勾股定理的证明最全证明.pdf

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1、勾股定理的证明勾股定理的证明【证法证法 1 1】（课本的证明课本的证明）a ab bb ba aa aa ac ca aa ac cb bc ca ab bb bc cc cb bb bb bc ca aa aa ab bb b做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a+b，所以面积相等.即11a2b2 4ab c2 4ab22222，整理得a b c.【证法证法 2 2】（邹元治证明邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的

2、直角三角形，则每个直角三1ab2角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.Rt HAE Rt EBF,C CG GD Da ab b AHE=BEF.AEH+AHE=90,a ab bc c AEH+BEF=90.c cH H HEF=18090=90.F F 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的c c正方形.它的面积等于 c2.c ca ab b Rt GDH Rt HAE,HGD=EHA.a aB Bb bA AE E HGD+GHD=90,EHA+GHD=90.又 GHE=90,DHA

3、=90+90=180.ABCD 是一个边长为 a+b 的正方形，它的面积等于a b.a b2 41ab c22222.a b c.2【证法证法 3 3】（赵爽证明赵爽证明）以 a、b 为直角边（ba），以 c 为斜D D边作四个全等的直角三角形，则每个直角b bc c1abF FG G三角形的面积等于2.把这四个直角三a a角形拼成如图所示形状.A AH HE E Rt DAH Rt ABE,HDA=EAB.HAD+HAD=90，EAB+HAD=90，B B2 ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c.EF=FG=GH=HE=ba,HEF=90.EFGH 是一个边长为 ba 的正

4、方形，它的面积等于b a.124ab b a c22.2C C222a b c.【证法证法 4 4】（18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明证明）以 a、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三1ab角形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、BC C三点在一条直线上.D D Rt EAD Rt CBE,ADE=BEC.c cb bc c AED+ADE=90,a a AED+BEC=90.DEC=18090=90.a ab bA AB BE E DEC 是一个等腰直角三角形，12c它的面积等于2.又 DAE=

5、90,EBC=90,ADBC.1a b2 ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2.1a b2 21ab 1c222.2222a b c.【证法证法 5 5】（梅文鼎证明梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F 在一条直线上.过 C 作AC 的延长线交 DF 于点 P.D、E、F 在一条直线上,且 Rt GEF Rt EBD,EGF=BED，EGF+GEF=90，F F BED+GEF=90，BEG=18090=90.b ba a又 AB=BE=EG=GA=c，E Ec c ABEG 是一个边长为 c 的

6、正方形.G GP P ABC+CBE=90.Rt ABC Rt EBD,b bb b ABC=EBD.C Cc cc c EBD+CBE=90.D DH Ha aa ab b即CBD=90.a a又 BDE=90，BCP=90，c cB BA ABC=BD=a.BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则1a2b2 S 2ab,21c2 S 2ab2,222a b c.【证法证法 6 6】（项明达证明项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把

7、它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上.E E过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.b ba a过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为 N.c cA AF F BCA=90，QPBC，P P MPC=90，b b BMPQ，MMc cc c BMP=90，C CN N BCPM 是一个矩形，即MBC=90.a a QBM+MBA=QBA=90，c cABC+MBA=MBC=90，Q QB B QBM=ABC，又 BMP=90，BCA=90，BQ=BA=c，Rt BMQ Rt BCA.同理可证 Rt QNF Rt AEF.从而将问题转化为【证法

8、 4】（梅文鼎证明）.【证法证法 7 7】（欧几里得证明欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结G GBF、CD.过 C 作 CLDE，H H交 AB 于点 M，交 DE 于点L.K Ka a AF=AC，AB=AD，C CFAB=GAD，F Fb b FAB GAD，b ba a12MMaB BA A FAB的面积等于2，GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半，c c2 矩形 ADLM 的面积=a.同理可证，矩形 MLEB 的面积=b.正方形 ADEB 的面积D DL L=矩形 ADLM 的面积+矩形 MLEB

9、 的面积222222c a b，即a b c.2c cE E【证法证法 8 8】（利用相似三角形性质证明利用相似三角形性质证明）如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.在 ADC 和 ACB 中，C C ADC=ACB=90，CAD=BAC，b ba a ADC ACB.ADAC=AC AB，2c cA AD D即AC AD AB.B B2同理可证，CDB ACB，从而有BC BD AB.222222AC BC AD DB AB AB，即a b c.【证法证法 9 9】（杨作玫证明杨作玫证明）做两个全等的

10、直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过 A作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R.过 B 作 BPAF，垂足为 P.过D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H.BAD=90，PAC=90，DAH=BAC.又 DHA=90，BCA=90，D DG Ga aAD=AB=c，c c Rt DHA Rt BCA.1 1b b9 92 2 DH=BC=a，AH=AC=b.c c由作法可知，PBCA 是一个矩形，A AF F8 8 R RH HP P所以 Rt

11、APB Rt BCA.即 PB=CA=b，AP=a，从而 PH=ba.T T4 45 53 36 6 Rt DGT Rt BCA,b bc cc cRt DHA Rt BCA.Q Q Rt DGT Rt DHA.7 7a aC CE EB B DH=DG=a，GDT=HDA.又 DGT=90，DHF=90，GDH=GDT+TDH=HDA+TDH=90，DGFH 是一个边长为 a 的正方形.GF=FH=a.TFAF，TF=GTGF=ba.TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP=b，高 FP=a+（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为c2 S1 S

12、2 S3 S4 S5S8 S3 S41b b aa b ab21ab22，=S5 S8 S9，1S3 S4 b2ab S8b2 S S18.2=把代入，得c2 S1 S2 b2 S1 S8 S8 S9222=b S2 S9=b a.222a b c.【证法证法 1010】（李锐证明李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c.做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.TBE=ABH=90，B Bb bT T TBH=ABE.2 2 C CR R8 8D D又 BTH=BEA=90，

13、6 6BT=BE=b，a a1 13 3 Rt HBT Rt ABE.H HMM HT=AE=a.7 7G GF FA AE E GH=GTHT=ba.4 45 5又 GHF+BHT=90，c cDBC+BHT=TBH+BHT=90，GHF=DBC.Q Q DB=EBED=ba，HGF=BDC=90，Rt HGF Rt BDC.即S7 S2.过 Q 作 QMAG，垂足是 M.由BAQ=BEA=90，可知 ABE=QAM，而 AB=AQ=c，所以 Rt ABE Rt QAM.又 Rt HBT Rt ABE.所以 Rt HBT Rt QAM.即S8 S5.由 Rt ABE Rt QAM，又得 QM

14、=AE=a，AQM=BAE.AQM+FQM=90，BAE+CAR=90，AQM=BAE，FQM=CAR.又QMF=ARC=90，QM=AR=a，Rt QMF Rt ARC.即S4 S6.222c S1 S2 S3 S4 S5，a S1 S6，b S3 S7 S8，又S7 S2，S8 S5，S4 S6，22a b S1 S6 S3 S7 S8=S1 S4 S3 S2 S52=c，222即a b c.【证法证法 1111】（利用切割线定理证明利用切割线定理证明）在 Rt ABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边 AB=c.如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别

15、于 D、E，则 BD=BE=BC=a.因为BCA=90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线.由切割线定理，得AC2 AE AD=AB BEAB BDC C=c ac ab b22a ac a=，c c222即b c a，a aa aE ED DB BA A222a b c.【证法证法 1212】（利用多列米定理证明利用多列米定理证明）在 Rt ABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边 AB=c（如图）.过点 A作 ADCB，过点B 作 BDCA，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDC ADBC ACB

16、D，AB=DC=c，AD=BC=a，b bB BD DAC=BD=b，222222AB BC AC，即c a b，a aa a222c cc ca b c.【证法证法 1313】（作直角三角形的内切圆证明作直角三角形的内切圆证明）A Ab bC C在 Rt ABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边AB=c.作 Rt ABC 的内切圆O，切点分别为 D、E、F（如图），设O 的半径为 r.AE=AF，BF=BD，CD=CE，AC BC AB AE CEBDCDAF BF=CE CD=r+r=2r,即a bc 2r，a b 2r c.22a b 2r c，A Ac cF Fb b即a b 2

17、ab 4r rc c，1SABCab2，2ab 4SABC，2222B Br rr rE EO Or ra aD DC C又SABC SAOB SBOC SAOC12r c cr22=r rc，1111a b crcr ar br2222=4r24 r rc 4SABC，2 rc 2ab，222222a b 2ab 2ab c，a b c.【证法证法 1414】（利用反证法证明利用反证法证明）如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.222222假设a b c，即假设AC BC AB，则由AB2 AB AB

18、=ABAD BD=AB AD AB BD22可知AC AB AD，或者BC AB BD.即 AD：ACAC：AB，或者BD：BCBC：AB.在 ADC 和 ACB 中，A=A，C C 若 AD：ACAC：AB，则ADCACB.b ba a在 CDB 和 ACB 中，B=B，c c 若 BD：BCBC：AB，则A AB BD DCDBACB.又 ACB=90，ADC90，CDB90.222这与作法 CDAB 矛盾.所以，AC BC AB的假设不能成立.222a b c.【证法证法 1515】（辛卜松证明辛卜松证明）a ab bA Ab bababa aa2D Da aA Ab b1ab2a ac

19、 cc cc2b2a aD D1ab2b bc cb b11a aabab22B Ba aC Ca ab bB BC Cb b设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c.作边长是 a+b 的正方形 ABCD.把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形2a bABCD 的面积为ababb bc c a2 b2 2ab；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为222a b 2ab 2ab c,222a b c.a b2 41ab c22=2ab c.2【证法证法 1616】（陈杰证明陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（

20、ba），斜边的长为 c.做两个边长分别为 a、b 的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.B B在 EH=b 上截取 ED=a，连结 DA、DC，则 AD=c.c c EM=EH+HM=b+a,ED=a，5 54 4c cba DM=EMED=a=b.b bF FA A又 CMD=90，CM=a，a aC CG GAED=90，AE=b，2 23 3c c Rt AED Rt DMC.b ba aa ac c1 1 EAD=MDC，DC=AD=c.7 7 ADE+ADC+MDC=180，6 6E Eb bD DH Ha aMMAD

21、E+MDC=ADE+EAD=90，ADC=90.作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形.BAF+FAD=DAE+FAD=90，BAF=DAE.连结 FB，在 ABF 和 ADE 中，AB=AD=c，AE=AF=b，BAF=DAE，ABF ADE.AFB=AED=90，BF=DE=a.点 B、F、G、H 在一条直线上.在 Rt ABF 和 Rt BCG 中，AB=BC=c，BF=CG=a，Rt ABF Rt BCG.222c S S S Sb S S Sa2345126，S3 S7，S1 S5 S4 S6 S7，22a b S3 S7 S1 S2 S6=S2 S3 S1S6 S7=S2 S3 S4 S5=c222a b c.2