2023年六年级奥数_浓度问题讲义.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 六年级奥数 浓度问题讲义 一、专题引导：什么是浓度呢？（以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。）三者之间关系：浓度 100 100 二、典型例题 例 1、有浓度为 30的酒精溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24的酒精溶液，如果再加入同样的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？思路导航：稀释问题是溶质的重量是不变量。例 2、有浓度为 7的盐水 600 克，要使盐水的浓度加大到 10，需要加盐多少克？思路导航：溶剂重理不变。练习 海水中盐的含量为 5，在 40 千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为 2？例 3、在浓度为 50的硫酸

2、溶液 100 千克中，再加入多少千克浓度为 5的硫酸溶液，就可以配制成浓度为 25的硫酸溶液？思路导航：混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。练习 配制硫酸含量为 20的硫酸溶液 1000 克，需要用硫酸含量为 18和23的硫酸溶液各多少克？溶质溶液溶质溶质溶剂学习必备 欢迎下载 例 4、从装满 100 克浓度为 80的盐水杯中倒出 40 克盐水，再用清水将杯加满；再倒出 40 克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？思路导航：反复三次后，杯中又已装满，即最后杯中盐水的重量仍为 100 克，

3、由此；问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克？练习 有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到 3，又加入同样多的水后,盐水浓度又降到 2,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?又问未加入水时盐水浓度是多少?有含糖 6的糖水 900 克,要使其含糖量加大到 10,需加糖多少克?比 和 比 例 应 用 题 例 4、乘坐某路汽车成年人票价 3 元，儿童票价 2 元，残疾人票价 1 元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是 50:20:1，共收得票款 26740 元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？思路导航:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1 练习甲乙两

4、人走同一段路，甲要 20 分钟，乙要 15 分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距 840 米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？例 5、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15 元和 10 元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为 5:6，乙商品与丙商品的数量之比为 4:11，且购买丙商品比定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 购买甲商品多花了 210 元

5、。思路导航:根据已知条件可先求三种商品的数量比。练习一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按 5:4:3 的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是 11:8:7,要合成这样的什锦糖 120 千克，什锦糖每千克 32.4 元，混合前的酥糖每千克是多少元？例 6、A、B、C 是三个顺次咬合的齿轮。当A 转 4 圈时，B 恰好转 3 圈；当 B 转 4 圈时，C 恰好转 5 圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？思路导航:根据已知条件 可知 A、B、C 转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。练习 P39-6 巩 固:1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是 4:5:6，高之比是 3:2:

6、1，已知三个平行四边形的面积和是 140 平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是 8:9:10，高之比是 2:3:4，对应的底之比是多少？3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是 2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共6

7、8 个，红球与白球个数的比是 1:2，白球与黑球个数的比是 3:4，红球有多少个？六年级秋季班第一讲 找规律、计数 家教班、基础班作业 1 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。3 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？4 分子小于 6，分母小于 60 的不可约真分数有多少个？5 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有 3 个齿轮，齿数分别是 48，

8、36，24；后轴上有 4 个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速。6 一次考试五人的总分是 423 分，每人的分数都是整数，并且各不相同。问得分最少的人，最多得多少分？解析 7 1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。解答：根据公式 1（注意：切分平面的是直线而不是圆），时，最多可将平面分成块；时，最多可将平面分成块，所以至少要画 10 条直线。2、定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于

9、混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 解答：将分子和分母之和相等的分数看作一组。每组分数的个数恰好是自然数的排列：1，2，3分数位于分子和分母之和为 57 的那一组的第 40 个，这一组为：共 56 个分数，这一组之前共有：1+2+3+55=（155）552=1540 154040=1580（个）3、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？解答：从 09 中选定 4 个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如 0、7、3、1 只能对应 3107，所以用组合数，10 个数字选 4 个，即。4、分子小于 6

10、，分母小于 60 的不可约真分数有多少个？解答：分子是 1 时，分母可取 259，共 58 个分数；分子是 2 时，分母可取 60 以内除 1 以外的所有奇数，共 30-1=29个；分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-603-2=38个；分子是 4 时，分母可取 60 以内除 1、3 以外的所有奇数，共 28 个；分子是 5 是，分母可取 60 以内除了 5 的倍数以及 1、2、3、4 以外的所有数，共60-605-4=44个；由上可知，符合条件的真分数共计 58+29+38+28+44=197个。5、现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不

11、同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有 3 个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有 4 个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速 解答：根据乘法原理，共有 34=12 种档位，但是 48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以实际只有 12-4=8种不同的车速。6、一次考试五人的总分是 423 分，每人的分数都是整数，并且各不相同。问得分最少的人，最多得多少分？解答：得分最少的人比其余四人，至少分别要少 1，2，3，4 分所以最少得分要

12、423（1234）5=82.6分 得分最少的人，最多得82 分 提高班作业 1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 2、一个长方形把平面分成两部分，那么 3 个长方形最多把平面分成多少部分？3、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？4、分子小于 6，分母小于 60

13、 的不可约真分数有多少个？5、现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有 3 个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有 4 个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速。6、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？解析 1.解析：根据公式 1（注意：切分平面的是直线而不是圆），时，最多可将平面分成块；时，最多可将平面分成块，所以至少要画 10 条

14、直线。2.解析：根据公式4，当时，最多可将平面分成块。3.解析：从 09 中选定 4 个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如 0、7、3、1 只能对应 3107，所以用组合数，10 个数字选 4 个，即。4.解析：分子是 1 时，分母可取 259，共 58 个分数；定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 分子是 2 时，分母可取 60 以内除 1 以外的所有奇数，共 30-1=29个；分子是 3 时，分母可取 60 以内除了

15、 3 的倍数以及 1、2 以外的所有数，共 60-603-2=38个；分子是 4 时，分母可取 60 以内除 1、3 以外的所有奇数，共 28 个；分子是 5 是，分母可取 60 以内除了 5 的倍数以及 1、2、3、4 以外的所有数，共60-605-4=44个；由上可知，符合条件的真分数共计 58+29+38+28+44=197个。5.解析：根据乘法原理，共有 34=12 种档位，但是 48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以实际只有 12-4=8种不同的车速。6.解析：列表解题，第四个数=第一个数第二个数。台阶 1 2 3 4 5 6 7

16、 8 9 10 11 12 13 14 15 16 走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 精英班作业 1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由。2、一个长方形把平面分成两部分，那么 3 个长方形最多把平面分成多少部分？3、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？4、分子小于 6，分母小于 60 的不可约真分数有多少个？5、现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比

17、获得若干不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有 3 个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有 4 个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12。问：这种变速车一共有多少档不同的车速。6、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 解析 1、解析：根据公式 1（注意：切分平面的是直线而不是圆），时

18、，最多可将平面分成块；时，最多可将平面分成块，所以至少要画10 条直线。2、解析：根据公式4，当时，最多可将平面分成块。3、解析：从 09 中选定 4 个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1 只能对应 3107，所以用组合数，10 个数字选 4 个，即。4、解析：分子是 1 时，分母可取 259，共 58 个分数；分子是 2 时，分母可取 60 以内除 1 以外的所有奇数，共 30-1=29个；分子是 3 时，分母可取 60 以内除了 3 的倍数以及 1、2 以外的所有数，共 60-603-2=38个；分子是 4 时，分母可取 60 以内除 1、3 以外的所有奇数，共 28

19、 个；分子是 5 是，分母可取 60 以内除了 5 的倍数以及 1、2、3、4 以外的所有数，共60-605-4=44个；由上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。5、解析：根据乘法原理，共有 34=12 种档位，但是 48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以实际只有 12-4=8 种不同的车速。6、解析：列表解题，第四个数=第一个数第二个数。台阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 从算术到代

20、数（一）算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系：定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 部分数与总数的关系；两数差的关系；一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第 1、第 2 种关

21、系用“加”、“减”法完成，第 3 种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设 a、b、c 表示任意三个数，下列等式恒成立：交换律：ab=b+a，ab=ba 结合律：（a+b）+c=a+（bc）（ab）c=a（bc）分配律：a（b+c）ab+ac.另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、.对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法

22、就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用 x，y，z，t，s，u，v 等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成

23、立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：1.设未知数.常用 x，y，z，t，s，等字母表示.2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有 n 个相等关系就能列出 n 个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如 axb 的方程，进而解出 定数量的水

24、后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）.例 1 64+x=3（32-x）（1）64+x=96-3（2）x+3x=96-64（3）4x32（4）x=8.（5）移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成（3）.合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.用未知数的

25、系数去除方程两端求出 x 的值.如上例中的（4）变成（5）.4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.例2 车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔 40 元.这批玻璃运到后，车站共收到运货款 9190 元.问损坏了几箱玻璃.解：算术解法：假如设有损坏，2000 箱玻璃全运到，则应得运货款：2000 5=10000（元）.和实际所得运货款相差：10000-9190=810（元）.现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱

26、数 2000 不变，但每换一箱所得运货款减少：405=45（元）那么换多少箱，货款正好减少多出来的 810 元呢？做除法：8104518（箱）.答：共换坏了 18 箱.代数解法：定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 设损坏了 x 箱，则没损坏的共 2000-x 箱.依题意列方程 5（2000-x）-40 x=9190 45x=10000-9190 45x=810 x=18.答：损坏了 18 箱.比较这两种解法，可见代数方法简洁并

27、具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.例 3 一年级 72 名学生共交了52.7 元课本费，其中的百位数和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？解：728 9，又（8，9）=1 原数为 25272 分，每人应交：2527272=351（分）.答：每人交 3.51 元.例 4 求被 6 除余 4，被 10 除余 8，被 9 除余 4 的最小自然数.解：该数被 6 除余 4（1）又

28、 该数被 10 除余 8（2）该数是偶数.再从被 9 除余 4 的偶数中从小到大挑选符合条件（1）、（2）的数：4，492=22，2292=40，40+92=58，定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 又 58 6=94 58 10=58 58964 答：58 为所求最小自然数.例 5 三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲送给乙、丙画片，所送的张数等于乙、丙各人已有的画片数；第二次由乙送给甲、丙画片，所送的张数等

29、于甲、丙各人已有的画片数；最后由丙送给甲、乙画片，所送的张数也正好等于甲、乙各人已有的画片数.这时每人的画片数都是 32 张.问原来甲、乙、丙三人各有多少张画片？解：用倒推法.由最后每人都是 32 张画片开始，在下面表格里由上行到下一行逐行填写，可知在第三次丙送画片前，乙送完画片后三人手中的画片（张）；同理，在第二次乙送画片前，甲送完画片后三人手中的画片数应分可推知原来：丙有 16 张，乙有 28 张，甲有 82816=52（张）.答：原来甲有 52 张，乙有 28 张，丙有 16 张画片.例 6 有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往 B地.乙比丙晚出发10 分钟，出发后 40 分钟

30、追上丙；甲比乙又晚出 20 分钟，出发后 1 小时 40 分钟追上丙.那么甲出发后需用多少分钟才能追上乙？解法 1：设三车速度依次为 V甲，V乙，V丙.丙比乙早出发 10 分钟，乙追上丙耗40 分钟，是典型的追及问题：定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 丙比甲早出发 30 分钟，甲追上丙耗 100 分钟，也是追及问题：的某个倍数代入：解法 1 既用了算术的追及问题公式，又用了列方程的代数方法.下面再介绍一种列表法，对解这类题更

31、方便.解法 2：我们把题中的条件按下列方式填入下面表格中：让同一列格子中填行相同路程时甲、乙、丙三辆汽车各自所需的时间，如第一列中填入稍稍转化了的已知条件：乙走 40 分钟的路程丙需走 4010=50（分钟）；第二列中填入甲走 100 分钟的路程丙需用 1002010=130（分钟）.以前两列中条件的关系，再根据当速度一定时路程与时间成正比的性质，当丙走 650=50，130 分钟的路程时乙需用 4013=520（分钟），甲则需用 1005=500 分钟.由于乙比甲早出发 20 分钟，恰为 520分钟与 500 分钟之差，因此甲出发后 500 分钟时追上乙.答：甲出发后需 500 分钟才能追上

32、乙.说明：一般地，当知道丙走 c 分钟的路程与甲走 a 分钟、乙走 b 分钟的路程相等时，可列一方程求出所需的答案.设甲出发后 ax 分钟追上乙，则 在本题的条件下，c=650，a=500，b=520.定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 例 7 星期日小明去找同学玩了两三个小时，离开家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置.问小明共离开家多少时间？解：因为小明离家回来时时针走到分针位置，分针走到时针位

33、置，说明两针合起来恰好走了若干个整圈.设外出时间分为二个时段，第一段为 2 小时.小明出去整 2小时，分针就应转过 2 圈，转回原处，而时针两小时走了 习题九 1.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，求原来这个两位数与新得到的两位数的和.2.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上的数字是一个两位数再过一小时，里程碑上是三位数，又恰好是第一个两位数中间加了个零（用 3.在一个红钱包与一个黑钱包里分别装着6 枚和 8 枚硬币，并且两个钱包中的总钱数相等.如果从红钱包中任取两枚硬币与黑钱包中任取的两枚硬币交换时，红钱包中的总钱数要么比原

34、来多 2 分，要么比原来的钱数少 2 分.问两个钱包中共装了多少钱？（注：这里的硬币只有1 分、2 分、5 分三种）习题九解答 定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 由题设条件应有 是某自然数的平方，由表达式 11（ab）可知这个完全平方数既有一个约数 11，就一定还有一个约数 11，因此 11 是 a+b 的约数，而 a、b 又都只能取自 1、2、3、8、9.故 a+b11.答：原数与新数的和为 121.所以（10BA）-（1

35、0A+B）（100A+B）-（10BA）即 18B=108A，B=6A.由于 A、B都是一位非零数字，所以 A1，B6.答：第一个里程碑上数字是 16，第二个里程碑上数字是 61，第三个里程碑上数字是 106.3.解：我们先证明红钱包里不可能同时装有 1 分、2 分、5 分三种币值的硬币.因为否则，从红钱包里任取两枚硬币时，可能有 2+1，25，1+5 三种情形.前两种是奇数，后一种是偶数.而从黑钱包里任取的二个硬币都能使红钱包的钱的奇偶性不变，这是不可能的.类似可知，红钱包里不能同时有 2 分币和 1 分币或 2 分币和 5 分币.因此红钱包中的硬币只有两种可能：一是全为 2 分币；二是装有

36、一分与五分币没有 2 分币.同理，黑钱包中或全为 2 分币，或其中没有 2 分币.并且，由于两钱包中钱数相等而硬币数不等，因此不可能红、黑钱包中都只有 2 分币.定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 情形 1：当红钱包中全为 2 分币时，总钱数为 26=12 分.此时显然黑钱包中不可能有两个或两个以上的五分币，也不可能都是一分币（否则红、黑钱包中装钱数不等）.因此黑钱包里有一个五分币和七个一分币.这种情形显然也满足题目中的后一条

37、件.这种情况，两个钱包中总钱数为：62+5+17=24（分），即 2 角 4 分钱.情形 2：红钱包仅装有一分或五分币.黑钱包中有 8 枚 2 分币.则红钱包中也应有 16（28）分.但一分币和五分币共 6 枚，总钱数不可能为 16 分，因此这种情形不可能发生.黑钱包中无 2 分币，设红钱包中有 m枚五分币，n 枚一分币；黑钱包中有 p枚五分币，q 枚一分币.则 m n6，pq=8，5m n=5pq.显然 m p.因此 5（n-p）=q-n，因为 0q-n8，5q-n，所以 q-n=5，m-p=1.这两式相减，得到（p+q）-（m n）=4.这与（pq）-（m n）=8-62 矛盾.所以这种情

38、形也不会发生.综上所述，两个钱包中共有 2 角 4 分钱.第十讲 从算术到代数（二）在上一讲中我们着重讲了在许多问题中算术方法是不可缺少的；在这一讲中，我们将通过一些例子看到代数方法不可取代的巨大优越性和强大威力，同时说明一元一次方程，多元一次方程组，不定方程的一般解法.例 1 一个学生做 25 道数学题，对一题得 4 分，不答不给分，答错一题倒扣 1分.他有 3 道题未做，得了 73 分.问他共答对了几道题？解：设对了 x 道题，则答错 25-3-x 道题.依题意列方程：4x-（25-3-x）=73 4x-22+x=73 5x95 x19.答：这个学生答对了 19 道题.定数量的水后稀释成浓

39、度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 例 2 某水池装有甲、乙两个注水管，单放甲管需 12 小时注满，单放乙管需 24小时注满.现在要求 10 小时注满水池，并且甲、乙两管合开的时间尽可能少，那么甲、乙两管最少需要合放多少小时？解：分析一下，由于要求甲、乙两管合放的时间尽可能少，所以必须让注水快的甲管在 10 个小时中全开着.其余的由乙管补足.设甲、乙两管最少需合放 x 小时，则：答：甲、乙两管最少需要合放 4 小时.例 3 甲、乙两队学生参加郊区

40、夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行.车到途中某处让甲队学生下车步行，车立即返回接乙班学生并直开到夏令营，两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为 4千米/小时，汽车载学生时速度为 40 千米/小时，空车时速度为 50 千米/小时，问甲班学生应步行全程的几分之几？解：如图：设全程为 x 千米，甲、乙两队分别步行 a、b 千米.要使两队学生同时到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故 a=b.等量关系是：乙队走 a 千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队的时间，即：去分母，两端同乘 200，得 5x-5a+4x-8a=50a 定数

41、量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 9x63a 例 4 一个矩形长 33 厘米，宽 32 厘米，用正方形如下图分割，已知最小正方形边长为 1 厘米，第二个小正方形边长为 4 厘米，请在图中填出其余正方形的边长.解：设如图中第个小正方形边长为 x，则其余每个正方形的边长都可以用 x的代数式表达出来，如图所示.再由大长方形的长为 33 厘米可得关系式：2x1+x+11=33 3x=21 x=7（厘米）.于是图中所有正方形的边长均可将

42、x7 代入，得如图所填的值.还可以用大正方形的宽为 32 厘米来验证所求值的正确性：2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）.例 5 小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走 30 米，则迟到 3 分钟；若小明每分钟走 40 米，则早到 5 分钟.求小明家到学校的距离.解：设小明家到学校的距离为 S 米，则 去分母，方程两端同乘以 120：4S-360=3S600 定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 S=960.答：

43、小明家离学校 960 米.有的问题必须用两个或更多的未知数才能列出方程，而且方程的个数也往往不只一个，我们称含有两个未知数并且未知数所在项的次数都是 1 次的这种方程为二元一次方程.例如 x+y=5.适合这个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.如：方程 x+y=5 的正整数解有：x=1，y=4；x=2，y=3；x3，y=2，x=4，y=1 这四个解.如果一个问题的两个未知数必须满足两个二元一次方程，这两个方程联立在一起就叫做二元一次方程组.同时适合这两个二元一次方程的每一对未知数的值叫做这个二元一次方程组的一个解.多个未知数的方程组也可以类似地定义，解法也类似，在这里举两个

44、最简单的例子来介绍二元一次方程组的解法.常用的有代入消元法和加减消元法.总之都是先设法消去一个未知数.代入消元法：例 6 解二元一次方程组 把（2）中的 y 用（1）中的 3x 代替，就可以消去一个未知数 y，得：x3x=8 4x=8 x=2.再把 x=2 的值代入（1）或（2），得：y=6.这个方程组的解为 加减消元法：定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 例 7 解方程组 （2）-（1）得：6x=54 x9.原方程组的解为

45、再看几个二元一次方程组的例子.例 8 一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以每小时 12千米的速度下坡，而以每小时 9 千米的速度通过平路到达丙地，共用了 55 分钟；回来时以每小时 8 千米的速度行至乙地，又以每小时 4 千米的速度行到甲地，共用了1.5 小时.问从甲地到丙地共有多少千米？解：设从甲地到乙地为 x 千米，从乙地到丙地为 y 千米，依题意可得下列方程组：去分母，（1）两端同乘以 36 得：3x+4y=33.（2）两端同乘以 8 得：y+2x=12.原方程组与下面方程组同解.由（4）得 y=12-2x，代入（3）消去 y 得：3x+4（12-2x）=33 定数量

46、的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 3x+48-8x33 5x=15 x=3.将 x=3 代入（4）得：y12-23 y6.原方程组的解为 x+y=9.答：从甲地到丙地共 9 千米.例 9 有甲、乙两个桶，甲桶里装了一些水，乙桶里装了一种纯农药，按下面方法来调配农药溶液：第一次甲桶倒进乙桶里的水的数量与原来乙桶中农药数量相同，调匀；第二次把乙桶里的农药溶液倒进甲桶里，倒回的数量与甲桶里剩的水的数量相同，调匀；第三次再把甲桶中的农药溶

47、液倒回乙桶，数量与此时乙桶中的溶液数量相同，这时两个桶中的农药溶液数量相同.请你算一算：开始时水与纯农药的比.最后在甲桶里的水与纯农药的比.最后在乙桶里的水与纯农药的比.解：设甲桶里原有 x 千克水，乙桶里有 y 千克纯农药.每次倒动后甲、乙两桶中溶液的总量变化如下：第一次 甲桶剩 x-y（千克）乙桶有：2y（千克）第二次 甲桶有 2（x-y）（千克）乙桶剩 2y-（x-y）=3y-x（千克）第三次 甲桶剩 2（x-y）-（3y-x）=3x-5y（千克）乙桶有 2（3y-x）（千克）.定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的

48、含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 第三次倒完后两桶中液体重量相同 3x-5y2（3y-x）3x-5y=6y-2x 5x11y xy=115.在第一次操作后甲桶中的 x-y 千克都为水.由乙桶倒入的 x-y 千克溶液中有一半是水，另一半是纯农药，故甲桶中最后水与纯农药的比为31.纯农药的比为：答：开始时水与纯农药的比为115.最后甲桶溶液中水与纯农药的比为 31.而乙桶溶液中水与纯农药的比为 53.关于空间想象力的综合训练题 1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的 2号面的对面是几号面？2.有一个长方体

49、，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是 5、3、2 的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？定数量的水后稀释成浓度为的酒精溶液如果再加入同样的水那么酒精溶含量为在千克海水中需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为例在浓度等于混合后溶液中所含溶质的重量溶剂的重量溶液的重量练习配制硫酸学习必备 欢迎下载 4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了 16 平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板

50、的四角去掉边长为 2 厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为 3.14）.7.一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水桶，其块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 12.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为 3 的正