2023年同济大学线性代数精品讲义第二章方阵的行列式.pdf

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1、_ _ 线性代数教学教案 第二章方阵的行列式 授课序号 01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第一节 行列式的定义 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 n 阶行列式的定义、几类特殊行列式的值 教学难点 n 阶行列式的定义 参考教材 同济版线性代数 作业布置 课后习题 大纲要求 理解 n 阶行列式的定义，熟悉一些特殊行列式的值；会用对角线法则计算 2 阶、3 阶行列式。教 学 基 本 内 容 一、行列式的定义：排列：从1,2,n中任意选取r个不同的数排成一列，称为排列.全排列：将1,2,n这n个不同的数排成一列，称为n阶全

2、排列，也简称为全排列.标准排列：12n也是n个数的全排列，而且元素是按从小到大的自然顺序排列的，这样的排列称为标准排列.逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列1 2niii的逆序数记为1 2niii.标准排列的逆序数为0.奇排列与偶排列：逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.n阶行列式：由2n个元素(,1,2,)ijai jn排成n行n列的正方形的数表：_ _ 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，由这个数表所决定的数

3、121212()12(1)nnnp ppppnpp ppaaa 称为由2n个元素(,1,2,)ijai jn构成的n阶行列式，记为 111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa，即：1212121112121222()1212(1)nnnnnp ppnppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa.其中12np pp表示对所有的n阶全排列12np pp求和,数,1,2,ijai jn称为行列式的,i j元素，其中第一个下标i称为元素ija的行标，第二个下标j称为元素ija的列标.方阵A的行列式:记矩阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，则行列式通常也称

4、为方阵A的行列式，记为A.有时为了表明行列式是由元素ija构成的，也简记为det()ijaA、ijn na或ijna.二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p pppp paaaaa aa aaa.三阶行列式:123123123111213()212223123313233(1)p p ppppp p paaaAaaaaaaaaa 112233132132122331132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a._ _ 二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：二、几类特殊行列式：112122112212000

5、nnnnnnaaaa aaaaa.下 三 角 行 列 式：上三角行列式：11121n22211220=00nnnnnaaaaaa aaa.对角行列式：112211220000=00nnnnaaa aaa.斜下三角方阵的行列式：斜下三角方阵1n2,121,1000nnnnnnnaaaaaaA，则 1212,11=1n nnnna aaA.三、主要例题：例 1 设122331121A，求A.例 2 证明521641642335a a a a a a是6阶行列式66 6ijDa的一项，并求这项应带的符号.例 3 计算下三角方阵11212212000nnnnaaaAaaa的行列式A（这样的行列式称为下

6、三角行列式）.11122122aaaa_ _ 例 4 计算上三角方阵11121n222000nnnaaaaaAa的行列式A（这样的行列式称为上三角行列式）.例 5 设斜下三角方阵1n2,121,1000nnnnnnnaaaAaaa，证明：1212,11=(1)n nnnnAa aa.授课序号 02 教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第二节 行列式的性质 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 行列式的性质、方阵可逆的充要条件 教学难点 行列式的性质 参考教材 同济版线性代数 作业布置 课后习题 大纲要求 理解n阶行列式的性质，

7、会用性质计算简单的n阶行列式；理解利用行列式判断方阵可逆的充分必要条件。教 学 基 本 内 容 一、行列式的性质：转置行列式：将行列式111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa的各行元素换为同序号的列元素，所得到的行列式1121112222T12nnnnnnnaaaaaaDaaa称为行列式nD的转置行列式.性质 1 行列式nD与它的转置行列式TnD相等.性质 2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号.以ir表示行列式的第i行，以ic表示行列式的第i列，交换第i、j行记为ijrr，交换第i、j列记为ijcc.推论 1 若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.性质

8、 3 若行列式的某一行（或列）有公因子k，则公因子k可以提到行列式记号外面；或者说，用k乘行列_ _ 式的某一行（或某一列），等于用k乘以该行列式，即 111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa.第i行（或列）乘以数k记作ikr（或ikc），第i行（或列）提取公因子k记作1irk（或1ick）.定理 1 设A是n阶方阵，则等式nkkAA成立.推论 2 若行列式的某一行（或某一列）元素全为零，则行列式的值为零.推论 3 若行列式某两行（或两列）元素对应成比例，则行列式为零.性质 4 行列式的拆分定理 1112111121

9、1112111221212121212nnnkkkkknknkkknkkknnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa.性质 5 行列式某一行（或某一列）的k 倍加到另一行（或另一列）的对应元素上去，行列式的值不变.即 111211112112121122121212nniiiniiinjijijninjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaiaaaiakaakaakajaaajaaaaaa.第i行（或第i列）乘以数k到第j行（或第j列）上记作jirkr（或jickc）.二、方阵可逆的充要条件 定理 2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是0A.定理 3

10、设A、B是两个n阶方阵，则ABA B.推论 4 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B满足ABE（或者BAE），则n阶方阵A可逆，且1A=B._ _ 三、主要例题：例 1 1211211211212461 2223 22 3 1236 1236912233 343234234 .例 2 112233112331123322331122311223113311223312233122ababababaababbabababababaababbabababababaababbab 例 3 计算行列式022213042113160731.例 4 计算行列式2111121111211112D.例 5 计算

11、行列式7111141111211115D.例 6 设矩阵1111kkkkaaaaA，1111ttttbbbbB，1111tkktccccC，若矩阵ACDOB，证明：DA B.例 7 计算行列式22nnababDcdcd，其中未写出的元素为0.例 8 判断下列矩阵是否可逆：(1)111111111A；(2)213101121 B._ _ 例 9 设矩阵ACDOB，其中A、B分别为m阶、n阶可逆阵，求1D.例 10 设n阶方阵A满足22AE，证明矩阵AE可逆，并求1AE.授课序号 03 教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第三节 行列式按行（列）展开 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授

12、、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 行列式按行（列）展开 教学难点 行列式按行（列）展开 参考教材 同济版线性代数 作业布置 课后习题 大纲要求 理解余子式、代数余子式的概念和性质；理解行列式按行（列）展开的法则；会用行列式的性质和按行（列）展开的法则计算简单的n阶行列式。教 学 基 本 内 容 一、余子式与代数余子式：1.余子式：对任意的1,i jn，在n阶行列式A中划去第i行和第j列后剩下的1n阶行列式称为,i j元素ija的余子式，记为ijM 2.代数余子式：记(1)ijijijAM，ijA称为n阶行列式A的,i j元素ija的代数余子式.二、行列式按行（列

13、）展开：定理 设行列式 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，则有 _ _ 11221niiiiininikikka Aa Aa Aa A A 1,2,in，称为行列式A按第i行展开，以及 11221njjjjnjnjkjkjka AaAa Aa A A1,2,jn，称为行列式A按第j列展开.推论 设ijA,1,2,i jn是行列式A中元素ija的代数余子式，则 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 或11220,ijijninja Aa Aa Aij.有关于代数余子式的重要性质：1,0,.nikjkijkAija AAij 或 1,0,.nkikjijkAi

14、ja AAij 其中1,0,.ijijij是克罗内克（Kronecker）符号.三、主要例题：例 1 计算行列式3111142203000312.例 2 计算行列式1111201115335112._ _ 例 3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111nnnjiij nnnnnxxxVxxxxxxxx，其中记号“”表示连乘积.授课序号 04 教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 伴随矩阵、求逆公式、克莱默法则 教学难点

15、伴随矩阵的性质 参考教材 同济版线性代数 作业布置 课后习题 大纲要求 理解伴随矩阵的概念和性质；熟悉矩阵的求逆公式，会用伴随矩阵求逆矩阵；理解克莱默法则。教 学 基 本 内 容 一、伴随矩阵与求逆公式：伴随矩阵：设ijaA是n阶方阵，ijA是A的,i j元素ija的代数余子式，则矩阵 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA _ _ 称为矩阵A的伴随矩阵.引理 设方阵*A是n阶方阵A的伴随矩阵，则必有*AAAAA AA EA.定理 1 如果n阶方阵A可逆，则有求逆公式1*1AAA.二、克莱默法则：定理 2（Cramer（克莱默）法则）：如果线性方程组AX的系数行列式不等于零

16、，即0A，则方程组有唯一解：1212,nnDDDxxxAAA，其中(1,2,)jDjn是把系数行列式的第j列元素用的元素代替后得到的行列式.定理 3 如果线性方程组AX的系数行列式不等于零，即0A，则方程组一定有解，且解是唯一的.定理 4 如果线性方程组AX无解或有无穷多解，则它的系数行列式0A.定理 5 如果齐次线性方程组 0AX的系数行列式不等于零，即0A，则它只零解120nxxx.定理 6 如果齐次线性方程组 0AX有非零解，则必有它的系数行列式等于零，即=0A.三、主要例题：例 1 设二阶矩阵abcdA，因为=abadbccdA，所以当0adbc 时，矩阵A可逆.且由于A的伴随矩阵*dbcaA，所以1*11dbcaadbcAAA.例 2 判断矩阵123231312A是否可逆，若可逆，用求逆公式求逆矩阵._ _ 例 3 用克莱默法则求解线性方程组1231231231,221,231xxxxxxxxx.例 4 问取何值时，齐次线性方程组 12312312330,10,10 xxxxxxxxx 有非零解？