鲁棒控制理论第二章概要课件.ppt

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1、鲁棒控制理论第二章第二章 信号和系统的范数信号和系统的范数5/16/2023n描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我们感兴趣的们感兴趣的信号的大小信号的大小来表示。来表示。n本章本章q考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）q介绍系统传递函数的范数介绍系统传递函数的范数q给出两个非常有用的表，概括了输入给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关输出范数关系。系。5/16/20232.1 信号的范数信号的范数n范数的范数的4条性质条性质q1、q2、q3、q4、考察从（-，）映射到R的信号。假定它们是连

2、续分段的，当然在t0可以是0（即该信号从t=0时刻开始）。三角不等式5/16/2023几种范数的定义几种范数的定义n1-范数范数q定义定义n2-范数范数q定义定义n-范数范数q定定义n功率信号功率信号*qu的平均功率的平均功率qpow(u)信号的时间累积量信号的时间累积量信号所携的总能量信号所携的总能量信号的最大幅值信号的最大幅值5/16/2023范数之间的关系范数之间的关系问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？n*如果如果 ，那么，那么 u是一功率信号，且是一功率信号，且n证明：假定证明：假定u的的2-范数有限，则范数有限，则当当 ，上面的不

3、等式右边趋于，上面的不等式右边趋于05/16/2023n*如果如果 u是一功率信号且是一功率信号且 ，那么，那么n证明：因证明：因成立，令成立，令 ，得到所求。，得到所求。5/16/2023n如果如果 ，且，且 ，那么，那么因而有因而有n证明：证明：5/16/2023集合包含关系集合包含关系(Venn图图)pow215/16/2023n例例1q它的它的1-范数有限：范数有限：q它的它的2-范数无限，因为范数无限，因为 1/t 的积分在区间的积分在区间 0,1 是是发散的发散的q同理，也不是功率信号同理，也不是功率信号q又因又因 u1 是无界的，是无界的，因此因此|u1|是无限的是无限的11u1

4、(t)t215/16/2023n例例2n它的它的1-范数存在范数存在n它的它的2-范数存在范数存在n它的它的-范数不存在范数不存在11u2(t)t215/16/2023n例例3n它的它的1-范数不存在范数不存在n它的它的2-范数不存在范数不存在n它的它的-范数存在范数存在t01215/16/20232.2 系统的范数系统的范数n考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模型型n令令 表示传递函数，即表示传递函数，即G的的Laplace变换。变换。n系统的性质：系统的性质：q因果性因果性(Causal):现在系统的输出现在系统的输出y由过去

5、的输入决定的由过去的输入决定的 t0）解析，或在Re s0无极点n正则的正则的 Proper如果 是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次）n严格正则的严格正则的 Strictly Proper如果 （分母的阶次大于分子的阶次）n双正则的双正则的 Bi-proper如果 和 两个都是正则的（分母阶次等于分子介词）5/16/2023nParseval定理定理设设 ，记，记则则n传递函数的范数传递函数的范数n1-范范数数传递函数传递函数 的范数的范数5/16/2023n2-范数范数 n-范数范数注意：注意：如果 是稳定的，由Parseval定理，n等于复平面的原点到 的Nyquist图的最远点的距离

6、，也是 的Bode幅频特性图的峰值。n是次可乘的5/16/2023传递函数范数的存在性传递函数范数的存在性问题：什么时候这两个范数是有限的？问题：什么时候这两个范数是有限的？n引理引理1：q 的2-范数是有限的，当且仅当 是严格正则的，且无极点在虚轴上；q 的-范数是有限的，当且仅当 是正则的，且无极点在虚轴上。5/16/2023n证明明：假定 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分小的正数T，的Bode图必定高于 的Bode图，即但 的2-范数有限，且其2-范数等于 ，因此 有有限的2-范数。其余的证明与此类似。看看更详细证明看看

7、更详细证明下一部分内容下一部分内容5/16/2023引理引理1的更详细证明的更详细证明关于2-范数n充分性充分性：若 严格正则，且无极点在虚轴上，则若取令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有充分性得证。充分性得证。5/16/2023n必要性必要性：（反证法）q若 存在虚轴上的极点，则在极点处则q若 不是严格正则，则n若 是双正则的，n若 不是正则的，必要性得证。关于-范数，类似可得证。5/16/2023如何计算如何计算2-范数范数n 按定义n 假设 是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它的2-范数有限），有最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。因为 是严格正则

8、的，故沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，根据留数定理，等于等于 在它的左在它的左半平面极点上的留数的和。半平面极点上的留数的和。5/16/2023n例例4已知已知 在左半平面的极点是在左半平面的极点是在这一极点上的留数等于在这一极点上的留数等于因此因此5/16/2023如何计算如何计算-范数范数n计算-范数需要搜索。设一系列稠密的频率点 的估计值为n另一方法是通过解方程找到 的最大值的位置。因为 是有理的，这个导数可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。5/16/2023n例例5考察考察观察其观察其Bode幅频特性图：幅频特性图：当当 ，它是递增的（高通），它是递增的（高通），反

9、之，它是递减的（低通）。反之，它是递减的（低通）。于是于是5/16/20232.3 输入输入-输出关系输出关系n问题：如果我们知道输入信号的大小，那么输出会是多大？n考察一个线性系统，输入为 ，输出为 ，传递函数为 ，假定它是稳定的和严格正则的。n结果概括在表2.1和表2.2中5/16/2023表表2.1 对两种输入的输出范数和对两种输入的输出范数和pow5/16/2023表表2.2系统增益系统增益5/16/2023两表的典型应用及意义两表的典型应用及意义假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的影响是相当小的。令G是从u到y的脉

10、冲响应。我们总是要求被控系统是稳定的，因而传递函数 是稳定的。通常情况下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我这两个表告诉我们在各种意义下们在各种意义下u对对y的影响有多大。的影响有多大。例如，如果u是一个固定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。5/16/2023n定理：定理：设 稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在的u，有(1)(2)n证明：证明：(1)由 ，且 (Parseval定理)，有即表表2.2的（的（1，1）项）项表表2.2的（的（1，2）项）项5/16/2023n下面证明 是最小上界选择 ，使不失一般性，设 。选择 ，满足则当充分小的正数，使得5/16/2023n证明：证明：(2)由或Cauchy-Schwarz不等式不等式Parseval定理定理5/16/2023n下面证明 是最小上界选择则有则 所以5/16/2023