电磁场与电磁波课件第5章静态场的边值问题.ppt

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1、第第5 5章章 静态场的边值问题静态场的边值问题 静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括：静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括：静电场静电场、恒定电场恒定电场及及恒定磁场恒定磁场。静电场的场量与时间无关，位函数所。静电场的场量与时间无关，位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。静电场的边值问题：静电场的边值问题：给定边界条件下，求泊松方程或拉普拉给定边界条件下，求泊松方程或拉普拉斯方程解的问题。斯方程解的问题。数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。的变化规律。对于某一特定

2、的区域和时刻，方程的解取决于物理量的对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始初始值值与与边界值边界值，这些初始值和边界值分别称为，这些初始值和边界值分别称为初始条件初始条件和和边界边界条件条件，两者又统称为该方程的，两者又统称为该方程的定解条件定解条件。5.1 5.1 引言引言静电场问题静电场问题1.由场求源由场求源：由微分方程求解。：由微分方程求解。若源的分布具有某种对称性，从而判断场的分布也具有若源的分布具有某种对称性，从而判断场的分布也具有某种对称性时，可用高斯通量定理求解电场或安培环路某种对称性时，可用高斯通量定理求解电场或安培环路定理来求磁场。定理来求磁场。2.由源求场由

3、源求场：分布型问题和边值型问题。：分布型问题和边值型问题。(1)分布型分布型(2)边值型边值型已知确定区域中的源分布和其边界上的位函数或位函数的法向导数分布，求解该区域中位函数的分布状况，这类问题称为边值型问题或简称为边值问题。边值问题的分类：边值问题的分类：边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。类型。第一类边值问题第一类边值问题：给定整个边界上的位函数求区域中位给定整个边界上的位函数求区域中位函数的分布，这类问题又称为狄里赫利问题。函数的分布，这类问题又称为狄里赫利问题。第二类边值问题第二类边值问题：给定整个边界上位函数的法向导

4、数给定整个边界上位函数的法向导数求区域中位函数的分布，这类问题又称为纽曼问题。求区域中位函数的分布，这类问题又称为纽曼问题。第三类边值问题第三类边值问题：给定一部分边界上的位函数和其余部分给定一部分边界上的位函数和其余部分边界上的法向导数，求区域中位函数的分布，这类问题混边界上的法向导数，求区域中位函数的分布，这类问题混合问题。合问题。1.1.静电场、恒定电场静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程。、恒定磁场的基本方程。4.4.镜像法镜像法 、分离变量法。、分离变量法。重点重点：3.3.理论依据：唯一性定理、叠加原理。理论依据：唯一性定理、叠加原理。2.2.静态场的位函数方程。静态场的位函数方

5、程。静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。1 1、静电场的基本方程、静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为 上式表明：静电场中的旋度为上式表明：静电场中的旋度为0 0，即静电场中的电场不可，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。能由旋涡源产生；电荷是产生电场的

6、通量源。电介质的本构方程为电介质的本构方程为 静态场的基本方程静态场的基本方程 2 2、恒定电场的基本方程、恒定电场的基本方程 恒定电流的形成+ABC-要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B B极板的正电荷抵抗电场力搬极板的正电荷抵抗电场力搬到到A A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。维持恒定电流的电场为恒定电场维持恒定电流的电场为恒定电场 若一闭合路径经过电源，则：若一闭合路径经过电源，则：即电场强度的线积分等于电源的电动势即电场强度的线积分等于电源的电动

7、势 若闭合路径不经过电源，则：若闭合路径不经过电源，则：恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为 导体中的本构方程为导体中的本构方程为 3 3、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 这是恒定磁场的基本方程。这是恒定磁场的基本方程。从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，电流线是闭合的。涡场的源，电流线是闭合的。磁介质中的本构方程为磁介质中的本构方程为 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁

8、场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为中的传导电流为I I，电流密度为，电流密度为 ,则有则有 静电场可以用一个标量函数静电场可以用一个标量函数 的梯度来表示它的梯度来表示它:1 1、静电场的位函数分布、静电场的位函数分布 即即式中的标量函数式中的标量函数 称为称为电位函数。电位函数。所以有所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，对于均匀、线性、各向同性的介质，为常数为常数,即即静电场静电场的位函数的位函数 满足满足的方程。的方程。静态场的位函数静态场的位函数上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有上式即为在有电荷分布的区域内，或者说

9、在有“源源”的区的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为的方程称为 泊松方程。泊松方程。如果场中某处有如果场中某处有=0=0，即在无源区域，则上式变为，即在无源区域，则上式变为我们将这种形式的方程称为我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。应满足的方程。拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式：在不同的坐标系中有不同的表达形式：在直角坐标系中在直角坐标系中 在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中 在球坐标系中在球坐标

10、系中 2 2、恒定电场的位函数分布、恒定电场的位函数分布 根据电流连续性方程根据电流连续性方程 及物态方程及物态方程 并设电导率并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有为一常数（对应于均匀导电媒质），则有 则有则有在无电源区域，在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有恒定电场是一个位场，即有 这时同样可以引入一个标量位函数这时同样可以引入一个标量位函数 使得使得 这说明，在无电源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉这说明，在无电源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。斯方程。3 3、恒定磁场的位函数分布、恒定磁场的位函数分布 人为规定人为规定 (1)磁场的矢量位函数磁场的矢量位函数这个规定

11、被称为库仑规范这个规定被称为库仑规范 于是有于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有旋场，即恒定磁场是有旋场，即 ,但它却是无散场，但它却是无散场，即即 引入一个矢量磁位引入一个矢量磁位 后，由于后，由于 ，可得，可得 此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。在没有电流的区域有在没有电流的区域有 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 (2)磁场的标量位函数磁场的标量位函数这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象

12、静电场一样，我们可以引入一个标量函数，质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数即标量磁位函数 注意：标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。注意：标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。即令即令 以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两就变成了如何求解泊松方程和拉普

13、拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。方程的理论依据。5.2.1 唯一性定理唯一性定理 在求解静态场问题时在求解静态场问题时,我们希望其我们希望其解是解是唯一唯一的的,那么那么,在什么条件下在什么条件下,其解才是其解才是唯一唯一?三类边值条件三类边值条件:，1.给定边界上的给定边界上的位函数位函数,即

14、已知即已知S为边界上的点。2.给定边界上的位函数的法向导数给定边界上的位函数的法向导数,即已知即已知。3.边界边界，即已知即已知 静电场的边界通常是由导体形成的。静电场的边界通常是由导体形成的。（1 1）若给定导体上的电位值就是第一类边界。）若给定导体上的电位值就是第一类边界。（2 2）若给定导体上的电荷就是第二类边界。）若给定导体上的电荷就是第二类边界。导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为 因此，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。唯一性定理唯一性定理：满足三类给定边值之一的泊：满足三类给定边值之一的泊

15、松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。换句话说，如果一个函数换句话说，如果一个函数即即满足泊松方程满足泊松方程(或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程)又又满足给定的边界条件，则该满足给定的边界条件，则该函数是函数是唯一唯一的。的。1.设在体积V内，其满足边值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有 和 两个解。即有唯一性定理的证明：即即12是同一无源区域的边值问题是同一无源区域的边值问题 的解。由格林第一定理知：对任意标量函数令则有令并代入格林第一恒等式：并代入格林第一恒等式：即而则又由边界条件有在曲面边界上，故即体积V内S曲面上故其解是唯一唯一的。仍然采用反证法证明仍然采用反

16、证法证明.设有两个解满足拉氏方程设有两个解满足拉氏方程.则即S曲面上则S曲面内S曲面上2.设在体积V内，其满足边值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有 和 两个解。当 和 选择相同的参考点时,解唯一解唯一.3.三类边界问题将格林第一恒等式的积分曲面写成，然后进行证明.同样可得出结论,其解唯一.即在区域V内，1和2满泊松方程，即 在V的边界S上，1和2满足同样的边界条件，即 设设12是同一有源区域的边值问题是同一有源区域的边值问题 的解。令*=1-2，则在V内，2*=0，在边界面S上，*|S=0。代入格林第一恒等式有：在S上*=0，因而上式右边为零，因而有 体积V内S曲面上5.3 镜像法镜像法 实

17、质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具有边代替边界的影响，将原来具有边界的界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过程自由空间，从而使计算过程大为简化。大为简化。依据：依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变。这些等效电荷通常处于条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置镜像位置，因此称为，因此称为镜镜像电荷像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。注意：注意：1 1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论

18、的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所得的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所得出的位函数将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方出的位函数将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。程。2 2、所得位函数必须满足原来的边界条件。、所得位函数必须满足原来的边界条件。3 3、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。的。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。能确定其镜像电荷。5.3.1 导体平面镜像

19、导体平面镜像设在无限大导体平面设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为附近有一点电荷与平面距离为z=h。若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上。若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半空间中的电场。半空间中的电场。分析分析：上半空间任一点上半空间任一点P处的电位，应等于点处的电位，应等于点电荷电荷q和无限大导体平板和无限大导体平板上感应的负电荷产生的上感应的负电荷产生的的电位总和。因此，上的电位总和。因此，上半空间的电位问题可表半空间的电位问题可表示为示为：介质 导体 q r P 介质 q r 1P hh 介质 如果设想把无限大导电平板撤去，整个空间充满同

20、一种介如果设想把无限大导电平板撤去，整个空间充满同一种介质质，并在点电荷，并在点电荷q的对称位置上，放一个点电荷的对称位置上，放一个点电荷-q来代替来代替导电平板上的感应电荷。那么在导电平板上的感应电荷。那么在z0空间里任一点空间里任一点p(x,y,z)的的电位就应等于源电荷电位就应等于源电荷q与镜象电荷与镜象电荷-q所产生的电位之和。所产生的电位之和。若选无穷远处为零电位点，这时，若选无穷远处为零电位点，这时，P点的电位为点的电位为将r1和r2的表达式代入上式可得：总感应电荷为：可以验证电位满足边界条件，而此电位显然在点（x，y，zh）满足泊松方程，在其它的点满足拉普拉斯方程，由唯一性定理可

21、知即此电位是此边值问题的唯一解。导体平面上感应电荷密度为：角形区域角形区域 如直角形区域的边界为两个相交成直角的无限大导体平如直角形区域的边界为两个相交成直角的无限大导体平面并接地，如图所示，在它附近有一点电荷，现来计算此直面并接地，如图所示，在它附近有一点电荷，现来计算此直角形空间内的电位分布角形空间内的电位分布。用镜像法求解，必须在原电荷对用镜像法求解，必须在原电荷对OA 和和OB平面的对称位置分别引入平面的对称位置分别引入镜像电荷镜像电荷-q，但这并不能使，但这并不能使OA 和和OB面成为零电位。分析可知，若在面成为零电位。分析可知，若在原电荷的原点对称位置再引入镜像原电荷的原点对称位置

22、再引入镜像电荷电荷q，则原电荷及这三个镜像电，则原电荷及这三个镜像电荷共同作用将使得荷共同作用将使得OA 和和OB面保持面保持电位满足原来的条件，因此场中任电位满足原来的条件，因此场中任一点的电位即可认为是由原电荷及一点的电位即可认为是由原电荷及这三个镜像所生产电位的迭加。这三个镜像所生产电位的迭加。对于以上的原电荷对于以上的原电荷和镜像电荷，从几何关和镜像电荷，从几何关系上不难看出：它们位系上不难看出：它们位于一个同心圆上，而且于一个同心圆上，而且从原电荷开始，无论是从原电荷开始，无论是绕顺时针还是逆时针走绕顺时针还是逆时针走向，相邻的一对互为镜向，相邻的一对互为镜像的电荷大小相等，符像的电

23、荷大小相等，符号相反，并且最终回到号相反，并且最终回到原电荷位置，如图所示原电荷位置，如图所示 如果两导体平面相交不成直角，而是成角时，也必须同上面的情况一样，轮流地找出那些镜像电荷及镜像电荷的镜像，一直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。可以证明：只有当重合，即镜像电荷的总数为2 n 1。当n 不为整数时，镜像电荷将是无限多个，无法使两相交的导体平面为等位面。这种情况镜像法不能用于求解。（n为整数）时，最后的镜像电荷才可能与原电荷夹角为夹角为60度的的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的镜像度的的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的镜像:5.3.2 5.3.2 球形边界问题球形边界问题 接地导

24、体球半径为接地导体球半径为a a，在球外与球心相距为，在球外与球心相距为d d1 1的的p p1 1点处有一点处有一点电荷点电荷q q，点电荷，点电荷q q将在导体球表面产生感应负电荷，球外任将在导体球表面产生感应负电荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷q q产生的电位之和。产生的电位之和。接地导体球与点电荷如图所示：求球外接地导体球与点电荷如图所示：求球外设想把导体球移开，用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷设想把导体球移开，用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷.(1)(1)为了不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导体球内。为了不改变球外的电荷

25、分布，镜象电荷必须放在导体球内。(2)(2)由于球对称性，这个镜象电荷必然在点电荷由于球对称性，这个镜象电荷必然在点电荷q q与球心所在的同与球心所在的同一条直线上。一条直线上。(3)(3)由于靠近点电荷由于靠近点电荷q q的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定在电荷必定在OMOM线段上，设在线段上，设在b b点点,OM=b,OM=b，则位函数表达式为，则位函数表达式为 球面：即亦即方法一：而由余弦定理：上式对所有 均成立的充要条件为：则 边界条件：球面：如图即取 P 点为特殊的两点，即 A 、B两点，则对于 A 点，有对于 B 点，有故 球外电位

26、：如图 球面上感应电荷面密度（自由电荷）由边界条件：介质2为球内：-球面上感应的总电荷qin：2、对地绝缘的导体球与点电荷，如图所示，求球外电位v 球面边界条件：1)时，2)导体球上的净电荷为零。v 镜像电荷的设置：球面为等位面a.则不满足边界条件b.球心 再置一镜像电荷 ，如图：则为常数c.根据电荷守恒定律，为保证导体球上的净电荷为零。则至此，满足边界条件1）和2）v 球外任意一点P的电位：如图例：接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起，在点（0，0，d)处有一个点电荷 q（如图所示），求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持导体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平面

27、导体的镜像电荷 位于（0，0，-d)处。再找球面镜像电荷 位于（0，0，处，当 叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷 位于（0，0，）处，这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零，且三个镜像电荷都在要计算的区域以外。故导体上方的电位为四个点电荷电位的叠加。点点电电荷荷与与接接地地导导体体平平板板点点电电荷荷与与接接地地导导体体球球aaa a点点电电荷荷与与不不接接地地导导体体球球2abd=3、导体球壳与球壳内点电荷的镜像：求球内电位？、导体球壳与球壳内点电荷的镜像：求球内电位？a.球壳为接地的情况：球壳为

28、接地的情况：分析：球壳内表面的感应电荷 可在球外 连线上 置一镜像电荷 来等效。球壳为零电位球壳为零电位。故球壳内的场为故球壳内的场为 两两点电荷点电荷产生的场。产生的场。b.球壳球壳不接地不接地 球球壳壳表面上的感应电荷表面上的感应电荷 对球壳内的场分布不产生对球壳内的场分布不产生影响，但它存在使影响，但它存在使球壳内的电位球壳内的电位提高了一个常数。提高了一个常数。若球外介质均匀，则球壳外的感应电荷分布均匀。例例3 3：有一接地导体球壳，内外半径分别为有一接地导体球壳，内外半径分别为a1 1和和a2 2，在球壳内，在球壳内外各有一点电荷外各有一点电荷q q1 1和和q q2 2 ，与球心距

29、离分别为，与球心距离分别为d d1 1和和d d2 2 ，如，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。u球壳外：球壳外：边界为边界为r=a2的导体球面，边界条件为的导体球面，边界条件为u根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为球壳外区域任一点电位为 解：u球壳内：球壳内：边界为边界为r=a1的导体球的导体球面，边界条件为面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电根据球面镜像原理，镜像电荷荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为球壳内区域任一点电位为 u球

30、壳中：球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。用镜像法解题时，一定要注意用镜像法解题时，一定要注意待求区域待求区域及其及其边界条件边界条件，对边界以外的情况不予考虑。对边界以外的情况不予考虑。5.3.4 5.3.4 媒质分界平面的镜像媒质分界平面的镜像导体平面位于点电荷产生的电场中时，会在导体平面位于点电荷产生的电场中时，会在其上产生感应电荷，利用镜像电荷可代替其其上产生感应电荷，利用镜像电荷可代替其感应电荷的作用，从而将导体平面去掉。感应电荷的作用，从而将导体平面去掉。那么，电介质平面位于点电荷产生的电场那么，电介质平面位于

31、点电荷产生的电场中时，会在其上产生束缚（极化）电荷，中时，会在其上产生束缚（极化）电荷，则我们是否也可以利镜像电荷来代替极化则我们是否也可以利镜像电荷来代替极化电荷对场的作用呢？电荷对场的作用呢？答案是肯定（sure）的。设在介质设在介质1 1和和2 2内的电位函数分别为内的电位函数分别为1 1和和2 2。拉氏方程与边界条件：拉氏方程与边界条件：0，0，（q点除外）边界条件拉氏方程设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：1.点电荷对无限大介质平面的

32、镜像点电荷对无限大介质平面的镜像 当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中任一点的电位和电位移矢量分别为：在分界面(R=R=R)上，应满足边界条件：电介质中的电场分布：电介质中的电场分布：例：设分界面为平面的两个半无限大空间中，分别例：设分界面为平面的两个半无限大空间中，分别充满磁导率为充满磁导率为 和和 的两种均匀介质，在介质的两种均匀介质，在介质1中存中存在一平行于分界面的长直线电流在一平行于分界面的长直线电流I，与分界面的距离，与分界面的距离为为d，试求空间的磁场。，试求空间的磁场。2.线电流对磁介质分界平面

33、的镜像线电流对磁介质分界平面的镜像求解上半空间的磁场时，以分界面为对称面，在原电流的对称求解上半空间的磁场时，以分界面为对称面，在原电流的对称位置上用一镜像电流代替分界面上的磁化电流。这样，可以为位置上用一镜像电流代替分界面上的磁化电流。这样，可以为整个空间充满磁导率为整个空间充满磁导率为 的磁介质。的磁介质。均匀介质，因此，区域1内任一点P的矢量磁位为 电流的镜像电流的镜像 求解上半空间的磁场时，也可用镜像电流来等效地代替分界面上的磁化电流。根据镜像法，镜像电流只能在区域1内，区域2内任一点P的矢量磁位为镜像电流和可由边界条件确定，在分界面（）上从而得到 联立求解可得由上式可知，镜像电流 和

34、 的方向由 和 决定，若 ，与原电流的方向一致，而 则相反；反之也然。则可得 相应的磁场为上半空间的磁场：当 有限 时，磁壁5.3.3 柱面边界的镜像法柱面边界的镜像法 线电荷密度为 的无限长带电直线与半径为a的接地无限长导体圆柱的轴线平行，直线到圆柱轴线的距离为 ，如图所示。求圆柱外空间的电位函数。线电荷对接地导体球的镜像线电荷对接地导体球的镜像 【解解】导体圆柱在线电荷的电场作用下，柱面上会出现感应电荷。柱外空间任一点的电位等于线电荷和感应电荷分别产生的电位的迭加。显然，柱面上感应电荷在离线电荷近的一侧多，离线电荷远的一侧少，且其分布具有对称性。假设在与圆柱轴线的距离为 ，且平行于轴线方向

35、上放置一条镜像线电荷，密度为 ，可由边界条件确定之。圆柱外空间一点电位为 由于圆柱接地，圆柱面上电位为零，设图中的 ，则上式对任意 值均成立，在上式两端对 求导可得 比较等式两端相应 项的系数，可得联解以上两式可得 后一组解不合理，应舍去。圆柱外任一点的电位为由 时，可求得圆柱面上的感应电荷密度为圆柱面上单位长度的感应面电荷为5.4 分离变量法分离变量法2.步骤：步骤：（1）由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。1.定义：定义：将一个三维偏微分方程通过变量分离简化为将一个三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程。三个独立的常微分方程。把待求的位

36、函数用分离变量法表示出来；并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三个常微分方程；分别写出其通解。用给定边界条件以及通解中正交函数的正交性确定通解中的待定常数。特 解5.4.2 直角坐标系中的分离变量法：直角坐标系中的分离变量法：、分离变量：、分离变量：令令并代入拉式方程整理得并代入拉式方程整理得:、位函数、位函数 的拉氏方程：的拉氏方程：三个常微分方程：三个常微分方程：称为分离常数。通解：则为待定系数。0为实数；为实数；则或则同理，的通解亦可根据 的取值不同，从而得到类似 的通解。故故3、由给定边界条件确定待定系数 特解。其通解是所以可能解的的线性组合。（叠加原理（叠加原理）例：一长直金

37、属槽的长度方向平行于z轴，其横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为，而顶盖电位1.2.求槽内电位 的解。解：由题意，沿z方向是没有变化的，而槽的边界是与直角坐标系的坐标面平行的。、选直角坐标系、选直角坐标系：如图所示。、拉氏方程：、拉氏方程：、边界条件：、边界条件：条件边界、用分离变量法分离出两个常微分方程：、用分离变量法分离出两个常微分方程：令则上述拉式方程变成两个方程、求通解：、求通解：；0、特解：、特解：（结合具体边界条件）1.分析：1.通解:1.特解:a.即故故其中称为本征函数本征值 b.由则故故c.故故由边界条件确定.将上式两边同乘,再对x从 a积分则即故当时,即因 已是三角函数则5.4.3 圆柱坐标系中的分离变量法：、拉氏方程的展开式：、拉氏方程的展开式：令、分离变量法：、分离变量法：