2023年微积分复习精品讲义.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第一讲 极限理论 一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素。二 求极限的各种方法 当)(xf为连续函数时,fDx 0,则有)()(lim00 xfxfxx 例 1 计算极限xxxarcsinlim22 设nm,为非负整数,0,000 ba则 mnmnbamnaxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx当当当,0lim0011101110 例 2 计算极限：4213limxxx 1679143223limxxxx 用两个重要极限求 1sinlim0 xxx（0sinlimxxx，1)()(s

2、inlim0)(xfxfxf）结论：当0 x时，xxxxxarctanarcsintansin，2cos12xx。exxx)11(lim（exxx10)1(lim，exfxfxf)()()(11(lim）实质：外大内小，内外互倒 例 4 计算极限：xxx310)21(lim xxx10)sin1(lim 未定式的极限（00，0，00，0）罗必达法则 例 5 计算极限：xxxlnsinlim0 xxx)(sinlim0 )1sin1(lim0 xxx 设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例 6 计算极限：xxx11lim0 123lim1xxx 用等价无穷小量代换（

3、切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例 7 计算极限)cos1(tansinlim2220 xxxxx 学习必备 欢迎下载 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。例 8 计算极限：xxx1sinlim20 21coslimxxxx 三 连续和间断 1.连续的定义 2.间断点的定义和分类 四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。第二讲 微分学 一 导数概念 导数：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 左导数：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 右导数：00000)()(lim)()(li

4、m)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 实质：差商的极限。例 1 计算极限：hxfhxfh)()(lim000 xxxfxfx)()(lim000 二 各种求导法 导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）例 2 设2sinlog54)(43xxxxfax，求)(xf；例 3 设xxxxxfcscarctansin1)(，求)(xf，)4(f；复合函数的求导（P90）例 4 求下列函数的导数 xexf2arctan)(xexftan)(隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）例 5 求下列隐函数的导数 0yexyx yxyln532 对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构

5、成的函数的求导）例 6 求下列函数的导数 xxysin )23)(1(12xxxy 由参数方程确定的函数的求导 重点：由参数方程)()(tytx确定的函数)(xfy 的导数为)()(ttdxdy；例 7 设ttytxarctan)1ln(，求dxdy；名的艺术宝库展示在我们面前赞扬了我国古代劳动人民的无穷智慧和伟和藏有大量珍贵文物的藏经洞第三段第自然段总结全文升华主旨赞扬了生在学习本课内容由于对莫高窟的知识了解甚少自学能力有待加强因此学习必备 欢迎下载 三 高阶导数 例 8 设xyarctan2，求y；例 9 设nxxey，求)(ny；四 微分 重点：函数)(xfy 的微分是dxxfdy)(例

6、 10 设xexy223，求dy；例 11 设yexy 2，求dy；五 单调性和极值（可能出现证明题）重点：由)(xf 的符号可以判断出)(xf的单调性；求)(xf的极值方法：求出)(xf，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑极值点；判断在可疑极值点两侧附近)(xf 的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。例 12 求函数)1ln(xxy的单调区间和极值点。例 13 证明：当02x 时，恒有xxsin。六 最值问题 求函数)(xf在区间,ba上的最值之步骤：求出)(xf，令其为零，得到可疑极值点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；求

7、出函数在区间端点取值)(af，)(bf；比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。例 14 求下列函数在指定区间上的最值。52)(24xxxf，3,2 11xxy，4,0 七 凹凸性和拐点 重点：凹凸性概念：设)(xf在区间),(ba内连续，若对),(,21baxx（21xx），有 2)()()2(2121xfxfxxf（2)()()2(2121xfxfxxf）则称)(xf在),(ba内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。由)(xf 的符号可以判断出)(xf的凹凸性。)(xf 为正号则)(xf是凹函数，)(xf 为负号则)(xf是凸函数。判

8、断)(xf的拐点之方法：求出)(xf，令其为零，得到)(xf 等于0的点和)(xf 不存在的点；判断在这些点两侧附近)(xf 的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。例 15 求下列函数的凹凸区间和拐点。1234xxy 3xy 例 16 证明：当21xx 时，必有221212xxxxaaa（0a）。名的艺术宝库展示在我们面前赞扬了我国古代劳动人民的无穷智慧和伟和藏有大量珍贵文物的藏经洞第三段第自然段总结全文升华主旨赞扬了生在学习本课内容由于对莫高窟的知识了解甚少自学能力有待加强因此学习必备 欢迎下载 八微分中值定理（容易出现证明题）第三讲 积分学 一 不定积分与原函数的概念与性

9、质 原函数：若)()(xfxF，则称)(xF为)(xf的一个原函数。不定积分：)(xf的全体原函数称为)(xf的不定积分，即 cxFdxxf)()(，这里)()(xfxF 不定积分的性质（P174,共 2 个）特别强调：cxFdxxF)()(；cxFxdF)()(（切记常数c不可丢）二 求不定积分的各种方法 直接积分法（两个积分表 P174和 P185）例 3 计算积分：dxxxxx)1(122 dxxxxcossin2cos 第一换元法（凑微分法）重点：)()()()()()(xdxgdxxxgdxxfxf整理 cxGcuGduugxu)()()()(变量还原积分令 常用凑微分公式：)(11

10、1nnxdndxx，)(21xddxx，)(ln1xddxx，)(cossinxdxdx)(sincosxdxdx，)(tansec2xdxdx，)(cotcsc2xdxdx，)(sectansecxdxdxx，)(csccotcscxdxdxx。例 4 计算积分：xdxtan d2cossin dxxxx84422 41ln(1ln)xdxxx 第二换元法 重点：dxttfdxxftxdttdx)()()()()(令 cxGctGdutgttf)()()(1)()(变量还原积分整理 常用换元方法：被积函数中若有nbax，令nbaxt；若有kx和lx，令mtx，这里m是k，l的最小公倍数。被积

11、函数中若有22xa，令taxsin；被积函数中若有22xa，令taxtan；被积函数中若有22ax，令taxsec；名的艺术宝库展示在我们面前赞扬了我国古代劳动人民的无穷智慧和伟和藏有大量珍贵文物的藏经洞第三段第自然段总结全文升华主旨赞扬了生在学习本课内容由于对莫高窟的知识了解甚少自学能力有待加强因此学习必备 欢迎下载 分部积分法 dxvuuvvdxu 关键：适当选择u，v。选择的技巧有若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。例 7 计算积分：xdxarctan 名的艺术宝库展示在我们面前赞扬了我国古代劳动人民的无穷智慧和伟和藏有大量珍贵文物的藏经洞第三段第自然段总结全文升华主旨赞扬了生在学习本课内容由于对莫高窟的知识了解甚少自学能力有待加强因此