2023年师：高中数学圆锥曲线所有知识点总结归纳全面汇总归纳、图表全面汇总归纳、圆锥曲线基础练习及超详细解析答案.pdf

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1、学习必备 精品知识点 高中数学第八章-圆锥曲线方程 08.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF 椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在 x 轴上：)0(12222babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.一般方程：)0,0(122 BAByAx.椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长a

2、2，短轴长b2.焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.焦距：2221,2baccFF.准线：cax2或cay2.离心率：)10(eace.焦点半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为

3、椭圆.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc 共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，)0ba的离心率也是ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）.若是双曲线，则面积为2cot2b.二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaP

4、FPFFFaPFPFFFaPFPF 0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPFasinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆学习必备 精品知识点 双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.i.焦点在 x 轴上：顶点：)0,(),0,(aa 焦点：)0,(),0,(cc 准线方程cax2 渐近线方程：0byax或02222byax ii.焦点在y轴上：顶点：),0(),0(aa.焦点：),0(),0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tans

5、ecbyax或sectanaybx.轴yx,为对称轴，实轴长为 2a,虚轴长为 2b，焦距 2c.离心率ace.准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.参数关系acebac,222.焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201 构成满足aMFMF221 aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201 等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭

6、双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近

7、线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线12222byax，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m=n，则 P 到两准线的距离比为 mn.yxMMF1F2yxMMF1F2yxF1F21234533方程的参

8、数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 简证：ePFePFdd2121 =nm.常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.三、抛物线方程.3.设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,y

9、Rx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0）离心率 1e 焦点 12xpPF 12xpPF 12ypPF 12ypPF 注：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义.4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,

10、0时）.5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可.方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1 到两定点 F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F

11、1F2|)的点的轨迹 2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形 方 程 标准方程 12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)y2=2px 参数方程 为离心角）参数(sincosbyax 为离心角）参数(tansecbyax ptyptx222(t 为参数)范围 a x a，b y b|x|a，y R x 0 中心 原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长

12、2b.x 轴 焦点 F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF 焦距 2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eace e=1 准线 x=ca2 x=ca2 2px 渐近线 y=abx 焦半径 exar)(aexr 2pxr 通径 ab22 ab22 2p 焦参数 ca2 ca2 P 1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线 3.共轭双曲线 5.方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意

13、椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 6.共渐近线的双曲线系方程.一、椭圆知识总结表格：项目 内容 第一定义 平面内与两个定点12,F F的距离之和等于常数（大于12|F F）的点的轨迹叫椭圆。第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(01)ee 的点的轨迹叫椭圆。图形 标准方程 22221()xyaboab 22221()xyaboba 何 性范围|,|xayb|,|xb ya 方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭

14、圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 顶点与长短轴的长 1212(,0),(,0),2(0,),(0,),2AaA aaBb Bbb长轴长短轴长 1212(0,),(0,),2(,0),(,0),2AaAaaBbB bb长轴长短轴长 焦点焦距 1222212(,0),(,0)|2()FcF cF Fccab其中 1222212(0,),(0,)|2()Fc FcF Fccab其中 准线方程 2axc 2ayc 焦半径 左1020,PFaexPFaex 右 下1020,PFaeyPFaey 上 焦准距 22abpccc 离心率 2(01),1cbeeeaa（e越小，椭

15、圆越近似于圆）准线间距 22adc 对称性 椭圆都是关于,x y轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 22bqa 焦点三角形 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为22ac，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算 焦点弦三角形 椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为4a。参数方程 cos(sinxayb为参数）cos(sinxbya为参数）注意：1、椭圆按向量(,)am n平移后的方程为：2222()()1xmynab或2222()()1xmynba，平移不改变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。2、弦长公式：已知直线：ykxb与曲线交于两

16、点1122(,),(,)A x yB xy，则 22212112|1|1()4ABkxxkxxx x或2121122211|1|1()4AByyyyy ykk 3、中点弦问题的方法：方程组法，代点作差法。两种方法总体都体现高而不求的数学思想。双曲线 项目 内容 第一定义 平面内与两个定点12,F F的距离之差等于常数（小于12|F F）的点的轨迹叫双曲线。第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e 的点的轨迹叫双曲线。图形 方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦

17、点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 标准方程 22221(,)xya boab 22221(,)yxa boab 几 何 性 质 范围|,xa yR,|xR ya 顶点与实虚轴的长 12(,0),(,0),22,AaA aab ab实轴长虚轴长叫等轴双曲线 12(0,),(0,),22,AaAaab ab实轴长虚轴长叫等轴双曲线 焦点焦距 1222212(,0),(,0)|2()FcF cF Fccab其中 1222212(0,),(0,)|2()Fc FcF Fccab其中 准线方程 2axc 2ayc 焦半径 当00(,)P xy在右支上时 左1020,PFexaPFex

18、a右 当00(,)P xy在左支上时 左1020(),()PFexaPFexa 右 当00(,)P xy在上支上时 下1020,PFeyaPFeya上 当00(,)P xy在下支上时 下1020(),()PFeyaPFeya 上 渐近线方程 2222(0)bxyyxaab 或 2222(0)ayxyxbab 或 焦准距 22abpccc 离心率 2(1),1cbeeeaa（e越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e 准线间距 22adc 对称性 双曲线都是关于,x y轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 22bqa 焦点三角形 双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾

19、股定理来进行相关的计算 焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。参数方程 sec(tanxayb为参数）tan(secxbya为参数）项目 内容 定义 平面内到定点F的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。图形 方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 抛物线 一、焦点弦的结论：（针对抛物线：22ypx其中0p）1122(,),(,)A x yB xy，AB为过焦点(,0)2pF的弦，则 1、焦点弦长公式：21

20、22222 cotsinpABxxppp 2、通径是焦点弦中最短的弦其长为2p 3、2124px x，212y yp，2121234OA OBx xy yp 4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 5、已知A、B在准线上的射影分别为1A、1B，则三点A、O、1B共线，同时 B、O、1A三点也共线 6、已知A、B在准线上的射影分别为1A、1B，则1190AFB 7、112|AFBFp 二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点(2,0)Pp，反之，过定点(2,0)Pp的弦所对的顶点角为直角。三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。【同步基础】

21、标准方程 22ypx(0)p 22ypx(0)p 22xpy(0)p 22xpy(0)p 几 何 性 质 范围 0,xyR 0,xyR 0,yxR 0,yxR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦准距(0)p p 顶点坐标 坐标原点（0，0）焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF (0,)2pF(0,)2pF 准线方程:2pl x :2pl x :2pl y :2pl y 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 离心率 1e 通径长 2p 焦半径 0|2pPFx 0|2pPFx 0|2pPFy 0|2pPFy 方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左

22、加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 圆锥曲线基础测试 1 已知椭圆1162522yx上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A2 B3 C5 D7 2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （）A116922yx B1162522yx C1162522yx或1251622yx D以上都不对 3动点P到点)0,1(M及点)0,3(N的距离之差为2，则点P的轨迹是 （）A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 4设双曲线的半焦距为c，两条准线间的距离为d，且

23、dc，那么双曲线的离心率e等于（）A2 B3 C2 D3 5抛物线xy102的焦点到准线的距离是 （）A25 B5 C215 D10 6若抛物线28yx上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 （）A(7,14)B(14,14)C(7,2 14)D(7,2 14)7若椭圆221xmy的离心率为32，则它的长半轴长为_.8双曲线的渐近线方程为20 xy，焦距为10，这双曲线的方程为_。9若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是 。10抛物线xy62的准线方程为 .11椭圆5522 kyx的一个焦点是)2,0(，那么k 。12k为何值时，直线2ykx和曲线22236xy有两个公共点？

24、有一个公共点？没有公共点？13在抛物线24yx上求一点，使这点到直线45yx的距离最短。14双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)FF，点(3,4)P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。15若动点(,)P x y在曲线2221(0)4xybb上变化，则22xy的最大值为多少？方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 参考答案 1D 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a 2C 22222

25、18,9,26,3,9,1ababcccabab 得5,4ab，2212516xy或1251622yx 3D 2,2PMPNMN而，P在线段MN的延长线上 4C 2222222,2,2,2acc caeeca 5B 210,5pp，而焦点到准线的距离是p 6C 点P到其焦点的距离等于点P到其准线2x 的距离，得7,2 14Ppxy 71,2或 当1m 时，221,111xyam；当01m 时，22222223111,1,4,21144yxabemmaaamm 8221205xy 设双曲线的方程为224,(0)xy，焦距2210,25cc 当0时，221,25,2044xy；当0时，221,()

26、25,2044yx 9(,4)(1,)(4)(1)0,(4)(1)0,1,4kkkkkk 或 1032x 326,3,22pppx 111 焦点在y轴上，则22251,14,151yxckkk 12解：由222236ykxxy，得2223(2)6xkx，即22(23)1260kxkx 22214424(23)7248kkk 方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若学习必备 精品知识点 当272480k，即66,33kk 或时，直线和曲线有两个公共点；

27、当272480k，即66,33kk 或时，直线和曲线有一个公共点；当272480k，即6633k 时，直线和曲线没有公共点。13解：设点2(,4)P tt，距离为d，224454451717ttttd 当12t 时，d取得最小值，此时1(,1)2P为所求的点。14解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)FF，可设椭圆方程为2222125yxaa；双曲线方程为2222125yxbb，点(3,4)P在椭圆上，2221691,4025aaa 双曲线的过点(3,4)P的渐近线为225byxb，即2243,1625bbb 所以椭圆方程为2214015yx；双曲线方程为221169yx 15解：设点(2cos,sin)Pb，22224cos2 sin4sin2 sin4xybb 令22,sin,(11)Txytt，2424,(0)Ttbtb，对称轴4bt 当1,44bb即时，max1|2tTTb；当01,044bb 即时，2max4|44btbTT 22m a x4,04(2)42,4bbxyb b 方程的参数方程为一象限应是属于顶点或轴对称轴轴轴长轴长短轴长焦出由椭圆第二定义可知归结起来为左加右减注意椭圆参数方程的推导得的椭圆系方程若是椭圆上的点为焦点若则的面积为用余弦定理与可得若