2023年初三数学圆知识点总结归纳复习专题1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 圆苑老师 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行

2、线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内；2、点在圆上 dr 点B在圆上；3、点在圆外 dr 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；rddCBAO学习必备 精品知识点 drd=rrd 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr ；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；图1rRd 图3rRd 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦

3、所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD CEDE 弧BC弧BD 弧AC图2rRd图4rRd图5rRdOEDCBA概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交

4、点直线与学习必备 精品知识点 弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 例题 1、基本概念 1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧 例题 2、垂径定理 1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一

5、些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB是_cm.2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为H，ABOE 于E，CDOF 于F.（1）求证：四边形OEHF是正方形.（2）若3CH，9DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.4、已知：ABC 内接于O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长 5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，ADBC 于 D，求证：AD=21BF.OCDA

6、B概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 例题 3、度数问题 1、已知：在O中，弦cm12AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径.2、已知：O 的半径1OA，弦 AB、AC 的长分别是2、3.求BAC的度数。例题 4、相交问题 如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求 CD 的长.例题 5、平行问题 在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40c

7、m，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题 6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD.例题 7、平行与相似 已知：如图，AB是O的直径，CD是弦，于CDAE E，CDBF 于F.求证：FDEC.六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；FEDCBAOA B D C E O OABDEFC概

8、念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 OCOF；弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即

9、：在O中，AB是直径 或90C 90C AB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形 3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？CBAODCBAOCBAOCBAO概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相

10、离无交点直线与学习必备 精品知识点【例 2】如图，已知O中，AB为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，ACB的平分线交 O于 D，求 BC、AD和 BD的长【例 3】如图所示，已知 AB为O的直径，AC为弦，OD BC，交 AC于 D，BC=4cm（1）求证：AC OD；（2）求 OD的长；（3）若 2sinA 1=0，求O的直径 【例 4】四边形 ABCD中，AB DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求 BD的长 【例 5】如图 1，AB是半O的直径，过 A、B两点作半O的弦，当两弦交点恰好落在半O上 C点时，则有 AC AC BC BC=AB2（1）如图 2，若两弦交于点 P在

11、半O内，则 AP AC BPBD=AB2是否成立？请说明理由 （2）如图 3，若两弦 AC、BD的延长线交于 P点，则 AB2=参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC EDCBA概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 例 1、如图 7-107，O中，两弦 AB

12、 CD，M是 AB的中点，过 M点作弦 DE 求证：E，M，O，C四点共圆 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

13、即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 利用切线性质计算线段的长度 例 1：如图，已知：AB是O的直径，P为延长线上的一点，PC切O于 C，CD AB于 D，又PC=4，O的半径为 3求：OD的长 NMAOPBAO概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 利用切线性质计算角的度数 例 2：如图，已知：AB是O的直径，CD切O于 C，AE CD于 E，BC的延长线与 AE的延长线交于 F，且 AF=BF 求：A的度数

14、利用切线性质证明角相等 例 3：如图，已知：AB为O的直径，过 A作弦 AC、AD，并延长与过 B的切线交于 M、N求证：MCN=MDN 利用切线性质证线段相等 例 4：如图，已知：AB是O直径，CO AB，CD切O于 D，AD交 CO于 E求证：CD=CE 利用切线性质证两直线垂直 例 5：如图，已知：ABC中，AB=AC，以 AB为直径作O，交 BC于 D，DE切O于 D，交 AC于 E求证：DE AC 概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学

15、习必备 精品知识点 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 例1.如图1，正方形 A

16、BCD 的边长为1，以 BC为直径。在正方形内作半圆 O，过 A作半圆切线，切点为 F，交 CD于 E，求 DE：AE的值。PODCBAOEDCBADECBPAO概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 例2.O中的两条弦 AB与 CD相交于 E，若 AE 6cm，BE 2cm，CD 7cm，那么 CE_cm。图2 例3.如图3，P是O 外一点，PC切O 于点 C，PAB是O的割线，交O于 A、B两点，如果 PA：PB1：4，PC

17、12cm，O的半径为10cm，则圆心 O到 AB的距离是_cm。图3 例4.如图4，AB为O的直径，过 B点作O的切线 BC，OC交O于点 E，AE的延长线交 BC于点D，（1）求证：；（2）若 AB BC 2厘米，求 CE、CD的长。图4 例5.如图5，PA、PC切O于 A、C，PDB为割线。求证：ADBCCDAB 图5 例6.如图6，在直角三角形 ABC中，A90，以AB边为直径作O，交斜边BC于点 D，过 D点作O的切线交 AC于 E。图6 求证：BC2OE。十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。BAO1O2概念圆

18、到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 即：1O、2O相交于A、B两点 12O O垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2ODBD OB；（2）正四边形 同 理，四 边 形

19、的 有 关 计 算 在Rt OAE中 进 行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形 同 理，六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB中 进 行，:1:3:2A BO BO A.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与学习必备 精品知识点 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h 3.圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无交点直线与