2023年圆锥曲线大题题型全面汇总归纳.pdf

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1、.圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、等等；abcep2 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需

2、要找不等式；2“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例 1、已知 F1，F2为椭圆+=1 的两个焦点，P在椭圆上，且 F1 PF2=60，则 F1 PF2的面积为

3、多少？2100 x264y点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式 1-1 已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上的一点，且12,F F223575xyP.=120，求的面积。12F PF12F PF变式 1-2（2011 孝感模拟）已知 F1，F2为椭圆 (0 b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点2221100 xyb（1）求|PF1|PF2|的最大值；（2）若F1PF2=60 且F1PF2的面积为，求b 的值64 33题型二 过定点、定值问题例 2、（2007秋 青羊区校级期中）如图，抛物线S 的顶点在原点O，焦点在x 轴上，ABC 三个顶点都在抛物线上，且

4、ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC所在直线方程为4x+y-20=0，（）求抛物线的方程；.（）是否存在定点 M，使过 M的动直线与抛物线 S 交于 P、Q两点，且，证明你的结论0OP OQuuu r uuu r处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。变式 2-1 （2012 秋 香坊区校级期中）已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，过 F且斜率为 3直线与抛物线在 x 轴上方的交点为 M，过 M作 y 轴的垂线，垂足为 N，O为坐标原点，若四边形 OFMN 的面积为 4 3（1）求抛物线的方程；.

5、（2）若 P，Q是抛物线上异于原点 O的两动点，且以线段 PQ为直径的圆恒过原点 O，求证：直线 PQ过定点，并指出定点坐标例 3、（2014 秋 市中区校级月考）已知椭圆 C：（ab0），过焦点垂直于长轴的弦长为 1，且22221xyab焦点与短轴两端点构成等边三角形（I）求椭圆的方程；（）过点 Q（-1，0）的直线 l 交椭圆于 A，B两点，交直线 x=-4 于点 E，判断+是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.点评：证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明变式 3-1 （2012秋 沙坪坝区校级月

6、考）已知椭圆 (a b0)的离心率为焦距为222221xyab（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线 PQ异侧的两个动点，满足CPQ=DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值.例 4、过抛物线（0）的焦点 F作任意一条直线分别交抛物线于 A、B两点，如果（O为原点）24yaxaAOB的面积是 S，求证：为定值。2SAB.变式 4-1（2014 天津校级二模）设椭圆 C：（ab0）的一个顶点与抛物线 C：x2=4y 22221xyab3的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 e=且过椭圆右焦点 F2的直线

7、l 与椭圆 C交于 M、N两12点（1）求椭圆 C的方程；（2）是否存在直线 l，使得 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由（3）若 AB是椭圆 C经过原点 O的弦，MNAB，求证：为定值.题型三 “是否存在”问题例 5、（2012 秋 昔阳县校级月考）已知定点 A（-2，-4），过点 A作倾斜角为 45的直线 l，交抛物线y2=2px（p0）于 B、C两点，且|BC|=2 10（）求抛物线的方程；（）在（）中的抛物线上是否存在点 D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点 D的坐标；如果不存在，请说明理由.变式 5-1（2013 柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，

8、焦点在y 轴上，且过点（2，1）（）求抛物线的标准方程；（）是否存在直线 l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点 M，N，当MON 为钝角时，有 S MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.变式 5-2 （2010 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B与点 A（-1，1）关于原点 O对称，P是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于 13（）求动点 P的轨迹方程；（）设直线 AP和 BP分别与直线 x=3 交于点 M，N，问：是否存在点 P使得PAB与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.题型四 最值问题例

9、 6、（2012 洛阳模拟）在平面直角坐标系中 xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为34（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l 交轨迹C于不同的两点M，N，MON 的面积是否存在最大值？若存在，求出MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由.点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。变式 6-1（2015 高安市校级一模）已知方向向量为（1，）的直线l 过点（0，-2）33和椭圆C：（ab0）的右焦点

10、，且椭圆的离心率为 22221xyab12（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点 A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形 ABF 面积的最大值.变式 6-2（2014 蚌埠三模）在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆 C：的上、下顶点分别为2214xyA、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；（）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1k2为定值；（）求线段MN 长的最小值；（）当点P运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论.题型五 求参数的取值范围例 7、（2012春 荔湾区校级期中）

11、如图，已知椭圆=1（ab0）的离心率为，且经过点22221xyab32M（2，1）平行于OM 的直线l 在 y 轴上的截距为m（m0），l 与椭圆有A、B两个不同的交点（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）求证：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.变式 7-1（2006秋 宁波期末）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切（1）求动圆圆心的轨迹 M的方程；（2）设过点Q（0，-1）且以 为方向向量的直线 l 与轨迹M相交于A、B两点若APB 为钝角，求直线l 斜率的取值范围.变式 7-2（2014 苍南县校级模拟）已知抛物线 C：y2=4x 焦点为 F，过 F的直

12、线交抛物线 C于 A，B两点，l1、l2分别过点 A、B且与抛物线 C相切，P为 l1、l2的交点（1）求证：动点 P在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设 C、D为直线 l1、l2与直线 x=4 的交点，PCD面积为 S1，PAB面积为 S2，求 的取值范围12SS.小结解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与 x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之

13、所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB为直径的圆过点 0”（提醒：需讨论 K是否存在）OAOB121KK 0OA OBuuu ruuu r12120 x xy y “点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”0；1212x xy y “等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；120KK12KK “共线问题”（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；AQQBuuu ruuu r（如：A、O、B三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.