常微分方程 线性方程组的基本理论优秀课件.ppt

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1、常微分方程 线性方程组的基本理论1第1页，本讲稿共29页一、线性齐次方程组解的结构 证明:Th4.5 设 是齐次线性方程组的解,则它们的线性组合也是齐解。是齐次线性方程组的解.2第2页，本讲稿共29页线性相关及线性无关则称此组函数向量在 上线性相关,否则称为线性无关.有成立，设 为 上的函数向量,若有一组不全为零的数?3第3页，本讲稿共29页例4.3.1 证明在任何区间I上都是线性相关的.证明:取则故在I上是线性相关的.4第4页，本讲稿共29页例4.3.2 证明 在 上线性无关.只需证明:要使 成立,线性无关.5第5页，本讲稿共29页朗斯基判别准则:设有n个函数向量为这些函数向量组的朗斯基行列

2、式.称 6第6页，本讲稿共29页Th4.6 齐次线性方程组的解组 在线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式 由 的任意性有均线性相关.则所以证明:充分性.在 上线性相关,设7第7页，本讲稿共29页则 线性相关，必要性.若,取,有考虑 Th4.6 齐次线性方程组的解组 在 线性相关的数,使得即存在不全为零由解的叠加原理 知 是齐线性方程组的解,且由解的存在唯一性定理知,所以齐解组 线性相关.8第8页，本讲稿共29页Th4.7 设 是齐次线性方程组的任意n个解,则它们的朗斯基行列式 其中为齐次线性方程组对应的系数矩阵A(t)的对角线元素.-刘维尔公式证明:由行列式的求导法则 及 是解得证.9第9页

3、，本讲稿共29页推论4.1 齐次线性方程组的任一解组 的 在 上或恒不为零,或恒为零.在 上线性无关推论4.2 齐次线性方程组的解组 有.在 上某点 处，10第10页，本讲稿共29页Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在 个线性无关解.证明:由解的存在惟一性定理,一定存在满足初始条件在 上线性无关.因此的解11第11页，本讲稿共29页的n个线性无关解,则Th4.9（通解结构定理）设 是方程组（1）是方程组 的通解，其中 是任意常数.（2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合.12第12页，本讲稿共29页证明：（1）由解的叠加原理知（1）是方程组 的通解.是方程组 的解,故 彼此独立,所以

4、是通解.13第13页，本讲稿共29页可知 线性无关,因为 是n个线性无关解,即它们构成 n维线性空间的基,故对向量 一定 存在唯一确定的一组常数 满足（2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合.考虑叠加原理!解的唯一性!证明 设 是 任一解,并满足 14第14页，本讲稿共29页推论4.3 方程组 的线性无关解的最大个数为n.（2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合.的n个线性无关解,则Th4.9（通解结构定理）设 是方程组（1）通解15第15页，本讲稿共29页基本解组:称方程组 的n个线性无关解 为一个基本解组.基解矩阵:由基本解组组成的矩阵为基解矩阵.解矩阵:如果 矩阵的每一列都是

5、 的解,称这个矩阵为方程组的解矩阵.Th4.10 方程组 一定存在一个基解矩阵 并若 为其任一解,则.其中c是确定的n维常数向量.16第16页，本讲稿共29页Th4.11 方程组 的一个解矩阵 为基解矩阵 在 上某点 有 证明 若是 的解矩阵,则有即又因为是基解矩阵,所以17第17页，本讲稿共29页推论4.4 若 是 在 上的基解矩阵,方程组在区间 上的基解矩阵.是非奇异 常数矩阵,则 也是 现令两边关于t 求导得证明:方程组 的基解矩阵满足矩阵方程故有即是 的解矩阵,又由于C 的非奇异性,因此,也是方程组 的基解矩阵.18第18页，本讲稿共29页推论4.5 若 是 两个基解矩阵,则存在非奇异

6、常数矩阵C,使得 故是常数矩阵,且为非奇异的,即有令证明:因为 是基解矩阵,故其逆矩阵 存在,是可微矩阵,且19第19页，本讲稿共29页例4.3.3 验证是方程组的基本解矩阵,并写出其通解.是方程组的一个解.解:首先验证 是解矩阵,表示第一列,是解矩阵,通解为:是方程组的基本解组.20第20页，本讲稿共29页试证明以 为基本解组的齐次线性微分例 4.3.4 设在上线性无关,方程组具有下列形式其中,是所求的一阶微分方程组的未知函数,是 的第个元素.21第21页，本讲稿共29页方程组的基解矩阵从而证明:设所求的微分方程组为代入微分方程组22第22页，本讲稿共29页例 4.3.5 已知线性齐次微分方

7、程组的两组解为，试求该微分方程组 解:线性无关,所求方程组为 23第23页，本讲稿共29页二、非齐次线性微分方程组解的结构性质1 如果 是非齐次方程组的解,是对应的齐次线性方程组的解,则 是非齐次方程组的解 性质2 如果 是非齐次方程组的两个解,和是对应齐次方程组的解.则性质3 设的解 是方程组24第24页，本讲稿共29页Th4.11(通解结构定理)设 是方程组齐次方程组的一个基解矩阵,是非齐次方程组的某个解,则非齐次线性方程组的任一解可表示为 其中c为确定的常数列向量.证明:由性质知,是齐次方程组的解,非齐次方程组的通解?25第25页，本讲稿共29页设非齐次方程组解代入非齐次方程组得因为齐次方程组的通解从 到积分,并取是可逆的,常数变易法求解非齐次方程组的特解.26第26页，本讲稿共29页TH4.12 若 是齐次方程组的基解矩阵,则（1）向量函数是非齐次方程组的解,并满足(2)非齐次方程组的通解是-非齐次方程组的常数变易公式.方程组满足初始条件 的解?27第27页，本讲稿共29页解对应齐次方程组的基解矩阵方程组的特解:的逆矩阵例4.3.6 求方程组的通解.原方程的通解:28第28页，本讲稿共29页作业:P199 1，4，6，8(1)，929第29页，本讲稿共29页