2023年初中数学知识体系1.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 人教版初中数学知识体系 第一章 有理数 1.1 正数和负数 正数：大于零的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号的数叫做负数。0 既不是正数也不是负数 正、负数表示两种相反意义的量（1）相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为相反意义的量。（2）具有相反意义的量必须是同类量（3）用正、负数表示相反意义的量时一定要说明数量和单位（4）0 不再仅仅表示没有，在不同的实际问题中，它具有不同的意义。1.2 有理数 1.2.1 一、有理数的有关概念（1）整数的概念：正整数，0 负整数统称为整数。（2）分数的概念：正分数、负分数统称为分数。（3）有理数的概念：整数和分数统称为有理

2、数。特别注意：（1）有限小数与无限小数都可以化为分数。（2）无限不循环小数不能化为分数，所以既不是分数也不是有理数。学习好资料 欢迎下载（3）有时为了需要，整数可以看成分母是 1 的分数，这时的分数包括整数。（4）分数都可以表示成 n/m 的形式。二、有理数的分类 1、按整数与分数的关系分类。2、按正数、负数与 0 的关系分类 注意：（1）在进行数的分类时，先确定分类标准，分类的标准不同，其结果不同，注意做到不重复，不遗漏。（2）不管是哪种分类，有理数最终都分为正整数、0、负整数、正分数、负分数五类。（3）正有理数与正数的区别：正有理数均为正数，但正数不一定都为正有理数。三、数集 1、概念：把

3、一些数放在一起，就叫做数集如：所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；所有有理数组成有理数集合。2、数集的两种表示形式。一种用圆圈表示，一种用大括号表示。（1）在圆圈所表示的数集中填数时，数与数之间适当分开，可以不加标点符号，也可以加。（2）在用大括号表示数集中填数字时，数与数之间必须用逗号隔开。（3）因为数集中填入的只是几个符合条件的数，只是一部分，所以量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 通常加省略号。1.2.

4、2 数轴 一、数轴 概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。注意：（1）、数轴有三要素原点、正方向和单位长度，数轴的三要素缺一不可，只具备其中两个要素或者一个要素的直线不是数轴。（2）、数轴是一条直线，可以向两端无线延伸。（3）一般取向右微正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，单位长度根据具体情况可长可短，但同一数轴的单位长度必须一致。二、数轴的画法 1、画一条直线 2、在直线的适当位置选取一点为原点 3、确定正方向 4、选取适当的长度为单位长度 三、有理数和数轴上的点的关系（1）正有理数可以用数轴上原点右边的点表示。（2）负有理数可以用

5、数轴上原点右边的点表示。（3）0 用原点表示。（4）原点左边的点表示负数，右边的点表示正数。注意：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，不能说数轴上的所有的点都表示有理数。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（2）分数也可以用数轴上的点表示。1.2.3 相反数 一、相反数的概念 像 3 与-3,-0.桉树 5 和 5 这样只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数；0 的相反数是 0.（1）相反数是成对出现的

6、，单独的一个数不能说是相反数。（2）只有 0 的相反数是它本身，除 0 外互为相反数的两个数都是一正一负。二、相反数的意义 任何一个数都有相反数，而且只有一个相反数，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0 的相反数仍是 0.几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。代数意义：两个数除了符号不同外其余都相同。三、相反数的表示方法 根据相反数的意义，只改变原数的符号即可得到原数的相反数，就是说只要在原数前面加“-”号。1.2.4 绝对值 一、绝对值的概念 数轴上表示数 a 的点与原点

7、的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|.读作 a 的绝对值。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（1）一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数或 0，所以一个数的绝对值是正数或零，即是一个非负数，这是绝对值的一个重要性质非负性。（2）在数轴上，表示这个数的点离原点的距离越远，绝对值越大；反之离原点距离越近，绝对值越小。（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。二、绝对值的求法（1）在数轴上

8、找到表示这个数 a 的点，这个点与原点的距离就是这个数 a 的绝对值。（2）一个正数在数轴上对应的点与原点的距离恰好等于这个数的本身，所以一个整数的绝对值是它本身。（3）一个负数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的相反数，所以一个负数的绝对值是它的相反数。（4）表示 0 的点就是原点，原点与原点的距离是 0。（5）对于字母或者代数式来说，必须先了解其说对应的符号，如果不能确定符号，则应该分类讨论。三、绝对值的性质（1）、任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数。（2）绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它相反数的数是非正数。0 是绝对值最小的数。（3）绝对值是正数的有两个，

9、它们互为相反数。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（4）互为相反数的两个数绝对值相等；反之绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数。四、有理数的比较大小（1）、利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序。（2）、利用数的性质比较异号两数及与 0 的大小：正数大于 0,0 大于负数，正数大于一切负数。（3）、利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的小。1.3.1 有理数的加

10、法 一、有理数的加法 把两个有理数合并成为一个有理数的运算，叫做有理数的加法。二、有理数加法法则（1）、同号两数相加：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。（2）、异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得 0.（3）、一个数同 0 相加：一个数同 0 相加，仍得这个数。（4）、有理数的加法运算律：a、加法交换律，b、加法结合律 1.3.2 有理数的减法 一、有理数的减法法则（1）、把减法转化成加法再计算。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理

11、数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（2）、注意符号的变化。（3）、减法没有交换律。（4）、0 减去任何数得这个数的相反数。二、有理数加减混合运算（1）、运用减法法则将有理数混合运算中的减法化为加法。（2）、运用加法法则等进行运算。1.4.1 有理数的乘法 一、有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数和 0 相乘，都得 0.二、倒数的概念。乘积为 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫另一个的倒数。（1）、倒数是它本身的数只有 1 和-1。（2）、0 没有倒数。（3）、倒数是相互的。三、多个有理数的

12、乘方（1）、几个不为 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数个数是奇数时，积是负数，积的绝对值是各因数绝对值的积。（2）几个数相乘，如果其中有一个因数为 0，积等于 0；反之，若几个数的积为 0，则至少有一个因数为 0.四、有理数的乘法运算律（1）、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（2）、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（

13、3）乘法分配律：一个数同的和相等，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。1.4.2 有理数的除法 一、有理数除法法则。（1）、除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数。（2）、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。二、有理数的乘除混合运算。有理数的除法可以转化成为乘法，所以有理数的乘除混合运算可以统一成为乘法运算，步骤为：（1）、将所有的除法为乘法。（2）、确定积的符号。（3）、运用乘法运算律，简化运算，求出最后结果。三、有理数的加减乘除混合运算。（1）、必须按运算顺序进行运算。（2）、混合运算中，分配律既可正用，也可逆用。1.5.1 乘方 一、有理数乘方的意义。求 N 个相同

14、因数的积的运算叫做有理数的乘方，乘方的结果叫做幂。在 a 的 n 次方中，a 叫做底数，n 叫做指数。二、有理数乘方的运算及符号法则 量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 乘方的符号法则：（1)、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（2)、正数的任何次幂都是正数，0 的人物非 0 次幂都是 0.（3)、乘方的运算要理解乘方底数和指数的意义。三、有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（1）、先乘方，再乘除，最后加减。（2）

15、、同级运算，从左到右进行。（3）、如有括号，先算括号内的运算，按照小括号，中括号，大括号一次进行。（4）、乘方次数打时，可借助计算器进行计算。1.5.2 科学记数法 一、科学记数法的意义 把一个大于10的数表示成 a10n 的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数，a 是正整数），像这样的记数法叫做科学记数法。其中1a0时，直线 y=kx 经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大，当 k0时,y 随 x 的增大而增大;当 kn).2.在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0.任何不等于 0的数的0次幂等于1,即)0(10 aa,如1100

16、,(-2.50=1),则00无意义.任何不等于0的数的-p次幂(p 是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即ppaa1(a0,p 是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a0时,a-p的值一定是正的;当a0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y的取值范围是 y0；当 k0）。21.2 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（0，0）。说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（0，0）可以推广为（0，0）；（0，0

17、，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒过来使用，即量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（0，0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（0，0）。说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，0，在分母中，因此 0；（2）（0，0）可以推广为（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒过来使用

18、，即（0，0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。3.最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件：（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。说明：（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（3）二次根式化简到最

19、后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3 二次根式的加减 1.同类二次根式 （1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。2.二次根式的加减 （1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。（2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次

20、根式，同类二次根式相当于同类项。一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 合成一组 iii）合并同类二次根式 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：（1）观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根

21、式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。（2）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。（3）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。4.分母有理化 （1）我们在前面的学习中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化 综合起来，常见的有理化因式有：的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为 （2）分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负

22、数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)

23、的形式，则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：ax+bx+c=0 时，应满足（a0）22.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n 0)的方程，其解为 x=m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念

24、整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 1.转化：将此一元二次方程化为 ax2+bx+c=0 的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化 1：将二次项系数化为 1 3.移项：将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方：左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac的值，当 b2-4ac0 时，把各项系数 a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac 0)就可得到方程的根

25、。因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。22.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可

26、以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 1.图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图

27、形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。（4）会找对应点，对应线段和对应角。2.旋转的基本特征：（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载（3）图形在旋转时，图形的

28、大小和形状都没有发生改变。3.几点说明：（1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。（2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。（3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。23.2 中心对称 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 180，假如它能够与另一个图形重合，那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。中心对称的性质：关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。关于中心对称的刘遇图形

29、是全等形。中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 对称点的坐标规律：关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。23.3 课题学习 图案设计 灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计 图案设计就是通过图形变换(平移、

30、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形，图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好的体现了设计意图 第二十四章 圆 24.1 圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转 360，留下的轨迹叫圆。圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。注：圆心一般用字母 O表示 量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统

31、称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母 d 表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母 r 表示。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的 2 倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之 d。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母 C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个

32、固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2，用字母 S 表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以

33、表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。周长计算公式 1.、已知直径：C=d 2、已知半径：C=2r 3、已知周长：D=c 4、圆周长的一半:12 周长(曲线)5、半圆的长：12 周长+直径 面积计算公式：1、已知半径：S=r 平方 2、已知直径：S=（d2）平方 3、已知周长：S=(c2)平方 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 2.过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。3

34、.外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。4.直线和圆的位置关系 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。5.直线和圆位置关系的性质和判定

35、如果O的半径为 r，圆心 O到直线l的距离为 d，那么 直线l和O相交rd；直线l和O相切rd；直线l和O相离rd。圆和圆 定义：两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理

36、数学习好资料 欢迎下载 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rd r)两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dr)24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆 n(n 3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。3、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。(

37、3)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。4、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆。(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正 n 边形的对称轴有 n 条。(3)边数相同的正多边形相似。重点：正多边形的有关计算。知识讲解 1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。例如：

38、正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有 n 条边，那么，这个多边形叫正 n 边形。再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。2、正多边形与圆的关系。正多边形与圆有密切关系，把圆分成 n(n 3)等份，依次连结分量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正

39、多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而这个多边形就是正多边形。如：将圆 6 等分，即，则 AB BC CD DEEFFA。观察A、B、C、D、E、F所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，ABCDEF。所以，将一个圆 6 等分，依次连结各分点所得到的是O的内接正六边形。3、正多边形的有关计算。(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径 Rn就是其外接圆的半径，正多边形的边心距rn，正多边形的中心角n，正多边形的边长 an。(2)正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个

40、全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正 n 边形的中心角都等于；如果再作出正n 边形各边的边心距，这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成了 2n个全等的直角三角形。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 如图：是一个正 n 边形 ABCD 根据以上讲解，我们来分析 RtAOM 的基本元素：斜边 OA 正 n 边形的半径 Rn；一条直角边 OM 正 n 边形的边心距 rn；一条直角边 AM 正 n 边形的边长 an的一半即 AM

41、 an；锐角AOM 正 n 边形的中心角n的一半即AOM；锐角OAM 正 n 边形内角的一半即OAM(n 2)180；可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正 n 边形的各元素。因此，就可以把正 n 边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。4、正多边形的有关作图。(1)使用量角器来等分圆。由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形。(2)用尺规来等分圆。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和

42、分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 对于一些特殊的正 n 边形，还可以用圆规和直尺作出图形。正四、八边形。在O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作AOB的平分线交于 E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在O中，任画一条直径 AB，分别以 A、B为圆心，以O的半径为半径画弧与O相交于 C、D和 E、F，则 A、C、E、B、F、D是O的 6 等分点。显然，A、E、F(或 C、B

43、、D)是O的 3 等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把O12等分。量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 5、正多边形的对称性。正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。如：正三角形、正方形。24.4 弧长和扇形面积 知识点 1、弧长公式 因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C2 R

44、，所以 1的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为 R的圆中，n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n 表示 1的圆心角的倍数，n 和 180都不带单位“度”，例如，圆的半径 R10，计算 20的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成。（2）在弧长公式中，已知 l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为 1的扇形面积是，由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是。量不能成为相反意义的量具有相反

45、意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。知识点 3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB 的面积和AOB的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示，当弓形所含的弧是优弧

46、时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，例：如图所示，O的半径为 2，ABC 45，则图中阴影部分的面积是（）（结果用 表示）量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 分析：由图可知由圆周角定理可知ABC AOC，所以AOC 2ABC 90，所以OAC是直角三角形，所以，所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓

47、形的联系与区别 图 示 面 积 知识点 4、圆锥的侧面积 量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的

48、侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积 知识小结：圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到的，如 RtSOA绕直线 SO旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD 绕直线 AB旋转一周。图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧

49、面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法 第二十五章 概率初步 25.1 随机事件与概率 1 随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作 e 2 随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)看作特殊的随

50、机事件 量不能成为相反意义的量具有相反意义的量必须是同类量用正负数表示数分数的概念正分数负分数统称为分数有理数的概念整数和分数统称为成分母是的分数这时的分数包括整数分数都可以表示成的形式二有理数学习好资料 欢迎下载 3 事件的关系及运算 (1)包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作AB(或BA)(2)相等：若两事件A与B相互包含，即AB且BA，那么，称事件A与B相等，记作AB (3)和事件：“事件 A与事件 B中至少有一个发生”这一事件称为 A与 B的和事件，记作AB；“n 个事件1,2,nAAA中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,nAAA的和，记作12nA