【数学】2.5.2-离散型随机变量的方差与标准差.ppt

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1、 第2章 概 率2.5.2 离散型随机变量的方差与 标准差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为 则称则称 E(X)E(X)x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xn np pn n为为X X的的均值均值或或数学数学期望期望，记为，记为E(X)E(X)或或Xx1x2xnPp1p2pn其中其中p pi i00，i i1,2,1,2,n,n；p p1 1p p2 2p pn n1 1离散型随机变量的均值的定义离散型随机变量的均值的定义复习复习离散型随机变量的方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分

2、布如下表，的概率分布如下表，(其中其中pi0，i1,2,n；p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn 设设E(X)，则，则(xi)2描述了描述了xi(i=1,2,.,n)相对相对于均值于均值的偏离程度，故的偏离程度，故(x1)2 p1(x2)2 p2.(xn)2pn称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方差方差，记为，记为V(X)或或2离散型随机变量离散型随机变量X的的标准差标准差：甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产生产100100件产品所出的不合格品数分别用件产品所出的不合格品数分别用X X1 1，X X2 2表示，表

3、示，X X1 1，X X2 2的概率分布下的概率分布下：X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1探讨探讨E(XE(X1 1)0 00.60.61 10.20.22 20.10.13 30.10.10.70.7E(XE(X2 2)0 00.50.51 10.30.32 20.20.23 30 00.70.7由于由于E(XE(X1 1)=E(X)=E(X2 2)，即甲工人生产出废品数的均值与乙，即甲工人生产出废品数的均值与乙工人生产出废品数的均值相等工人生产出废品数的均值相等，从这个意义上讲，看，从这个

4、意义上讲，看不出甲的技术和乙的技术谁的好。不出甲的技术和乙的技术谁的好。看来分不出哪个技术看来分不出哪个技术好了，谁能帮我？好了，谁能帮我？分析分析V(XV(X1 1)0.60.6(0-0.7)(0-0.7)2 20.20.2(1-0.7)(1-0.7)2 20.10.1(2-0.7)(2-0.7)2 20.10.1(3-0.7)(3-0.7)2 21.011.01V(XV(X2 2)0.50.5(0-0.7)(0-0.7)2 20.30.3(1-0.7)(1-0.7)2 20.20.2(2-0.7)(2-0.7)2 20 0(3-0.7)(3-0.7)2 20.610.61乙的技术稳定性较好

5、乙的技术稳定性较好现在可以分出谁的技术好了现在可以分出谁的技术好了X01P1 pp解解 因为因为E(X)E(X)0 0(1p)1pp，所以，所以方差方差V(X)(0p)2(1p)(1p)2p p(1p)标准差标准差例例1 1 已知随机变量已知随机变量X X的分布如下表所示，求方差和的分布如下表所示，求方差和标准差标准差.练习练习1 1 设设X X是一个离散型随机变量，其分布列如下：是一个离散型随机变量，其分布列如下：求求q q值，并求值，并求E XE X，V X.V X.X-101P1/21-2qq2解：解：【分分析析】本本题题考考查查方方差差的的求求法法可可由由分分布布列列先先求求出出X的的

6、期期望望E(X)，再再利利用用方方差差定定义义求求之之也也可可直直接接利利用用公公式式V(X)E(X2)(E(X)2来来解解例例2 2练习练习2 2已知随机已知随机变变量量X的概率分布表的概率分布表为为：求求V(X)解解：法法一一：E(X)0.100.1510.2520.2530.1540.152.5，V(X)(02.5)20.1(12.5)20.15(22.5)20.25(32.5)20.25(42.5)20.15(52.5)20.10.6250.33750.06250.06250.33750.6252.05.X012345P0.10.15 0.25 0.25 0.150.11求随机求随机变

7、变量量的均的均值值、方差的一般步、方差的一般步骤骤(1)写写出出的的分分布布列列在在求求取取每每一一个个值值的的概概率率时时，要要联联系系概概率率的的有有关关知知识识如如分分布布列列，在在求求取取每每一一个个值值的的概概率率时时，要要联联系系概概率率的的有有关关知知识识如如古古典典概概型型、互斥事件的概率、独立事件的概率等互斥事件的概率、独立事件的概率等(2)由分布列求由分布列求E()，进进而求出而求出V()小结小结2期望期望(均均值值)仅仅体体现现了随机了随机变变量取量取值值的平均水平的平均水平当我当我们们希望希望实际实际的平均水平比的平均水平比较较理想理想时时，则则先求它先求它们们的均的均值值，但不要，但不要误认为误认为均均值值相等相等时时，它，它们们都一都一样样好，好，这时这时，还应还应看它看它们们相相对对于均于均值值的偏离程度，也的偏离程度，也就是看哪一个相就是看哪一个相对稳对稳定定(即即计计算方差的大小算方差的大小)，稳稳定定者就更好如果我者就更好如果我们们希望比希望比较稳较稳定定时时，这时应这时应先考先考虑虑方差，再考方差，再考虑虑均均值值是否接近即可是否接近即可