线性代数正交向量精品文稿.ppt

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1、线性代数正交向量第1 页，本讲稿共21 页v向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y 称为向量x与y 的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y 都是列向量时 有 x y xTy下页 第2 页，本讲稿共21 页v向量的内积 设有n 维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称为向量x 与y 的内积 v内积的性质 设x y z 为n维向量 为实数 则(1)x y y x(2)x y x y(3)x y z x

2、 z y z(4)当x0时 x x0 当x0时 x x0(5)x y2 x x y y 施瓦茨不等式 下页 第3 页，本讲稿共21 页v向量的长度 令|x|称为n 维向量x 的长度(或范数)v向量的长度的性质 设x y 为n维向量 为实数 则(1)非负性 当x0时|x|0 当x0时|x|0(2)齐次性|x|x|(3)三角不等式|x y|x|y|下页 第4 页，本讲稿共21 页三角不等式|x y|x|y|的证明 因为|x|22|x|y|y|2即|x y|x|y|(|x|y|)2由施瓦茨不等式 有|x y|2 x y x y x x2 x y y y 返回 第5 页，本讲稿共21 页解v向量间的夹

3、角称为n 维向量x 与y 的夹角 当x0 y0 时 第6 页，本讲稿共21 页v向量间的夹角称为n 维向量x 与y 的夹角 当x0 y0 时 当 x y0时 称 向 量 x与 y 正 交 显 然 若 x0 则 x与 任 何 向 量 都 正交 下页若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组第7 页，本讲稿共21 页v向量间的夹角称为n 维向量x 与y 的夹角 当x0 y0 时 当 x y0时 称 向 量 x与 y 正 交 显 然 若 x0 则 x与 任 何 向 量 都 正交 v定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 下页第8 页，本讲

4、稿共21 页v定理1 若n 维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 设有1 2 r 使1a1 2a2 rar0 以a1T左乘上式两端 得1a1Ta10因a10 故a1Ta1|a1|20 从而必有10 类似可证2 3 r0 因此 向量组a1 a2 ar线性无关 证明 返回 第9 页，本讲稿共21 页 例1 已知3维向量空间R3中两个向量a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交 解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30即a3应满足齐次线性方程组 取a3(1 0 1)T即合所求

5、得基础解系(1 0 1)T 下页 第10 页，本讲稿共21 页注 当|x|1时 称x为单位向量 例如 向量组 是R4的一个规范正交组 下页单位正交向量组（单位正交组，标准正交组，规范正交组）正交向量组的每个向量都是单位向量，称其为单位正交向量组。第11 页，本讲稿共21 页 同理可知第12 页，本讲稿共21 页v施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V 中的一个基 取向量组 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价 把b1 b2 br单位化 即得V 的一个规范正交基下页第13 页，本讲稿共21 页 例2 设 a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T

6、a3(4 1 0)T 试 用 施 密 特 正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1 a1再令 e1 e2 e3即为所求 下页 第14 页，本讲稿共21 页 例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3两两正交 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即x1x2x30 它的基础解系为1(1 0 1)T 2(0 1 1)T把基础解系正交化 即得所求 亦即取 解 下页 第15 页，本讲稿共21 页v正交阵 如 果n阶 矩 阵A 满 足ATAE(即A1AT)那 么 称A 为 正 交 矩 阵 简 称正交阵 方 阵A 为 正 交 阵 的 充 分 必 要 条 件 是A 的 列(行

7、)向 量 都 是 单 位 向 量 且两两正交 n阶 正 交 阵A 的n个 列(行)向 量 构 成 向 量 空 间Rn的 一 个 规 范 正 交基 正交矩阵举例 下页 第16 页，本讲稿共21 页v正交阵 如 果 n 阶 矩 阵 A 满 足 ATA E(即 A1 AT)那 么 称 A 为 正 交 矩 阵 简称正交阵 v正交矩阵的性质(1)若A 为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1(2)若A 和B 都是正交阵 则AB 也正交阵 v正交变换 若P 为正交矩阵 则线性变换yP x称为正交变换 设yP x为正交变换 则有 这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变)这是正交变换

8、的优良特性 结束 第17 页，本讲稿共21 页4.4 共轭矩阵定义 矩阵A的每一个元素都取它的共轭复数得到的矩阵称为A的共轭矩阵，记为例如则性质：第18 页，本讲稿共21 页注 当|x|1时 称x为单位向量 v规范正交基 设n维 向 量 e1 e2 er是 向 量 空 间V(VRn)的 一 个 基 如 果 e1 e2 er两 两 正 交 且 都 是 单 位 向 量 则 称 e1 e2 er是V 的 一 个 规 范 正交基 例如 向量组 是R4的一个规范正交基 下页 第19 页，本讲稿共21 页v规范正交基 设 n 维 向 量 e1 e2 er是 向 量 空 间 V(VRn)的 一 个 基 如

9、果 e1 e2 er两 两 正 交 且 都 是 单 位 向 量 则 称 e1 e2 er是 V 的 一 个规范正交基 v向量在规范正交基中的坐标 若 e1 e2 er是V 的 一 个 规 范 正 交 基 那 么V 中 任 一 向 量 a应 能由e1 e2 er线性表示 并且a a e1 e1 a e2 e2 a er er 事实上 设a 1e1 2e2 rer 则eiTa ieiTei i即i eiTa a ei 下页第20 页，本讲稿共21 页说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个基规范正交化 v施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V 中的一个基 取向量组 下页 第21 页，本讲稿共21 页