2023年初中数学二次函数知识详细全面汇总归纳1.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 初中数学二次函数知识归纳 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质：（1）抛物线2axy 的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数2axy 的图像与a的符号关系.当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一

2、般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方

3、法，将抛物线的解析式化为 khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b名师总结 优秀知识点 时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交

4、点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x（y轴）（0,0）kaxy2 0 x（y轴）(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已

5、知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点 （1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点：二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交

6、点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，顶点为其最高点顶点是坐标原点对称轴是轴的抛物线的解析式形式为二称轴顶点的符号决定抛物线的开口方向当时开口向上当时开口向下相等开口大小完全相同只是顶点的位置同求抛物线的顶点对称轴的方法公式名师总结 优秀知识点 则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc 的解的数目来确定：方程组有两组

7、不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为 0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 13、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cb

8、xaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C及对称点 D。由 C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。14、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线cbx

9、axy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。15、二次函数的最值 （10 分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。顶点为其最高点顶点是坐标原点对称轴是轴的抛物线的解析式形式为二称轴顶点的符号决定抛物线的开口方向当时开口向上当时开口向下相等开口大小完全相同只是顶点的位置同求抛物线的顶点对称轴的方法公式名师总结 优秀知识点 如果自变量的取值范围是

10、21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当 x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2xx 时，cbxaxy222最大，当1xx 时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当1xx 时，cbxaxy121最大，当2xx 时，cbxaxy222最小。16、二次函数的性质 （614 分）1、二次函数的性质 函数 二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向

11、上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上，a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。1.两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。顶点为其最高点顶点是坐标原点对称轴是轴的抛物线的解析式形式为二称轴顶点的符号决定抛物线的开口方向当时开口向上当时开口向下相等开口大小完全相同只是顶点的位置同求抛物线的顶点对称轴的方法公式