线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量.ppt

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1、 工程技术中的振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题.特征值、特征向量的概念，不仅在理论上起着十分重要的作用，而且可以直接应用于许多实际问题。定义定义 设A为复数域C上的n阶矩阵,如果存在数0C和非零非零的n维向量X0,使得AX0=0X0,就称0是矩阵A的特征值特征值（eigenvalue）,X0是A的属于(或对应于)特征值0的特征向量特征向量（eigenvecter）.注意注意:特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.AX0=0 0X X0(1)特征向量一定是非零向量.(2)特征向量是属于某一个特征值的,它不能同时属于两个不同的特征值.(3)有了一个特

2、征向量,就可以有无穷多个特征向量.特征值和特征向量的性质性质1 若X1和X2都是A的属于特征值l0的特征向量,则X1+X2也是A的属于l0的特征向量(其中X1+X20)证明：性质2 若X0是A的属于特征值l0的特征向量,则kX0也是A的属于l0的特征向量(其中数k0)证明：性质3 若X0是A的属于特征值l0的特征向量,则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得如何求得矩阵A的特征值和特征向量呢?式子AX=lX(lE-A)X=0.由于X是非零向量,故齐次线性方程组(lE-A)X=0有非零解,而这等价于|E-A|=0.定义 称为A的特征多项式特征多项式,它是以l为未知数的一元

3、n次多项式,也记为f(l).称|lE-A|=0为A的特征方程特征方程.E-A称为称为A的的特征矩阵特征矩阵。性质4 X0是A的属于特征值l0的特征向量性质5 l0是A的特征值我们举例说明求特征值、特征向量的步骤.特征值、特征向量的求法特征值、特征向量的求法例1 求矩阵A的特征值和特征向量,第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全的特征方程，求出全部特征值（注明重数）部特征值（注明重数）.解所以A的特征值为当 时,解方程组 .由二二重重特特征征值值第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组求求基础解系基础解系。得同解方程组（用消元法或直接对系数矩阵作

4、初等变换均可）解得基础解系所以，对应于 的全部特征向量为得同解方程当 时，解方程组 ，由 求得基础解系为所以,对应于 的全部特征向量为注意(1)实矩阵的特征根不一定是实数，且复实矩阵的特征根不一定是实数，且复数数 根是共轭出现的根是共轭出现的.例如 则 得特征值(2)一般一般n阶矩阵有阶矩阵有n个特征根个特征根.包括实包括实根和成对的共轭复根（均可能是一重根和成对的共轭复根（均可能是一重或多重根）或多重根）属于实矩阵A的复特征根的特征向量也是复向量，求法与实特征向量并无不同。例如，属于特征值 的特征向量为：假定 是n阶矩阵 的n个特征值,则关于特征值的一些性质关于特征值的一些性质称为矩阵的迹迹（trace）比较得：由上式知，矩阵A为奇异矩阵的充分必要条件是A的特征值至少有一个为零.例例3A左乘 式两端：1左乘 式两端：例例4课后思考题