高二物理竞赛能态密度和费米面课件.pptx

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1、能态密度和费米面能态密度和费米面6.6 能态密度和费米面能态密度和费米面一、能态密度一、能态密度1. 定义定义能态密度：能态密度： dZN EdEdSdk kxkyEE+dEdZ：能量在：能量在EE+dE两等能面间的能两等能面间的能态数（考虑了电子自旋）态数（考虑了电子自旋）能态密度：能带中单位能量间隔内的电子能态数能态密度：能带中单位能量间隔内的电子能态数dZ=2 (k) (k空间中能量在空间中能量在EE+dE两等能面间的体积两等能面间的体积)328VdSdk 等能面dEEdk k 34dZVdSN EdEE k2. 近自由电子的能态密度近自由电子的能态密度对于自由电子：对于自由电子： 22

2、(0)2kEmk能量为能量为E的等能面是半径为的等能面是半径为22mEk 在球面上在球面上2dEEkdkm k的球面的球面 33244VdSVmN EdSkE k3223223122442VmVmkEk 在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。电子运动的影响很小。 以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。的一个二维截面。12CE在布里渊区边界面的内侧：在布里渊区边界面的

3、内侧：对自由电子：对自由电子：EP(0)=EQ(0)考虑周期场的影响：考虑周期场的影响：EQ(0) EQ ，EP(0) EP在布里渊区边界面的外侧：在布里渊区边界面的外侧：对自由电子：对自由电子：EN(0)=EM(0),考虑周期场影响：考虑周期场影响：EM(0) EQEM ENPQ QMMN0Gn近自由电子的等能面近自由电子的等能面近自由电子的能态密度近自由电子的能态密度EAkxkyACN(E)EECEBN(E)EECEB当当EC EB时时：出现能带重叠出现能带重叠 3. 紧束缚近似的能态密度紧束缚近似的能态密度以简单立方晶格以简单立方晶格s带为例带为例: 012coscoscossxyzEE

4、Jk ak ak a k00sEJ 在在k=0，即能带底附近，等能，即能带底附近，等能面近似为球面，随着面近似为球面，随着E的增大，的增大，等能面明显偏离球面。等能面明显偏离球面。N(E)E0E06J1E02J1E0+6J1E0+2J1E()E(X)E(M)E(R)12sin,sin,sinxyzEaJk ak ak a k22212sinsinsinxyzEaJk ak ak a k 1/222231sinsinsin8xyzVN Ek ak ak adSaJ 在在 、X、M和和R点处，点处，kE =0，称为，称为Van Hove奇点，这些点都是奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。布里渊区

5、中的高对称点。二、费米面二、费米面讨论近自由电子的费米面结构讨论近自由电子的费米面结构: 对金属：对金属：EKBT，在，在T0时，只有费米面附近时，只有费米面附近的少量电子受到热激发。的少量电子受到热激发。FBFBFFkk TTkk TT费米半径的相对变化：费米半径的相对变化：在室温下：在室温下：210FFFkTkTa. 费米面的构造步骤费米面的构造步骤v 按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球（圆）；按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球（圆）；1. 近自由电子费米面的构造法近自由电子费米面的构造法v 按照近自由电子作必要的修正。按照近自由电子作必要的修正。v 将处在各个布里渊区中的

6、费米球（圆）分块按倒格将处在各个布里渊区中的费米球（圆）分块按倒格 矢平移到简约区中，来自第矢平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第个布里渊区的对应于第 n个能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费个能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费 米面图形；米面图形；v 根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；b. 修正的依据修正的依据v 电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能 量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发 生畸变，形成向外突

7、出的凸包；生畸变，形成向外突出的凸包；v 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。v 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决 于电子与晶格相互作用的细节；于电子与晶格相互作用的细节；v 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：12n kG在布里渊区边界面上：在布里渊区边界面上：nnnEEkk kk G-nnEEkk kkEn(k)具有反演对称性：具有反演对称性： nn

8、EE kkEn(k)的平移对称性：的平移对称性： nnnEE kkG在布里渊区边界面附近：在布里渊区边界面附近： kkk沿布里渊区边界面的法线方向上，沿布里渊区边界面的法线方向上，1122nnnnEEkk GGnnEEkk kknnnEEkk kk G如果沿一个边界面的法线方向上处处都有如果沿一个边界面的法线方向上处处都有120nnEk G那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。1122nnnnEEkk GG11220nnnnEEkk GG例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。设二维晶格的晶格常数为设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为，晶体的原胞数为N， 224Nakk的分布密度：的分布密度：设平均每个原子有设平均每个原子有 个价电子，即个价电子，即电子浓度电子浓度为为 电子电子/原子。原子。 2222222242FFFNaNaNkkkk11222Fkkaa对于简单晶格：对于简单晶格：其中其中1ka为简约区的内切圆半径为简约区的内切圆半径电子浓度电子浓度 kF/k110.79821.12831.38241.59651.78461.954kxky