2023年微积分下册知识点归纳总结.pdf

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1、微积分下册知识点 微积分下册知识点 第一章 空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算 1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;2、线性运算:加减法、数乘;3、空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、利用坐标做向量的运算:设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb,则),(zzyyxxbabababa,),(zyxaaaa;5、向量的模、方向角、投影:1）向量的模:222zyxr;2）两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxxBA 3）方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4）方向余弦:rzryrxcos ,cos ,cos 1

2、coscoscos222 5）投影:cosPraaju,其中为向量a与u的夹角。（二）数量积,向量积 1、数量积:cosbaba 1)2aaa 2)ba0 ba zzyyxxbabababa 微积分下册知识点 2、向量积:bac 大小:sinba,方向:cba,符合右手规则 1)0aa 2)ba/0ba zyxzyxbbbaaakjiba 运算律:反交换律 baab（三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念:0),(:zyxfS 2、旋转曲面:yoz面上曲线0),(:zyfC,绕y轴旋转一周:0),(22zxyf 绕z轴旋转一周:0),(22zyxf 3、柱面:0),(yxF表示母线平行于z轴,准

3、线为00),(zyxF的柱面 4、二次曲面(不考)1）椭圆锥面:22222zbyax 2）椭球面:1222222czbyax 微积分下册知识点 旋转椭球面:1222222czayax 3）单叶双曲面:1222222czbyax 4）双叶双曲面:1222222czbyax 5）椭圆抛物面:zbyax2222 6）双曲抛物面(马鞍面):zbyax2222 7）椭圆柱面:12222byax 8）双曲柱面:12222byax 9）抛物柱面:ayx2（四）空间曲线及其方程 1、一般方程:0),(0),(zyxGzyxF 2、参数方程:)()()(tzztyytxx,如螺旋线:btztaytaxsinco

4、s 3、空间曲线在坐标面上的投影 微积分下册知识点 0),(0),(zyxGzyxF,消去z,得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五）平面及其方程 1、点法式方程:0)()()(000zzCyyBxxA 法向量:),(CBAn,过点),(000zyx 2、一般式方程:0DCzByAx 截距式方程:1czbyax 3、两平面的夹角:),(1111CBAn,),(2222CBAn,222222212121212121cosCBACBACCBBAA 21 0212121CCBBAA 21/212121CCBBAA 4、点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离:222000CBA

5、DCzByAxd（六）空间直线及其方程 1、一般式方程:0022221111DzCyBxADzCyBxA 2、对称式(点向式)方程:pzznyymxx000 方向向量:),(pnms,过点),(000zyx 微积分下册知识点 3、参数式方程:ptzzntyymtxx000 4、两直线的夹角:),(1111pnms,),(2222pnms,222222212121212121cospnmpnmppnnmm 21LL 0212121ppnnmm 21/LL 212121ppnnmm 5、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,222222sinpnmCBACpBnAm/L 0CpBnAm

6、L pCnBmA 第二章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念 1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。2、多元函数:),(yxfz,图形:3、极限:Ayxfyxyx),(lim),(),(00 4、连续:),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 5、偏导数:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 微积分下册知识点 yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 6、方向导数:coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度:),(yxfz,则jyxfiyxfyxgradfyx

7、),(),(),(000000。8、全微分:设),(yxfz,则dddzzzxyxy（二）性质 1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)3、微分法 1）定义:u x 2）复合函数求导:链式法则 z 若(,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y,则 v y zzuzvxuxvx ,zzuzvyuyvy 3）隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)（三）应用 偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 充分条件 必要条件 定义 1 2 2 3 4 微积分下册知识点 1、极值 1）无条件极值:求

8、函数),(yxfz 的极值 解方程组 00yxff 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00yx,令),(00yxfAxx,),(00yxfBxy,),(00yxfCyy,若02 BAC,0A,函数有极小值,若02 BAC,0A,函数有极大值;若02 BAC,函数没有极值;若02 BAC,不定。2）条件极值:求函数),(yxfz 在条件0),(yx下的极值 令:),(),(),(yxyxfyxL Lagrange函数 解方程组 0),(00yxLLyx 2、几何应用 1）曲线的切线与法平面 曲线)()()(:tzztyytxx,则上一点),(000zyxM(对应参数为0t)处的 切线方程为:)(

9、)()(000000tzzztyyytxxx 法平面方程为:0)()()(000000zztzyytyxxtx 2）曲面的切平面与法线 微积分下册知识点 曲面0),(:zyxF,则上一点),(000zyxM处的切平面方程为:0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为:),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第三章 重积分（一）二重积分(一般换元法不考)1、定义:nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质:(6 条)3、几何意义:曲顶柱体的体积。4、计算:1）直角坐标 bxaxy

10、xyxD)()(),(21,21()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy dycyxyyxD)()(),(21,21()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx 2）极坐标)()(),(21D 微积分下册知识点 21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf （二）三重积分 1、定义:nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、性质:3、计算:1）直角坐标 Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一”

11、2）柱面坐标 zzyxsincos,(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3）球面坐标 cossinsincossinrzryrx 2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr （三）应用 曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积:yxyzxzADdd)()(122 微积分下册知识点 第五章 曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义:01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2、性质:1)(,)(,)d(,)d(,)d.LLLf x yx ysf x ysg x ys 2)12(,)d(,)

12、d(,)d.LLLf x ysf x ysf x ys ).(21LLL 3)在L上,若),(),(yxgyxf,则(,)d(,)d.LLf x ysg x ys 4)lsLd(l 为曲线弧 L的长度)3、计算:设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为)(),(),(ttytx,其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数,且0)()(22tt,则 22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt （二）对坐标的曲线积分 1、定义:设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(yxP,),(yxQ在 L 上有界,定义nkkkkLxPxyxP10),(

13、limd),(,nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(、向量形式:LLyyxQxyxPrFd),(d),(d 2、性质:微积分下册知识点 用L表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(3、计算:设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx,其 中)(),(tt在,上 具 有 一 阶 连 续 导 数,且0)()(22tt,则(,)d(,)d(),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt 4、两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为)()(tytxL：,L上点),(yx处的切向量的方向角为

14、:,)()()(cos22ttt,)()()(cos22ttt,则dd(coscos)dLLP xQ yPQs、（三）格林公式 1、格林公式:设区域 D 就是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(yxQyxP在 D 上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd 2、G为一个单连通区域,函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数,则 yPxQ 曲线积分 ddLP xQ y在G内与路径无关 曲线积分dd0LP xQ y yyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分（四）对面积的曲面积分 微积分下册知识点 1、定义:设为光滑曲面,函数),

15、(zyxf就是定义在上的一个有界函数,定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(10 2、计算:“一投二换三代入”),(:yxzz,xyDyx),(,则 yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）对坐标的曲面积分 1、预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量 2、定义:设为有向光滑曲面,函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP就是定义在上的有界函数,定义 01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理,01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01(,)d dl

16、im(,)()niiiiz xiQ x y zz xRS 3、性质:1)21,则 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 2)表示与取相反侧的有向曲面,则d dd dR x yR x y 4、计算:“一投二代三定号”),(:yxzz,xyDyx),(,),(yxzz 在xyD上具有一阶连续偏导数,),(zyxR在微积分下册知识点 上连续,则(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为上侧取“+”,为下侧取“-”、5、两类曲面积分之间的关系:SR

17、QPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六）高斯公式 1、高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数,则有 yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd 或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd（七）斯托克斯公式 1、斯托克斯公式:设光滑曲面 的边界 就是分段光滑曲线,的侧与 的正向符合右手法则,),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd

18、d dddddd 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd 第六章 常微分方程 微积分下册知识点 1、微分方程的基本概念 含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程;未知函数就是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数就是多元函数的微分方程,称为偏微分方程;微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶、能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解、如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解、不包含任意常数的解为微分方程特解、2、典型的一阶微分方程

19、可分离变量的微分方程:对于第 1 种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解:2、齐次微分方程:代入微分方程即可。可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程 型如 称为一阶线性微分方程。其对应的齐次线性微分方程的解为 利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解 4、伯努利方程:)()(d)(d)(ygxhdxdyxxfyyg或xxfyygd)(d)()()(yxxxyy或者 ,)(可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xyuxyy ,xuyxyu，则令 ,udxduxdxdy.)()1(的方程形如cbyaxfy则令,cbyaxu,ybau).(ufbau原方程可化为.)()2(22

20、2111的方程形如cybxacybxafy)()(xqyxpy d)(。xxpCey )d)(d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp)1 ,0()()(nyxqyxpyn得将方程两端同除以,ny)1 ,0()()(1nxqyxpyynn微积分下册知识点 于就是 U的通解为:5、全微分方程:7、可降阶的高阶常微分方程(1)(2)型的微分方程),(6.4.2)1()(nnyxfy(3)型的微分方程),(6.4.3 yyfy 8、线性微分方程解的结构(1)函数组的线性无关与线性相关(2)线性微分方程的性质与解的结构 叠加原理:二个齐次的特解的线性组合仍就是其特解;二个线性无关齐次的特解的线性组合就

21、是其通解(3)刘维尔公式(4)二阶非齐线性微分方程解的结构 特解的求解过程主要就是通过常数变异法,求解联立方程的解:9、二阶常系数线性微分方程(1)齐次线性微分方程的通解 特征方程:3)特征方程有一对共轭复根 dd)1(dd 1，则令xyynxuyunn 11dd，dxdunxyyn )()1(d)()1(d)()1(。Cexqneuxxpnxxpn型的微分方程)()(xfyn d )()(21d)(12xyexyxyxxp)(*)(1xyxyy 0)()()()(2211，xyxCxyxC )()()()()(2211。xfxyxCxyxC)()()()()(*2211xyxCxyxCxy

22、02。qp )121，则实根特征方程有两个不同的xxeyey2121 ，21212211。其通解为：xxeCeCyCyCy )221，则实重根特征方程有 22422,1，pqpp即可另外一个线性无关的解再利用刘维尔公式求出的一个解。是方程此时，)1 (11xey i i21，则，)i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy )sincos(21。或xCxCeyx微积分下册知识点(2)二阶常系数非齐线性微分方程的特解 若 a 不就是其特征方程的特征根,则 若 a 就是其特征方程的单特征根,则 若 a 就是其特征方程的 K重特征根,则 )()(.1的情形xPexfnx )(*。xQeynx )(*。xQexynx )(*。xQexynxk ,sin)(cos)()(.2的情形xxPxxPexfnlx 特解可设为不是特征根时，方程的当i ;sin)(cos)()2()1(xxQxxQxeymmx 解可设为是特征根时，方程的特当i ;sin)(cos)()2()1(xxQxxQxeymmx