数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5).ppt

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1、 1.1.验证第一个命题成立验证第一个命题成立(即即nn0 0第一个命题对应的第一个命题对应的n的值，如的值，如n0 01)1)(归纳奠基）归纳奠基）；2.2.假设当假设当n=k时命题成立，证明当时命题成立，证明当n=k1 1时命题也时命题也成立成立(归纳递推）归纳递推）.数学归纳法数学归纳法:关于正整数关于正整数n的命题的命题(相当于多米诺骨牌相当于多米诺骨牌),),我们可以我们可以采用下面方法来证明其正确性：采用下面方法来证明其正确性：由由(1)(1)、(2)(2)知，对于一切知，对于一切nn0 0的自然数的自然数n都成立！都成立！用上假设，递推才真用上假设，递推才真注意注意:递推基础不可

2、少递推基础不可少,归纳假设要用到归纳假设要用到,结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉.答案答案证明贝努利不等式你有第二种方法吗？证明贝努利不等式你有第二种方法吗？例例4、已知、已知x 1，且，且x 0，n N*，n2求证：求证：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k(k2)时，不等式成立，即时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x 1，所以，所以1+x0，于是，于是左边左边=(1+x)k+1证明证明:(1)当当n=2时，左时，左(1x)2=1+2x+x2 x 0，1+2x+x21+2x=右右,n=2时不等式成立时不等式成立 =(1+x)k(1+x)(1+x)(1+k

3、x)=1+(k+1)x+kx2；右边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边右边，即，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.1答案答案2答案答案你能根据上面不等式推出均值不等式吗？你能根据上面不等式推出均值不等式吗？1.求证求证:证证:(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=,由于由于 故不等式成立故不等式成立.(2)假设假设n=k()时命题成立时命题成立,即即 则当则当n=k+1时时,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立.1.求证求证: