【高中数学选修2-2】1.3.2函数的极值与导数.ppt

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1、1.3.2 函数的极值与导数5/18/2023函数单调性与导数的关系?设函数y=f(x)在某个开区间内 如果f(x)0，则f(x)在这个区间内为增函数；如果f(x)0，则f(x)在这个区间内为减函数；如果f(x)=0，则f(x)在这个区间内为常数函数；复习:切记：如果函数f(x)在指定区间单调增，则 f(x)0如果函数f(x)在指定区间单调减，则 f(x)0 5/18/2023 yx Oa by=f(x)x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)函数 y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右临近各点处的函数

2、值大小有什么关系?观察图象，问题探究：5/18/2023一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的x0称为极值点说 明：1、在 定 义 中，取 得 极 值 的 x0称 为 极 值 点，极 值 点 是 自 变 量(x)的 值，极值指的是函数值(y)。5/18/2023一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值

3、，记作y极小值=f(x0)；函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点2、极值反映了的函数在某一点附近的大小情况，是函数的局部性质.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。即:极大值不一定等于最大值,极小值不一定等于最小值.极大（小）值不一定比极小（大）值大（小）.5/18/2023一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x

4、0称为极值点3、函数的极值不唯一，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不只一个。5/18/2023 yx O观察与思考：极值与导数有何关系？在 极 值 点 处，曲 线 若 有 切 线 则 切 线 是 水 平 的，即:当切线存在时,极值点处的导数为0.a by=f(x)x1 f(x1)=0 x2 f(x2)=0 x3 f(x3)=0 注意：导数为0的点不一定是极值点,如y=x35/18/2023 f(x)0 yx O x1a by=f(x)在极大值点附近在极小值点附近 f(x)0 f(x)0 1、如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近

5、的左侧f(x)0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处的 时，则二、判断函数极值的方法x2思考：函数存在极值点的充要条件是什么？5/18/2023例1 求函数 的极值。x(-，-2）-2(-2，2）2(2，+）y+00+y 解：定义域为R，y=x2-4 由y=0 可得x=-2 或 x=2当x变化时，y,y 的变化情况如下表：因此，当x=-2 时，y极大值=28/3 当x=2 时，y极小值=4/3极大值28/3极小值-4/3 1、如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f(x)0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处的

6、 时，则5/18/2023求函数f(x)极值的步骤：(2)解方程：求方程f(x）=0 的根；(3)列表格：用(2)中求得的根，把定义域划分为若干区间，并列成表格;(4)下结论：检查f(x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+-），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（-+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)求定义域：确定函数的定义域；5/18/2023例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y 0 0 0y解：定义域为R，y=6x(x2-1)2。由y=0 可得x1=-1,x2=0，x3=1当x变化时，y,y 的变化情

7、况如下表：因此，当x=0 时，y极小值=0；没有极大值.点评：一个点是极值点,则这点两侧的导数异号。无极 值无极 值有极小值 05/18/2023例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y 0 0 0y解：定义域为R，y=6x(x2-1)2。由y=0 可得x1=-1,x2=0，x3=1当x变化时，y,y 的变化情况如下表：因此，当x=0 时，y极小值=0；没有极大值.无极 值无极 值有极小值 0练习：求下列函数的极值(1)y=x3-27x(2)y=6+12x-x35/18/2023小结1.函数极值的定义2.判断函数极值的方法3.求函数极值的步骤5/18/2023思考：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1 时取得极大值7；当x=3 时取得极小值，求这个极小值及a、b、c 的值。5/18/2023