三角函数与解三角形（经典实用）.pdf

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1、三角函数和解三角形三角函数和解三角形【知识导读】【方法点拨】正弦定理与余弦定理任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制三角函数的图象和性质任意角的三角函数差 角公 式几个三角恒等式和 角公 式倍 角公 式诱 导公 式同角三角函数关系解斜三角形及其应用化简、计算、求值与证明三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法“三角法”这一部分的内容，具有以下几个特点：1公式繁杂公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2 2思想丰富思想丰富.化归、

2、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3 3变换灵活变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4 4应用广泛应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学

3、及其它各门科学技术都有广泛的应用.第第 1 1 课课 三角函数的概念三角函数的概念【考点导读】11 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合S k 360,k Z；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1 弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式l r及扇形的面积公式Slr（l为弧长）解决问题.122 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点P(x,y)（不同于坐标原点），设OP r（r 定义为：sin

4、，则的三个三角函数值x2 y2 0）yxy,cos,tanrrx从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为 R；正切函数的定义域为|R,k2,kZ3 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）另外，熟记0、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.64324 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线

5、和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题基础自测1885化成2k(0 2,kZ)的形式是2已知为第三象限角，则所在的象限是23已知角的终边过点P(5,12)，则cos=，tan=4tan(3)sin 5的符号为cos85已知角的终边上一点P(a,1)（a 0），且tan a，求sin，cos的值【范例解析】例 1.（1）已知角的终边经过一点P(4a,3a)(a 0)，求2sincos的值；（2）已知角的终边在一条直线y 3x上，求sin，tan的值2例 2.（1）若sincos 0，则在第_象限（2）若角是第二象限角，则sin2，cos2，sin例 3.一扇形的周长为20cm，当扇形的

6、圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值2，cos2，tan2中能确定是正值的有_个作业作业1若sin cos且sincos 0则在第_象限2已知 6，则点A(sin,tan)在第_象限3已知角是第二象限，且P(m,5)为其终边上一点，若cos2m，则 m 的值为_44将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为5若4 6，且与2终边相同，则=36已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2，则这个圆心角所对的弧长是_，这个圆心角所在的扇形的面积是_7（1）已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形中心角是 1 弧度，求该扇形面积（2）若扇形的面积为 8c

7、m，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小2第第 2 2 课课 同角三角函数关系及诱导公式同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用3【基础练习】1.tan600=_2.已知是第四象限角，tan 5，则sin_123.已知cos3，且，则tan_2224.sin15cos75+cos15sin105=_【范例解析】例 1.已知cos()例 2.已知是三角形的内角，若sincos8，求sin(5)，

8、tan(3)的值171，求tan 的值5作业作业1已知sin2“sin A 544,则sincos的值为_51”是“A=30”的_条件23设0 x 2,且1sin2x sin xcos x，则x的取值范围是_4已知sincos5（1）已知cos 13，且，则cos2的值是5242cos()3sin()1，且 0，求的值4cos()sin(2)32（2）已知sin(x6)15 x)sin2(x)的值，求sin(46346已知tan 4，求36sincos（I）的值；3sin2cos1（II）的值22sincoscos第第 3 3 课课 两角和与差及倍角公式（一）两角和与差及倍角公式（一）【考点导

9、读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”【基础练习】1.sin163 sin223 sin253 sin313 _2.化简2cos x6sin x _3.若 f(sinx)3cos2x，则 f(cosx)_ 4.化简：【范例解析】sinsin

10、2_ 1coscos212；例.化简：（1）2tan(x)sin2(x)442cos4x2cos2x(1sincos)(sin（2）22coscos)22(0)5作业作业2sin 2cos21化简1cos2cos2_2若sin xtanx 0，化简1cos2x _，sin cos =，sin cos=b，则a与b的大小关系是_44若sincos tan(0)，则的取值范围是_23若 05已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan=.6化简：2cos212tan()sin2()447求证：sin 2x2cos xcos2x 2cos x8化简：sinsin 2sinsincos()2222

11、2第第 4 4 课课 两角和与差及倍角公式（二）两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”【基础练习】1写出下列各式的值：（1）2sin15cos15 _；（2）cos 15sin 15 _；226（3）2sin 151_；2已知(2（4）sin 15cos 15 _223,),sin,则tan()=_2541tan1553求值：（1）（2）coscos_；_1tan1512124求值：tan10 tan203(tan10 tan20)_5已知tan23，则cos_6若cos221，

12、则2sin cossin_24【范例解析】例 1.求值：（1）sin 40(tan103)；（2）2sin50 sin80(13tan10)1cos10例 2.设cos()45，cos()1213，且(2,)，cos2例 3.若cos(3174 x)5，12 x 7sin2x2sin2x4，求1tan x的值7(32,2)，求cos2，作业作业3，则2cos()=_25443，tan()的值为_2已知 tan=2，则 tan 的值为_421设(0,)，若sin3若sin1 2，则cos 2=_63313,cos()，则tantan55115求值：_sin20tan404若cos()6已知cos

13、33求cos2的值,45 224第第 5 5 课课 三角函数的图像和性质（一）三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在0,2，正切函数在(,)上的性质；2 22.了解函数y Asin(x)的实际意义，能画出y Asin(x)的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型【基础练习】1.已知简谐运动f(x)2sin(3x)(2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T _；初相_x)=1 的解集为_23.函数y Asin(x )(0,xR)的部分图象如图22.三角方程 2sin(所示

14、，则函数表达式为_第 3 题84.要得到函数y sin x的图象，只需将函数y cosx【范例解析】例 1.已知函数f(x)2sin x(sin xcosx)的图象向右平移_个单位（）用五点法画出函数在区间,上的图象，长度为一个周期；2 2（）说明f(x)2sin x(sin xcosx)的图像可由y sin x的图像经过怎样变换而得到例 2.已知正弦函数y Asin(x)(A 0,0)的图像如图所示（1）求此函数的解析式f1(x)；（2）求与f1(x)图像关于直线x 8对称的曲线的解析式f2(x)；（3）作出函数y f1(x)f2(x)的图像的简图yx=822O2x作业作业x1为了得到函数y

15、 2sin(),xR的图像，只需把函数y 2sin x，xR的图像上所有的点361向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；631向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；639个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）；6向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）6向左平移其中，正确的序号有_2为了得到函数y sin(2x 6)的图象，可以将函数y cos2x的图象向右平移_个单位长度）的最小正周期是，且f(0)3，23若函数f(x)2sin(x)，xR R（其中 0，则 _；_4在0

16、,2内，使sin x cosx成立的x取值范围为_5下列函数：y sinx6；y sin2x；6y cos4x3；y cos2x6第 5 题其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_6如图，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数y Asin(x)b（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式第 6 题7如图，函数y 2cos(x)(xR R，0，0)的图象与y轴相交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；20，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，（2）已知点A，2y3Px当y03，x0，时，求x0的值22OA第 7 题10第第 6

17、 6 课课 三角函数的图像和性质（二）三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数y sin x，y cosx，y tan x的性质，进一步学会研究形如函数y Asin(x)的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）y（2）y sinx的定义域是_；3sin2x的定义域是_cosx22函数 f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是_3函数（f x）sin（x4.函数 y=sin(2x+2的最小正周期是_）sin（x）44)的图象关于点_对称35.已知函数y tanx在（，）内是减函数，

18、则的取值范围是_22【范例解析】例 1.求下列函数的定义域：（1）y 例 2求下列函数的单调减区间：（1）y sin(sin x（2）y 2log1x tan x2sin x1；tan x232x)；（2）y 2cos x；xsin()4211例 3求下列函数的最小正周期：（1）y 5tan(2x1)；（2）y sinxsin x32作业作业1函数y sin x cos x的最小正周期为 _2设函数f(x)sinx42(xR R)，则f(x)在0,2上的单调递减区间为_33函数f(x)sin x3cos x(x,0)的单调递增区间是_4设函数f(x)sin3x|sin3x|，则f(x)的最小正

19、周期为_5函数f(x)cos x2cos22x在0,上的单调递增区间是_212cos2x46已知函数f(x)sinx2（）求f(x)的定义域；（）若角在第一象限且cos7 设函数f(x)sin(2x)(0),y f(x)图像的一条对称轴是直线x（）求；（）求函数y f(x)的单调增区间；（）画出函数y f(x)在区间0,上的图像3，求f()5812第第 7 7 课课 三角函数的值域与最值三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化

20、为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法【基础练习】1.函数y sin x 3cos x在区间0,上的最小值为212.函数f(x)cosx cos2x(xR)的最大值等于23.函数y tan(2 x)(4 x 4且x 0)的值域是_1 cos2x 8sin2x4.当0 x 时，函数f(x)的最小值为sin2x2【范例解析】例 1.（1）已知sin xsin y 12，求sin y cos x的最大值与最小值3（2）求函数y sin xcosxsin xcosx的最大值例 2.已知函数f(x)2sin2 x3cos2x

21、，x，44 2（I）求f(x)的最大值和最小值；（II）若不等式f(x)m 2在x，上恒成立，求实数m的取值范围4 2 13【反馈演练】1函数y 2sin(x)cos(x)(xR)的最小值等于_36cos2x2当0 x 时，函数f(x)的最小值是_ _2cosxsin xsin x43函数y sin x的最大值为_，最小值为_.cosx24函数y cosxtan x的值域为 .5已知函数f(x)2sinx(0)在区间,上的最小值是2，则的最小值等于_3 46已知函数f(x)2cos x(sin xcosx)1，xR R（）求函数f(x)的最小正周期；（）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值

22、84 3第第课课 解三角形解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化【基础练习】1在ABC 中，已知 BC12，A60，B45，则 AC.2在ABC中，若sin A:sin B:sin C 5:7:8，则B的大小是_.3在ABC中，若tan A1，C 150，BC 1，则AB 314【范例解析】例1.在ABC 中，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，已知ac 20，C 2A，cos A（1）求例 2.在三角形 ABC 中，已知(a b)sin(

23、A B)(a b)sin(A B)，试判断该三角形的形状例 3.如图，D 是直角ABC 斜边 BC 上一点，AB=AD，记CAD=，ABC=.（1）证明：sincos2 0；（2）若 AC=3DC，求B例 4DCA222234c的值；（2）求b的值a15作业作业1在ABC中，AB 3,A 450,C 750,则 BC=_22B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且c 2a，则cosB _ABC的内角A，3在ABC中，若2a bc，sin A sin BsinC，则ABC的形状是_三角形2，则sin AcosA=345在ABC中，已知AC 2，BC 3，cos A 54若

24、ABC的内角A满足sin2A（）求sin B的值；（）求sin2B6在ABC中，已知内角A的值6，边BC 2 3设内角B x，周长为y（1）求函数y f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值7在ABC中，tan A13，tanB 45（）求角C的大小；（）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长16第第 9 9 课课 解三角形的应用解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力【基础练习】1在 200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯

25、角分别为30，60，则塔高为_m2某人朝正东方向走 x km 后，向右转 150，然后朝新方向走 3km，结果他离出发点恰好3km，那么x 的值为_km3一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔 B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km4如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B，D，已知ABD为边长等于a的正三角形，当目标出现于 C 时，测得BDC 45，CBD 75，求炮击目标的距离AC【范例解析】例.如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的

26、北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航北行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解A第 4 题DBC120B2A2B1乙105A1甲例 1（1）17作业作业1江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m2有一长为 1km 的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长_km3某船上的人开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行 45 海里

27、后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是_海里4把一根长为 30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且ABC 120，则第三条边AC的最小值是_cm5设y f(t)是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数，其中0 t 24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：ty012315.1612.199.11211.91514.91811.9218.92412.1经长期观察，函数y f(t)的图象可以近似地看成函数y k Asin(t)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）Ay 123sinCy 123sin6t,t 0,24t,t 0,24By 123sin(6t),t 0,2412Dy 123sin(t),t0,2412218