函数的奇偶性精品精.ppt

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1、 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。第1 页，本讲稿共17 页观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0第2 页，本讲稿共17 页例如：对于函数f(x)=x3有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f(2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论:当自变量任

2、取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)第3 页，本讲稿共17 页-x xf(-2)=(-2)2=4 f(2)=4而函数f(x)=x2，却是另一种情况，如下：f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x)而函数f(x)=x2，却是另一种情况，如下：第4 页，本讲稿共17 页函数奇偶性的定义:偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函

3、数.奇函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.第5 页，本讲稿共17 页对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x)具有奇偶性。第6 页，本讲稿共17 页练习:说出下列函数的奇偶性:f(x)=x4 _ f(x)=x _ f(x)=x-2 _ f(x)=x5 _f(x)=x-3

4、_ f(x)=x-1 _奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数 对于形如 f(x)=x n()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。第7 页，本讲稿共17 页例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即 f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数解:定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a 即 f(-x)=f(x)f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.再判断f(

5、x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.第8 页，本讲稿共17 页第9 页，本讲稿共17 页思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。第10 页，本讲稿共17 页(1)f(x)=(2)f(x)=x2 x-4,4)解:定义域不关于原点 对 称 或 f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.f(x)为非奇非偶函数解:定义

6、域为 0,+)定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？第11 页，本讲稿共17 页思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数 f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1第12 页，本讲稿共17 页奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性,函数可划分为四类:第13 页，本讲稿共17 页本课小结:两个定义:对于函数f(x)定义域内的任意 一个x 两个步骤:（判断函数的奇偶性）如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函

7、数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。第14 页，本讲稿共17 页练一练：判断函数的奇偶性:点此播放讲课视频第15 页，本讲稿共17 页作业:课本 P44页 A组 10.课外思考题:1.设y=f(x)为R 上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x)2.判断函数 的奇偶性:第16 页，本讲稿共17 页3.已知函数f(x)是奇函数,当x0 时,f(x)=x(1+x);当x0,f(x)等于().A.x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x)4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x),(a,b 不为0的常数)则F(X)为()A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶 D.既是奇又是偶函数若F(x)=x(f(x)+g(x),则F(x)为_,F(x)=x2(f(x)+g(x),则F(x)为_.第17 页，本讲稿共17 页