=,P C =L jP A 2+8,则 d兀/_LJPA2+8 1=电，2 2 3（2）2解 得PA=.故选C.变式拓展

40、5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A.16KC.12 兀B.14KD.8兀6.已 知 是 某 球 面 上 不 共 面 的 四 点，且 AB=3 C=A D =1,BD=AC=6,B C L A D,则此球的体积为A.q2C.2 6兀 D.4 6兀考向四 空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利

41、用导数方法解决.典例引领典例7如图A M 是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A,B的任意一点,4A=A8=2.（1）求证：BC_L平面4A C;（2）求三棱锥4-A 8 C的体积的最大值.【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,8的任意一点，且4 8是圆柱底面圆的直径，所以B CL AC.因为A 4 _L平面ABC,8Cu平面AB C,所以4 4 4 8 C又 AAiCAC=A,所 以BC_L平面A 4C.（2）方法一：设 AC=x（0r2）,在 R tA A B C 中,B C=，4 B 2 -2=7 4 7 2,故“三 棱 锥A-4 8 C =；S BCXAAI=：

42、X x ACx B Cx AAi=AA/4-x2=x2（-x2=；J Q 2 -2尸 +4.因为 0X2,0/2C.872D.8 G3.（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:cm3）是俯视图A.2C.6B.4D.84.（2018新课标I 文科）已知圆柱的上、下 底 面 的 中 心 分 别 为。2,过直线G Q 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为A.127271 B.12TIC.8 痣兀 D.1（）7 15.（2 018 年高考新课标H I文科）设 A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为9

43、 6，则 三 棱 锥 4 9 c 体积的最大值为A.12 6 B.18 x/3C.2 4 G D.5 4 G6.（2 017 新课标全国II文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.9071C.42nB.63KD.36TI7.（2 017 新课标全国III文科）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为B.3兀T兀C.一2D.7148.（2 017 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积（单位：c m 3）是俯视图9.（2019年高考全

44、国in卷文科）学生到工厂劳动实践，利 用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A B C D-A B D,挖去四棱锥O-E F G H后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H 分别为所在棱的中点，A B =B C =6 cm,AA=4 cm,3 D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为-g.10.（2019年高考北京卷文科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.11.（2019年高考天津卷文科）已知四棱锥的底面是边长为行的正方形,侧棱长

45、均为、后.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.12.（2019年高考江苏卷）如图，长方体A8C。-A 4 G A 的体积是120,E为C 6 的中点，则三棱锥E-B C D的体积是.何 体 的 体 积 为.1-2-正视图（主视图）侧视图（左视图）14.（2017天津文科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1 8,则 这 个 球 的 体 积 为.15.（2017江苏）如图，在圆柱。2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记 圆 柱。2的体积为匕，球 O 的体积为匕，则：的值是.16.（201

46、8江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.17.（2018天津卷文）如图，已知正方体A津CD-AIBCI出的棱长为1,则四棱锥的体积为.18.（2018新课标II文科）已知圆锥的顶点为S,母线S 4,S 3 互相垂直，与圆锥底面所成角为3 0 ,若a S A B 的面积为8,则 该 圆 锥 的 体 积 为.19.（2017新课标全国I 文科）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA_L平面SCB,SAAC,S B=B C,三棱锥S-A B C的体积为9,则球。的表面积为.20.(2019年高考全国II卷文数)如图，长方体

47、ABCQ-AIB G OI的底面ABCQ是正方形,点 E 在棱A 4 上，B E L EG.(1)证明：8E_L平 面E B C；(2)若 AE=4E,AB=3,求四棱锥E 的体积.21.(2017新 课 标 全 国 I 文 科)如 图，在 四 棱 锥P-A B C D中,AB/CD,且NBAP=NCDP=90.(1)证明：平面PAB_L平 面 PA。；8(2)若PA=PD=AB=DC,Z A P D =9 0，且四棱锥P-A B C D的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.22.(2018新课标I文科)如图，在平行四边形A3CM中，A B =A C =3，NACM=90,以AC为折痕将ACM折起，

48、使点M到达点。的位置，且(1)证明：平面AC。_L平面ABC；(2)。为线段A。上一点，尸为线段8C上一点，且8P=。=|必，求三棱锥Q-ABP的体积.AB参考答案.变式拓展1.【答案】B【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥P-A B C D,棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，4个侧面都是直角三角形，(3 x4 5 x4、由所给数据可得该几何体的表面积为S =2 x 丁+二 厂)+4乂4=48,故选B.2.【答案】A【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为2,6,3,下部分为长方体，棱长分别为6,6,3,其表面积为 S =4x 6x

49、 3 +2 x 6x 6+(2+6)x 2 x 3 =1 9 2.故 选A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.3.【答案】A【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图:是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是腰长为血的等腰直角三角形，高为所以体积为x a+q X x a=，也-,解得a-百.故 选A.【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等“，还

50、要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.【解析】（1）如图，连接瓦M,因为底面A 8 C是边长为2的正三角形,所以 AM_LBC,且 AM=G，因 为 叫=3,Z C B Bt=60 ,B M =L所以 4 M2 =+3 2-2 x i x 3 x co s 60 =7,所以B1M=布,又因为蝴=厢，所以 A A +B幽2 =i o =A B：,所以 AM 1 S.M ,又因为=M,所以A M _ L平面3 C C .（2）设斜三棱柱AB C-4 4 G的体积为V ,11f-o