特征值与特征向量(0808).ppt

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1、第第5 5章章 特征值与特征向量特征值与特征向量5.25.2 矩阵的相似关系矩阵的相似关系5.3 5.3 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化5.1 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 5.5 5.5 若当（若当（JordanJordan）标准形简介）标准形简介 5.4 5.4 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 9/29/2022 9/29/20229/29/20221先看一个例子：求二次齐次函数先看一个例子：求二次齐次函数在条件在条件下的极下的极值值。5.1 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 9/29/2022 9/2

2、9/20229/29/20222记记其中其中则则条件限制为条件限制为 作拉格朗日函数作拉格朗日函数 令：令：则有：则有：（5.15.1）或：或：（5.25.2）9/29/2022 9/29/20229/29/20223这样，寻找这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组的极值点问题就转化为寻找方程组（5.15.1）或（）或（5.25.2）的非零解的问题。能使方程组）的非零解的问题。能使方程组（5.15.1）或（）或（5.25.2）有非零的数及相关的非零解，）有非零的数及相关的非零解，就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。定定义义5.1 5.1 设设n阶

3、阶方方阵阵（1 1）称为称为A的特征矩阵；的特征矩阵；（2 2）称）称 （5.35.3）为为A的特征多的特征多项项式；式；9/29/2022 9/29/20229/29/20224（3 3）称）称A A的特征多项式的根，即的特征多项式的根，即 的根的根 为为A A的特征值；的特征值；（4 4）若）若 是的某个特征值，则称齐次线性方程组是的某个特征值，则称齐次线性方程组（5.45.4）的非零解为的非零解为A的属于特征值的属于特征值 的特征向量。的特征向量。9/29/2022 9/29/20229/29/20225从定义中可以看出：行列式（从定义中可以看出：行列式（5.35.3），即），即A的特征

4、的特征多项式多项式 是一个关于是一个关于 的首项系数为的首项系数为1 1的的n次次多项式，它的根（包括重数在内），也就是多项式，它的根（包括重数在内），也就是A的特的特征值共有征值共有n个；个；同时由（同时由（5.45.4）可知特征向量的概念是相对某个特征）可知特征向量的概念是相对某个特征值而言的概念，如果值而言的概念，如果 是是A的特征值，则的特征值，则A的属于的属于 的特征向量就是以特征矩阵的特征向量就是以特征矩阵 为系数矩阵的齐为系数矩阵的齐次线性方程组（次线性方程组（5.45.4）的全部非零解，常称此齐次线）的全部非零解，常称此齐次线性方程组的任意一个基础解系为性方程组的任意一个基础解

5、系为A A的属于的属于 的的极大无极大无关特征向量组关特征向量组。9/29/2022 9/29/20229/29/20226上述定义实际上给出了求方阵的特征值与特征向量上述定义实际上给出了求方阵的特征值与特征向量的方法：的方法：第一步：求出第一步：求出A的特征多项式的特征多项式 ；第二步：求出代数方程第二步：求出代数方程 的的n个根，即得个根，即得A的的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内共有共有n个）；个）；第三步：对每个特征值第三步：对每个特征值 ，求出齐次线性方程，求出齐次线性方程组组 的基础解系，即属于的基础解系，即属于 的极大无的极大无关

6、特征向量组：关特征向量组：；9/29/2022 9/29/20229/29/20227第四步：作线性组合第四步：作线性组合 （不全为零），它就是不全为零），它就是A的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。例例1 1 求求3 3阶方阵阶方阵 的特征值与特的特征值与特征向量。征向量。9/29/2022 9/29/20229/29/20228解：解：A的特征多项式为：的特征多项式为：故故A的特征值为：的特征值为：（二重）。（二重）。对于对于 而言，求解齐次线性方程组而言，求解齐次线性方程组即即 9/29/2022 9/29/20229/29/20229得它的一个基础解系：得它的一个基础解系：故

7、故A的属于的属于 的所有特征向量为的所有特征向量为 9/29/2022 9/29/20229/29/202210对于对于 而言，求解齐次线性方程组而言，求解齐次线性方程组即即得它的一个基础解系：得它的一个基础解系：故故A的属于的属于 的所有特征向量为的所有特征向量为 （不全为零）不全为零）9/29/2022 9/29/20229/29/202211例例 2 2 求求3 3阶方阵阶方阵 的特征值与特的特征值与特征向量。征向量。解：解：A的特征多项式为：的特征多项式为：9/29/2022 9/29/20229/29/202212故故A的特征值为：的特征值为：（三重）。（三重）。求解齐次线性方程组求

8、解齐次线性方程组 ，即，即得它的一个基础解系：得它的一个基础解系：所以所以A的属于特征值的属于特征值2的所有特征向量为的所有特征向量为（不全为零）不全为零）9/29/2022 9/29/20229/29/202213定义定义5.2 设设A是是n阶方阵，若存在数阶方阵，若存在数 及及n 维非零向量，维非零向量，使得：使得：（5.55.5）则称则称 是是A的特征值，的特征值，是是A的属于特征值的属于特征值 的特征的特征向量向量.上述定义上述定义5.1与定义与定义5.2是等价的是等价的 事实上，若有（事实上，若有（5.55.5）式，即）式，即 ，则可将其改写为：则可将其改写为：9/29/2022 9

9、/29/20229/29/202214例例3 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A与与 有相同的特征多项有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。式，进而有相同的特征值。证明：因为：证明：因为：则则A与与 有相同的特征多项式有相同的特征多项式 9/29/2022 9/29/20229/29/202215例例4 设设n阶方阵阶方阵A满足满足 （为正交矩阵），（为正交矩阵），则的特征值必为则的特征值必为1 1或或-1-1证明：设证明：设 为的特征值，且为的特征值，且 对上式两边左乘对上式两边左乘 9/29/2022 9/29/20229/29/202216再对其两边左乘再对其两边左乘 由此由此 但但

10、，则则或或 9/29/2022 9/29/20229/29/202217定理定理5.1 5.1 设设 ，且，且 是的是的n个特征个特征值（重根按重数算），则有：值（重根按重数算），则有：（1 1）A的的n个特征值之和等于个特征值之和等于A的主对角线元素之的主对角线元素之和，即：和，即：（5.6）（2 2）A的的n个特征值之积等于个特征值之积等于A的行列式，即：的行列式，即：（5.7）二、特征值与特征多项式的关系二、特征值与特征多项式的关系 9/29/2022 9/29/20229/29/202218证明：注意到证明：注意到A的特征多项式为：的特征多项式为：易知特征多项式中易知特征多项式中 与与

11、 两项只可能出现在主对两项只可能出现在主对角线的乘积项中角线的乘积项中,因此因此 前的系数必为：前的系数必为：；9/29/2022 9/29/20229/29/202219而特征多项式的常数项为而特征多项式的常数项为 即有即有由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得：由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得：推论推论 方阵方阵A非奇异（可逆）当且仅当非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值没有零特征值 9/29/2022 9/29/20229/29/202220例例5 5设设A为三阶方阵，且满足：为三阶方阵，且满足：，求，求解：由定义解：由定义5.15.1知，若知，若 ，则则A有特征值有特征值 ；同理

12、：同理：9/29/2022 9/29/20229/29/202221定理定理5.2 设设n阶方阵阶方阵A有特征值有特征值 ，则，则 分别有特征值：分别有特征值：，其中，其中m为正整为正整数，数，是是A的伴随矩阵。的伴随矩阵。（1 1）证明：因为证明：因为A有特征值有特征值 ，故存在非零向量，故存在非零向量 ，使，使得：得：，于是：，于是：（2 2）；三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 9/29/2022 9/29/20229/29/202222（3 3）对）对 两边左乘两边左乘 有：有：，即：即：（4 4）因为）因为 ，则有：，则有：，即：即：由此可见由此可见 分别有特值：分

13、别有特值：9/29/2022 9/29/20229/29/202223注意：注意：由此例可知，若由此例可知，若A有特征值有特征值 ，则，则A矩阵多矩阵多项式项式 有特征值：有特征值：9/29/2022 9/29/20229/29/202224定理定理5.35.3设设 是方阵的个互异的特征值，是方阵的个互异的特征值，且且 分别是属于的特征向量，分别是属于的特征向量，则则 必定线性无关，即必定线性无关，即A的不同特征值对的不同特征值对应的特征向量必定线性无关。应的特征向量必定线性无关。证明：用归纳法证明，证明：用归纳法证明，时，一个非零向量必时，一个非零向量必定线性无关，结论成立。定线性无关，结论

14、成立。当当 时时(5.8)9/29/2022 9/29/20229/29/202225将（将（5.8）式两边左乘）式两边左乘A 又将（又将（5.85.8）式两边乘以）式两边乘以 ，得：，得：则：则：9/29/2022 9/29/20229/29/202226由归纳假设知由归纳假设知 线性无关，故有：线性无关，故有：而而 ，故只有，故只有 ，再由（再由（5.85.8）式知）式知：但但 ，从而，从而 ，则，则 由此由此 线性无关线性无关 据归纳法知结论对任意据归纳法知结论对任意m都成立都成立 9/29/2022 9/29/20229/29/202227定理定理5.45.4设设 是方阵是方阵A的的m

15、个互异特征个互异特征值，值，是是A的属于的属于 的的 个线性无关的特个线性无关的特征向量（征向量（），则），则 必定线性无关。必定线性无关。推论设方阵推论设方阵A有个有个m互异特征值互异特征值 ，A的属于的属于 的极大线性无关特征向量组中含有的极大线性无关特征向量组中含有 个个 向量，则：向量，则：，且等号成立的充要条件是且等号成立的充要条件是A有有n个线性无关的特征向个线性无关的特征向量。量。9/29/2022 9/29/20229/29/202228 矩阵的相似关系是矩阵间的一种极为重要矩阵的相似关系是矩阵间的一种极为重要的关系，对于简化矩阵的讨论起着重要作用，的关系，对于简化矩阵的讨论起

16、着重要作用，而矩阵的特征值在相似关系中扮演了重要角而矩阵的特征值在相似关系中扮演了重要角色。本节将引入相似的概念及性质，并讨论色。本节将引入相似的概念及性质，并讨论方阵相似于对角阵的条件。方阵相似于对角阵的条件。5.2 5.2 矩阵的相似关系矩阵的相似关系 9/29/2022 9/29/20229/29/202229定义定义5.3 设设A,B都是都是n阶方阵，若存在可逆矩阵阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得：，使得：则称则称A与与B是相似的矩阵，记为是相似的矩阵，记为 。相似是一种相似是一种等价关系等价关系性质性质1 反身性反身性性质性质2 对称性对称性性质性质3 传递性传递性 9/29/2022

17、 9/29/20229/29/202230定理定理5.5 5.5 设设A,B 都是都是n阶方阵，且阶方阵，且A与与B相似，相似，即即 ，则，则(1)(2)(1)(2)（k为正整数）为正整数）。（3 3）若）若 是是m次多项式，则次多项式，则 证明：由证明：由 知，存在可逆矩阵知，存在可逆矩阵P，使得，使得(1)9/29/2022 9/29/20229/29/202231（2）即即 （k为正整数）为正整数）9/29/2022 9/29/20229/29/202232（3）从而从而 9/29/2022 9/29/20229/29/202233定理定理5.6 5.6 设设A,B 都是都是n阶方阵，且

18、阶方阵，且A与与B相似，相似，即即 ，则，则(1)(2)(1)(2)（3 3）A与与B相同的特征多项式、相同的特征值相同的特征多项式、相同的特征值 证明：由证明：由 知，存在可逆矩阵知，存在可逆矩阵P，使得，使得（1 1）由于用可逆矩阵左乘或右乘）由于用可逆矩阵左乘或右乘A，不改变其秩，不改变其秩，故故 9/29/2022 9/29/20229/29/202234（2 2）则则A与与B有相同的行列式。有相同的行列式。（3 3）故故A与与B有相同的特征多项式，进而有相同的有相同的特征多项式，进而有相同的特征值特征值 9/29/2022 9/29/20229/29/202235注意：注意：若若 （

19、），），即是即是A的属于的属于 的特征向量，的特征向量，由于：，由于：从而从而 是是 的属于的属于 的特征向量。的特征向量。由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量往往是不同的往往是不同的 9/29/2022 9/29/20229/29/202236矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩阵之间具有许多相同的性质，在研究矩阵的许阵之间具有许多相同的性质，在研究矩阵的许多问题时，人们常利用相似关系将多问题时，人们常利用相似关系将A的讨论通的讨论通过过 转移到转移到B的讨论上去。的讨论上去。可以理解为将矩阵可以理解为将

20、矩阵A进行了分解（常进行了分解（常叫相似分解），分解的目的是为了简化对的讨论。叫相似分解），分解的目的是为了简化对的讨论。于是人们当然希望于是人们当然希望B越简单越好，例如是最简单越简单越好，例如是最简单的对角阵。的对角阵。5.3 5.3 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化一、矩阵与对角阵的相似一、矩阵与对角阵的相似 9/29/2022 9/29/20229/29/202237若若A能与对角阵相似，则称能与对角阵相似，则称A能对角化能对角化，即存在可，即存在可逆的矩阵逆的矩阵P，使得，使得此时此时 ，这样对，这样对A的讨论转移到了对对角的讨论转移到了对对角阵阵 的讨论上去了的讨论上去了 9/29

21、/2022 9/29/20229/29/202238 并非任何方阵都能对角化，那么当方阵并非任何方阵都能对角化，那么当方阵A满满足什么条件时能对角阵化呢？下面给出方阵能足什么条件时能对角阵化呢？下面给出方阵能相似于对角阵的充要条件，即相似于对角阵的充要条件，即A都能对角化的充都能对角化的充要条件。要条件。二、矩阵对角化的条件二、矩阵对角化的条件 9/29/2022 9/29/20229/29/202239定理定理5.7 n阶方阵阶方阵A能与对角阵相似的充要条能与对角阵相似的充要条件是：件是：A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 证明证明充分性：充分性：设设A有有n个线性无关的特征向

22、量个线性无关的特征向量 ，它，它们对应的特征值分别为们对应的特征值分别为 ，于是，于是 （），记矩阵：），记矩阵：9/29/2022 9/29/20229/29/202240由于由于 线性无关，故线性无关，故P可逆，所以可逆，所以 9/29/2022 9/29/20229/29/202241故故A能与对角阵相似能与对角阵相似 9/29/2022 9/29/20229/29/202242必要性：必要性：设设A能与对角阵能与对角阵 相似，则存相似，则存在可逆矩阵在可逆矩阵P，使得，使得将将P按列分块，记按列分块，记 ，9/29/2022 9/29/20229/29/202243显然显然 ，这说明，

23、这说明 是是A的属于的属于 的特征向量，的特征向量，且由且由P的可逆性知的可逆性知 线性无关线性无关 9/29/2022 9/29/20229/29/202244注意：注意：从上面定理的证明过程可知：若从上面定理的证明过程可知：若A能与对能与对角阵角阵 相似，则相似，则 （1 1）与）与A相似的对角阵的主对角线上的元素恰好相似的对角阵的主对角线上的元素恰好就是就是A的的n个特征值个特征值 （2 2）中的各列中的各列 恰好就是恰好就是A的属于的属于 的特征向量的特征向量 9/29/2022 9/29/20229/29/202245特别的，若特别的，若A的特征多项式都是单根，则有如下的特征多项式都

24、是单根，则有如下推论：推论：事实上，对事实上，对n个互异的特征值各取一个特征向量，个互异的特征值各取一个特征向量，由定理由定理5.35.3知，知，A的不同特征值对应的特征向量线的不同特征值对应的特征向量线性无关，故性无关，故A有有n个线性无关的特征向量，从而个线性无关的特征向量，从而A必能与对角阵相似。必能与对角阵相似。如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论1 1 9/29/2022 9/29/20229/29/202246对于对于A有重根的情况，由定理有重根的情况，由定理5.45.4的推论，有的推论，有推论推论2 2 若若n阶

25、方阵阶方阵A有有m（mn）个互异的特征值个互异的特征值 ，A的属于的属于 的极大无关特征向量组中所含向量的个的极大无关特征向量组中所含向量的个数为数为 个（个（）则能对角化的充要条件是：）则能对角化的充要条件是：9/29/2022 9/29/20229/29/202247推论推论3 若若n阶方阵阶方阵A有有m（mn）个互异的特征值个互异的特征值 ,且它们分别是且它们分别是 重特征根重特征根（)，则，则A能对角化的充要条件是：能对角化的充要条件是：事实上：事实上：就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组 基础解系所含向量的个数，也就是基础解系所含向量的个数，也就是A的属于的属于 的极的极大无关特征向

26、量组中所含向量的个数，由大无关特征向量组中所含向量的个数，由 9/29/2022 9/29/20229/29/202248知知A能对角化的充要条件是能对角化的充要条件是A的所有特征值的几的所有特征值的几何重数等于代数重数。何重数等于代数重数。9/29/2022 9/29/20229/29/202249上面的讨论实际上告诉了我们寻找对角阵与可逆阵上面的讨论实际上告诉了我们寻找对角阵与可逆阵的方法，即对角化的方法：的方法，即对角化的方法：第一步：首先求出第一步：首先求出A的特征多项式，进而求出的特征多项式，进而求出A的的所有特征值所有特征值 ，设它们的重数分别是，设它们的重数分别是 （）；）；三、

27、方阵对角化的实现三、方阵对角化的实现 9/29/2022 9/29/20229/29/202250第二步：针对每一个特征值第二步：针对每一个特征值 ，求解齐次线性方，求解齐次线性方程组程组 ，得基础解系，得基础解系 ，它们就是属于它们就是属于 的的 个线性无关个线性无关的特征向量（的特征向量（）；）；第三步：如果第三步：如果 ，则，则A没有没有n个线性无关个线性无关的特征向量，故的特征向量，故A不能对角化；不能对角化；如果如果 ，说明，说明A有有n个线性无关的特征向个线性无关的特征向量，故量，故A能对角化，将能对角化，将n个线性无关的特征向量按个线性无关的特征向量按列排成可逆阵列排成可逆阵P，

28、即，即 9/29/2022 9/29/20229/29/202251 9/29/2022 9/29/20229/29/202252注意：注意：由于齐次线性方程组由于齐次线性方程组 的基的基础解系不唯一，则可逆阵础解系不唯一，则可逆阵P不是唯一的。另外，不是唯一的。另外，由于由于P中的列向量依次是属于对角阵中的列向量依次是属于对角阵 中对角中对角线上相应元素的特征向量，如果将这种对应换线上相应元素的特征向量，如果将这种对应换个次序排列，也可以得到不同的个次序排列，也可以得到不同的P及对角阵。及对角阵。9/29/2022 9/29/20229/29/202253例例6 设设 ，问，问A能否对角化？

29、能否对角化？解解即即 是的三重特征值，考虑齐次线性方程是的三重特征值，考虑齐次线性方程 ，9/29/2022 9/29/20229/29/202254故：故：（几何重数（几何重数 代代数重数），数重数），因此因此A不能与对角阵相似不能与对角阵相似 9/29/2022 9/29/20229/29/202255例例 7 设设 ，问，问A能否对角化？能否对角化？解：解：A的特征多项式的特征多项式 9/29/2022 9/29/20229/29/202256A的特征值分别为的特征值分别为 ，它们都是单特征值，故它们都是单特征值，故A能对角化能对角化 9/29/2022 9/29/20229/29/20

30、2257例例8 设设 ，将，将A对角化，并求对角化，并求（k为正整数）。为正整数）。解：解：A的特征多项式：的特征多项式：故故A的特征值为：的特征值为：（二重）（二重）9/29/2022 9/29/20229/29/202258对于对于 而言，而言，齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 （即属于（即属于 的极大无关特征向量组）为的极大无关特征向量组）为 对于对于 而言，而言，齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 （即属（即属于于 的极大无关特征向量组）为的极大无关特征向量组）为 9/29/2022 9/29/20229/29/202259 因此因此A有三个线性无关的特征

31、向量，故可对角化，有三个线性无关的特征向量，故可对角化，令令 9/29/2022 9/29/20229/29/202260又又 9/29/2022 9/29/20229/29/202261 9/29/2022 9/29/20229/29/202262例例9 设设 ，且已知，且已知A有三个线有三个线性无关的特征向量，性无关的特征向量，是是A的二重特征值，试的二重特征值，试求可逆的求可逆的P，使得，使得 为对角阵为对角阵 解：由假设知解：由假设知A能对角化，而能对角化，而 是是A的二的二重特征值重特征值,由由 9/29/2022 9/29/20229/29/202263而而 9/29/2022 9

32、/29/20229/29/202264又设又设 是是A的另一个特征值的另一个特征值 对于特征值对于特征值 ，求解，求解 得属于得属于 的两个线性无关的特征向量的两个线性无关的特征向量 9/29/2022 9/29/20229/29/202265对于特征值对于特征值 ，得属于得属于 的一个特征向量：的一个特征向量：于是令：于是令：有有 9/29/2022 9/29/20229/29/202266在上一节讨论了一般方阵的相似对角化问题，在上一节讨论了一般方阵的相似对角化问题，并看到了并非所有方阵都能与对角阵相似。本并看到了并非所有方阵都能与对角阵相似。本节将讨论一类特殊的矩阵节将讨论一类特殊的矩阵

33、实数域上的对称实数域上的对称阵（简称为实对称阵）的相似对角化问题，并阵（简称为实对称阵）的相似对角化问题，并说明实对称阵总是可以对角化的。说明实对称阵总是可以对角化的。5.4 5.4 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 9/29/2022 9/29/20229/29/202267定理定理5.85.8对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.证明：设证明：设 是是A的特征值，的特征值，是是A属于属于 的特征的特征向量，则向量，则对上式两边取共轭向量，有对上式两边取共轭向量，有即即 再对上式求转置再对上式求转置 一、实对称阵的特征值与特征向量的性质一、实对称阵的特征值与特征向量的性质

34、 9/29/2022 9/29/20229/29/202268由于由于A为实对称阵，故为实对称阵，故 ，从而从而 但但 ，故，故 ，于是，于是 ，这说明，这说明 必为实数。必为实数。9/29/2022 9/29/20229/29/202269定理定理5.9 实对称阵实对称阵A的属于不同特征值的特征向量的属于不同特征值的特征向量必定正交。即若必定正交。即若 是是A的互异特征值，的互异特征值，分分别是对应的特征向量，则必有别是对应的特征向量，则必有 。证明：因为证明：因为 （），），且且 则有则有 9/29/2022 9/29/20229/29/202270但但 ，故有，故有 所以所以 与与 正交

35、正交 9/29/2022 9/29/20229/29/202271 定理定理5.10 设设A是是n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，是是A的的n个特征值（包括重数在内），则必存在正交个特征值（包括重数在内），则必存在正交矩阵矩阵P，使得，使得下面的定理表明了任意一个实对称矩阵总是可下面的定理表明了任意一个实对称矩阵总是可以对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现，以对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现，这是一个非常重要的结论。这是一个非常重要的结论。二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化 9/29/2022 9/29/20229/29/202272证明：对矩阵的阶数证明：对矩阵的阶数n应用数学归纳

36、法应用数学归纳法 当当 时，定理显然成立时，定理显然成立 假定定理对假定定理对 阶实对称矩阵成立，下面证阶实对称矩阵成立，下面证明定理对明定理对n阶实对称矩阵也成立阶实对称矩阵也成立 设设 是是A的任意一个特征值，的任意一个特征值，是属于是属于 的一个的一个特征向量，并假定特征向量，并假定 为单位向量，为单位向量，又设又设 是以是以 为第一列的为第一列的n阶正阶正交矩阵，则交矩阵，则 9/29/2022 9/29/20229/29/202273 9/29/2022 9/29/20229/29/202274由于由于 是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则 必为必为n阶实对阶实对称矩阵称矩阵 由归纳假设

37、知：存在由归纳假设知：存在 阶正交矩阵阶正交矩阵 ，使得，使得 9/29/2022 9/29/20229/29/202275令令故故 也是正交矩阵也是正交矩阵 9/29/2022 9/29/20229/29/202276令令由于由于 及及 都正交，则都正交，则P必然是正交矩阵必然是正交矩阵 显然，显然，其中的就是其中的就是A的的n个特征值个特征值 9/29/2022 9/29/20229/29/202277注意注意（1）若）若 是实对称矩阵是实对称矩阵A的的r重特征值，重特征值，则必有则必有 ，也就是说，也就是说，对于实对对于实对称矩阵称矩阵A而言，几何重数总是等于代数重数的而言，几何重数总是

38、等于代数重数的（2）若设）若设 ，由于，由于P是正交是正交阵，则阵，则 ，即，即 9/29/2022 9/29/20229/29/202278且由且由 （）P的第的第j列恰好就是特征值列恰好就是特征值 对应的特征向量对应的特征向量 故故 形成一个两两正交的单位特征向形成一个两两正交的单位特征向量组（即标准正交向量组）量组（即标准正交向量组）综合（综合（1）与（）与（2）知，实对称矩阵总是能对角）知，实对称矩阵总是能对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现化的，并且可以通过正交矩阵来实现 9/29/2022 9/29/20229/29/202279实对称矩阵对角化的具体步骤如下：实对称矩阵对角化的具

39、体步骤如下：第一步：首先求出第一步：首先求出A的特征多项式，进而求出的特征多项式，进而求出A的所有特征值的所有特征值第二步：对于每一个特征值第二步：对于每一个特征值 ，求解齐次线性方，求解齐次线性方程组程组 ，得基础解系，得基础解系 ，它们就是属于它们就是属于 的的 个线性无关个线性无关的特征向量（的特征向量（）；）；9/29/2022 9/29/20229/29/202280第三步：将第三步：将 利用施密特方法正交利用施密特方法正交化，得化，得 （）第四步：再将第四步：再将 单位化，单位化，得到得到 （）9/29/2022 9/29/20229/29/202281第五步：将正交化、单位化后的

40、第五步：将正交化、单位化后的n个标准正交特个标准正交特征向量按列排成正交矩阵征向量按列排成正交矩阵P，即，即 9/29/2022 9/29/20229/29/202282例例10 设设 ，求正交矩阵，使得，求正交矩阵，使得A成为对角阵成为对角阵 解：解：A的特征多项式为的特征多项式为 9/29/2022 9/29/20229/29/202283故故A的特征值为的特征值为 对于对于 而言，而言，齐次线性方程组齐次线性方程组 的基础解系为的基础解系为正交化得：正交化得：9/29/2022 9/29/20229/29/202284单位化得：单位化得：对于对于 而言，而言，齐次线性方程组齐次线性方程组

41、 的基础解系为的基础解系为 只需单位化只需单位化 9/29/2022 9/29/20229/29/202285令令 （正交矩阵）（正交矩阵）则则 9/29/2022 9/29/20229/29/202286例例11 设三阶实对称阵设三阶实对称阵A的特征值为的特征值为 （二重），且（二重），且A的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量是是 ，（1）求）求A的属于特征值的属于特征值 的特征向量；的特征向量；（2）求矩阵）求矩阵A解：（解：（1）设）设A的属于特征值的属于特征值 的特征向的特征向量为量为 9/29/2022 9/29/20229/29/202287由于不同特征值对应的特征向量必

42、定正交，故有由于不同特征值对应的特征向量必定正交，故有 得属于得属于 的两个线性无关的特征向量的两个线性无关的特征向量 正交化得：正交化得：9/29/2022 9/29/20229/29/202288单位化得单位化得 再将再将 单位化得：单位化得：9/29/2022 9/29/20229/29/202289则则 9/29/2022 9/29/20229/29/202290 9/29/2022 9/29/20229/29/202291例例12 设设A,B是两个是两个n阶实对称阵，则存在正交矩阶实对称阵，则存在正交矩阵阵P，使得，使得 的充要条件是：的充要条件是：A与与B有完有完全相同的特征值。全

43、相同的特征值。证明：充分性证明：充分性设设A与与B有完全相同的特征值有完全相同的特征值 ，则存在正交矩阵则存在正交矩阵 与与 ，使得，使得 9/29/2022 9/29/20229/29/202292 9/29/2022 9/29/20229/29/202293令令 ，P为正交阵为正交阵 9/29/2022 9/29/20229/29/202294必要性必要性 若存在正交矩阵若存在正交矩阵P，使得，使得 ，则则A与与B相似，相似，从而从而A与与B有完全相同的特征值。有完全相同的特征值。9/29/2022 9/29/20229/29/202295由上面的讨论可知，并非所有方阵都能与对由上面的讨论

44、可知，并非所有方阵都能与对角阵相似，例如，例角阵相似，例如，例5.75.7中的中的A就不能对角化。就不能对角化。如果如果A不能与对角阵相似，那么不能与对角阵相似，那么A能否与一类能否与一类较简单的准对角阵相似呢？回答是肯定的，较简单的准对角阵相似呢？回答是肯定的，下面介绍的若当（下面介绍的若当（Jordan）标准形就是一类较）标准形就是一类较简单的准对角阵。简单的准对角阵。5.5 5.5 若当（若当（JordanJordan）标准形简介）标准形简介 9/29/2022 9/29/20229/29/202296定义定义5.4 5.4 形如形如（为复数）为复数）的的m阶方阵，称为一个阶方阵，称为一

45、个m阶的若当块，阶的若当块，一阶若当块就是一阶矩阵一阶若当块就是一阶矩阵 9/29/2022 9/29/20229/29/202297若若 都是若当块，则称准对角矩阵都是若当块，则称准对角矩阵为一个若当矩阵为一个若当矩阵 9/29/2022 9/29/20229/29/202298例如例如就是一个若当矩阵就是一个若当矩阵 9/29/2022 9/29/20229/29/202299定理定理5.11 5.11 任意一个任意一个n阶复方阵阶复方阵A总能够与一个若总能够与一个若当矩阵当矩阵 相似，其中相似，其中 是是A的的 重特征值重特征值（）9/29/2022 9/29/20229/29/2022100在例在例6 中中,，A不能对角化不能对角化 但但A可以与若当矩阵可以与若当矩阵 相似，其中相似，其中 9/29/2022 9/29/20229/29/2022101事实上，取事实上，取 ，则，则P可逆，且可逆，且关于若当矩阵与的特征值的关系、若当矩阵的结关于若当矩阵与的特征值的关系、若当矩阵的结构、可逆的如何求出等问题在这里不深入讨论构、可逆的如何求出等问题在这里不深入讨论.9/29/2022 9/29/20229/29/2022102