2015届高考数学第一轮复习第七篇立体几何细致讲解练理新人教A版.pdf

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1、第七篇立体几何第 1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图 最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).诊 断，基础知识 由 理 深 夯基固本知 识 梳 理1.多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面

2、是全等且平行的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)核台可由平行于底血的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.2.旋转体的结构特征(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到.(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.(3)球可以山半圆面或圆面绕直径旋转得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.4.空间几何体的直观图空间儿何体的宜观图常用斜二B 画法来画，其规

3、则是：原图形中“轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，/轴、轴的夹角为45(或135。)，z 轴 与/轴、y 轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x 轴 和 z 轴的线段在直观图中保持原长度丕变，平行于/轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.辨 析 感 悟1 .对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识(D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的儿何体是棱柱.(X)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(X)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(J)2 .对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识(4)夹在圆柱的

4、两个平行截面间的几何体还是圆柱.(X)(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.(义)(6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.(J)3 .对直观图和三视图的画法的理解(7)在用斜二测画法画水平放置的N 4时，若 的 两 边 分 别 平 行 于x轴和y轴，且/4=9 0 ,则在直观图中/4=4 5 .(义)(8)(教材习题改编)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三个视图均相同.(X)感 悟 提升1.两 点 提 醒 一 是 从 棱 柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强化 空 间 几 何 体 幺 口 特 征.如(1)中例如M；(2)中例如.二 是 图 形 中 与 久、y轴

5、、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置.如(7).2 .一个防范 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图科长，侧视图和俯视图一 样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.如(8)中正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同.学 生 用 书 第1 0 6页突破-高频考点 以例求法举一反三考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻

6、两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋转周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其 中 正 确 命 题 的 个 数 是().A.0 B.1 C.2 D.3解析不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.答 案 B规 律 方 法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况

7、下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.【训练1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中错误的命题的序号是_ _ _ _ _ _ _.解析认识棱柱般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故都不准确，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确.答 案 考点二山空间几何体的直

8、观图识别三视图 例 2 (2 0 1 3 新课标全国I I卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Axyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以 z 公平面为投影面，则得到正视图可以为().审题路线在空间直角坐标系中画出四面体今以Z 公平面为投影而今可得正视图.解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体 j/欧 的直观图，如图，设。（0,0,0）,/（1,0,1）,6（1,1,0）,以0,1,1）,将 以 0,4 B,C 为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于0 4，比,所以该几何体以z 公平面为投影面的正视图为A.答 案 A规律

9、方法空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧血的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.【训练2】（20 1 4 济宁一模）点 机 N分别是正方体4?5一46G q的棱4 6,4的中点，用过4 M V和，N,。的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2 中的（）.A.B.C.D.解析 由正视图的定义可知；点 4 B,8在后面的投影点分别是点，C,G,线段

10、4 V 在后面的投影面上的投影是以为端点且与线段C G 平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段匐/在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段必要画成虚线，正视图为；同理可得侧视图为，俯视图为.答 案 B考点三由空间几何体的三视图还原直观图【例 3】（1）（20 1 3 四川卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是：）.VZ7VZ7正视图 便j视图(2)若某几何体的三视图如图所示，则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是().解 析(1)由于俯视图是两个圆，所以排除A,B,C,故选D.(2)A,B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答 案(1)D

11、(2)D学 生 用 书 第 1 0 7 页规律方法在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.【训练3】若某几何体的三视图如图所示，则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是().解析 所给选项中，A,C选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项B 符合.答 案 BI课堂小结I1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”特点，弄

12、清底面、侧面及展开图形状.3.三视图画法：（1）实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线;（2）理 解“长对正、宽平齐、高相等”.培 养-解 题 能 力教你斛题提升能力易错辨析7三视图识图不准致误【典例】（2012 陕西卷）将正方体（如 图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图2 所示的几何体,则该几何体的侧视图为（）.错解 选 A或 D.错因 致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或 D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误.正解 还原正方体后，将，D,/三点分别向正方体右侧面作

13、垂线，4 4 的射影为G8,且为实线，8 c 被遮挡应为虚线.故选B.答案 B 防范措施 空间儿何体的三视图是从空间儿何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图问题时，就要抓住正投影，结合具体问题和空间几何体的结构特征进行解答.【自主体验】（2014 东北三校模拟）如图，多面体/一夕石的底面力及力为正方形，FC=GD=2EA,其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是（）.解析 注 意BE,附在平面微声上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A,C选项，观察B,D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则 麻，如的投影为虚线，故选D

14、.答 案 D课时-题组训练 阶梯训练练出高分对应学生用书P307基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱解 析 A,B 两选项中侧棱与底面不一定垂直，D 选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.答 案 C2.（2014 福州模拟）沿个正方体三个面的时角线截得的儿何体如图所示，则该儿何体的侧视图为（）.C D解析 给几何体的各顶点标上字母，如图“在侧投影面上的投影重合，a 6 在侧投影面上的投影重合，儿何体在

15、侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B （而不是A）.答 案 B3 .下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.正方体三梭台正四棱傩A.B.C.D.解析 正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以正确.答 案 D4 .（2 0 1 3 汕头二模）如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，且其体积为宁，则该几何体的俯视图可以是（）.正视图 侧视图ABCD解析若该几何体的俯

16、视是选项A,则其体积为1,不满足题意；由正视图、侧视图可知俯视图不可能是B 项；若该几何体的俯视图是选项C,则 其 体 积 为 不 符 合 题 意；若该几何n体的俯视图是选项D,则其体积为了，满足题意.答 案 D5./i现图已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2 的正三角形，侧视图是有一直角边为2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）.解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2,正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可

17、能是C.答 案 C二、填空题6.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是.（写出所有正确的序号）.三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形.解 析 正 确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故错；正确；中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误.答 案 7.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_ _ _ _ _ _ _（填入所有可能的几何体前的编号）.三棱锥；四楂锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱.解析显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三

18、角形；三棱柱的正视图也可以是三角形（把三棱柱放倒，使 侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示）；只要形状合适、摆放适当（如一个侧面正对着观察者的正四棱锥），四棱锥的正视图也可以是三角形（当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形），即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形（可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形）.综上所述，应填.答 案 8.如图，用斜二测画法得到四边形力比。是下底角为45。的等腰梯形，,-（其下底长为5,一腰长为位，则 原 四 边 形 的 面 积 是.A/D,-=3,AD2AJ

19、2,/.5 叫 也 彩 枷 9=5 A BX（5+3）X 2*=8*.答 案 872三、解答题9.如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图.解这个几何体的三视图如图.正视图0侧视图%俯视图1 0.如图是一个儿何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积.解(1)正六棱锥.(2)其侧视图如图：其中ADVBC,且比的长是俯视图中的正六边形对边的距离,即%=#&/的长是正六棱锥的高，即血上m ,A该平面图形的面积S=1小a /a=|a 2.(3)6X-aX yf3aa B D C能力提升题组(建议用时：2 5

20、分钟)一、选择题1 .一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是().A.球B.三 棱 锥C.正 方 体D.圆柱解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同、大小相等；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为形状相同、大小相等的正方形；圆柱的正视图、侧视图均为矩形，俯视图为圆.答 案D2 .一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于().A.平a?B.2厨 C*#D.珥2解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S 之间的关系是S

21、本题中直观图的面积为a,所以原平面四边形的面积等于妄=2*a：4答 案B二、填空题3.如图所示，E,尸分别为正方体被必4 6 4。的面7 24、面3MB的中心，则 四 边 形 即 在 该 正 方 体 的 面 上 的 正 投 影 可 能 是(填 序 号).解析 由正投影的定义，四 边 形 腿 在面力4 4与面比G C上的正投影是图；其在面4的4与面次K上的正投影是图；其 在 面/质 与 血4 5 6上的正投影也是，故错误.答 案 三、解答题4.已知正三棱锥人/力 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧视图的面积.解(1)直观图如图所示:(2)根据三视图间的关系

22、可得BC=2小,.侧视图中A 5k r=1x 2 3 X 2 =6.学 生 用 书 第1 0 8页第2讲 空间几何体的表面积与体积 最新考纲1.了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式.2.了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.诊 断.基 础知识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积体 积圆柱S 侧=2 n r hV=S h=nr h圆锥S.=一1 1 2V=q S h=q J i r hJ T r圆台S m=n (r i +1 2)1/=；(S|：+S 卜+.S上S卜)力(H+z+r i r2)Ao o直棱柱S 侧=C hV=S h正棱锥S 侧 C h

23、1 ,V=S h正棱台S J=；(C+C )/1 r=1(5-SF+小 国)Ao球S球 面=4 -肾4 R02.几何体的表面积(D棱柱、棱锥、棱今的我面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.辨 析 感 悟1.柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 n s.(X)(2)设长方体的长、宽、高分别为2 a,a,a,其顶点都在个球面上，则该球的表面积为3 Ji a2.(X)2.柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为4 3 n，则它的表面积

24、为1 2 n.(V)(4)(2 0 1 3 浙江卷改编)若某几何体的三视图(单位：c m)如图所示，则此几何体的体积等于2 4 c m3.(V)1 4 T 1 3 T俯视图(5)在中，AB=2,BC=3,Z ABC=120,使力a 绕直线该旋转一周所形成的几何体的体积为9兀.(X)3.柱体、锥体、台体的展开与折叠2 j i(6)将圆心角为募一，面积为3 n的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4 .(J)(7)(2 0 1 4 青州模拟改编)将边长为a的正方形版为沿对角线4 c 折起，使B D=a,则三棱锥一 比1 的 体 积 为*冼(X)感 悟 提升两 点 注 意 一是求几何体的体积，要注

25、意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的儿何体求解.二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.学 生 用 书 第 1 0 9 页突破二高频考点 以 例 求 法 举 反 三考点一空间几何体的表面积 例1 (2 0 1 4 日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8 出 的 矩 形.则 该 几 何 体 的 表 面 积 是().r2/2正视图-2万侧视图-1-1-1 ITI I I I 1 I I|1 k-2-*l 1 h 2A.8 B.20+8mC.16 D.24+8地解析 由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视

26、图的性质，俯视图的矩形宽为2位，由面积8啦,得长为4,则该几何体的表面积为S=2xgx2X2+2*X 4+2X 2X 4=20+8班.答 案B规 律 方 法(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现儿何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面枳是侧面枳与底面圆的面积之和.【训 练1】一个几何体的三视图如图所示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为.4解 析 如 图 所示：该几何体为长为4

27、,宽为3,高 为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高 为1的圆柱后剩下的部分.*.5=(4Xl+3X4+3Xl)X2+2Jt X lX l-2 n Xlz=38.答 案38考 点 二 空间几何体的体积 例2(1)(2013 新课标全国I卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为().俯视图A.1 6+8 n B.8+8 nC.1 6+1 6 n D.8+1 6 n(2)(2 0 1 4 福州模拟)如图所示,已知三棱柱力比一43G 的所有棱长均为1,且 4 4 底面ABC,则三棱锥为一C的 体 积 为().A.1 2C.近1 24近4解 析(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组

28、成.其中长方体的长、宽、高分另 U为 4,2,2,圆柱的底面半径为2、高为4.所 以，=2X 2 X 4+；X2?X n X 4=1 6+8 n.故选A.(2)三棱锥区一4 阳的体积等于三棱锥4 5 阳的体积，三棱锥/一合制的高为坐，底面积为;,故 其 体 积 为 思 x乎 厘.乙=5 cm,所 以 =铲R=-(cm3).答 案A考点四儿何体的展开与折叠问题【例4】如图所示，在边长为4的正方形纸片/比中，然 与 劭 相 交 于0,剪去/眼将剩余部分沿冗，勿折叠，使 的，比重合，则以4,B,C,D,。为顶点的四面体的体积为如图所示，在直三棱柱 中，力优为直角三角形，/月3=9 0 ,AC=4,B

29、C=8=3.2是6G上一动点，则b+用的最小值为（其 中 总 表 示P,4两点沿棱柱的表面距离）.4解 析(1)折叠后的四面体如图所示.8、/2O A,0C,如两两相互垂直，且0 A=0 C=0 A 2 取体 积V-必助 O A X-X (2收=一 .O力 4 J(2)由题意知，把 面 防 GC沿 班 展 开 与 面 448归在,个平面上，如图所示，连接4 c 即可.则 4、P、C三点共线时，+为最小，V Z AC B 90,4c=4,B C=C g 3,：.Al&=A =y +3i=5,.4 G=5+3=8,.4C=、a+3 2=班.故+例的最小值为班.规 律 方 法(1)有关折叠问题，一定

30、要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题.【训 练 4】如图为一几何体的展开图，其中/及力是边长为6 的正方形，S D=PD=6,C R=S C,4 g 仍 点、S,D,A,。共线，点 尺D,C,共线，沿图中虚线符它们折叠起来，使 P,Q,R,S 四点重合，则需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6 的正方体.解析 由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥产一4物(如图所示)，其 中 也 平 面 4?四 因此该四棱锥的体

31、积=g x 6 X 6 X 6=7 2,而棱长为6 的正方体的体积，=6 X 6 X 6=21 6,故需要无=3 个这样的几何体，才能拼成个棱长为6 的正方体.答 案 3I课堂小结I1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.3.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切

32、点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.培 养-解 题 能 力方法优化5一特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】（2012 山东卷）如图，正方体的棱长为1,E,户分别为线段加”5 c 上的点，则三棱锥一9的体积为.一般解法三棱锥一期的体积即为三棱锥尸-加 1的 体 枳.因 为 瓦 Q分别为44,RC1上的点，所以在正方体ABC D-A、BC D中良以的面积为定值,尸 到 平 面 的 距 离 为 定T/1 1 值 1,所 以 P-JJU =3X2X1 =6.优美解法E点移到点，尸点移到。点，则I DEDF=D A

33、DC=3X2XIX 1X1=6.反思感悟(1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥4一切方的体积转化为三棱锥尸一如 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求.(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法.【自主体验】如图，在三棱柱力a-4 5 G中，侧棱44与侧面6CGA的距离为2,侧面及第5的面积为4,此三棱柱49C4 8 4的体积为.解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示.记4到平面B C C B的距离为d,则d=2.则，淞 柱I 1 o 1=5/四段柱=:,、%工,c/、/、D=X4X2=4.2 四 边 形Bcq当答 案4课 时-题 组 训 练对应学生用书P

34、3 0 9阶梯训练练出高分基础巩固题组（建议用时:4 0 分钟）一、选择题1.（2 0 1 3 广 东卷）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）.侧视图1 4A.4 B.j P E bA.B.C.D.解析 当 a C l a=一时，PG a,PG a ,但 Ma,错；aA=尸时，错；如 图,：a/b,尸 e6,.4 a,.由直线a 与点尸确定唯一平面a,又 a b,由 a 与 6 确定唯一平面,但 经过直线a 与点产，二与a重合，a,故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确.答 案 D4.（2 0 1 3 山西重点中学联考）已知/,m,是空间中的三条直线，命 题 若则勿；命题q：

35、若直线1,m,两两相交，则直线/,m,共面，则下列命题为真命题的是（）.A.pf q B.p V qC.p V （J q）D.懒 p）A g解析 命题中，m,可能平行、还可能相交或异面，所以命题P为假命题；命 题（7 中,当三条直线交于三个不同的点时，三条直线 定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q 也为假命题.所以,狒。和 都 为 真 命 题，故0V（0）为真命题.选答 案 cD-如图，在正方体4比。-45 G 中，过顶点4 与正方体其他顶点的连线与直线阳成60。角的条数为（）.A.1 B.2 C.3 D.4解析 有 2 条：4 8 和 AG.答 案 B6.如果两条异面

36、直线称为“一对”，那么在正方体的卜二条棱中共有异面直线 对.解析如图所示，与 4 5 异面的直线有5G,C G,四 条，因为各棱具有不同的位置，且正?X 4方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线一-=2 4（对）.答 案 247.P,M如图，在正方体4及沙-4 4 G中，、分 别 为 棱 GC的中点，有以下四个结论:直线4 与 CG是相交直线；直线4 与融是平行直线；直线BN 与 MB、是异面直线；直线4V 与 DD是异面直线.其 中 正 确 的 结 论 为(注：把你认为正确的结论的序号都填上).解 析A,M,G三点共面，且在平面44G B中，但 建 平 面46瓦 因 此 直 线4

37、V与CG是异面直线，同 理 与 酬 也 是 异 面 直 线，4 与如也是异面直线，错，正确；机B,&三点共面，且在平面.幽中，但源平面劭阳，因此直线5V与，姐是异面直线，正确.答 案 8.(2013 江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面。上，豆 ABH C D,则直线反与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为解析 取 切 的 中 点 为G,由题意知平面跖7与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而跖与正方体的左、右侧面所在的平面平行或砂在平面内.所以直线项与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线以与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答 案4三、解答题9

38、.如图，四 边 形/颇1和/阅9都是直角梯形，Z BAD=Z FAB=90 ,B C%A D，B E F A,G,，分别为川，川的中点.(1)证明：四边形60伤是平行四边形；(2)C,D,F,V 四点是否共面？为什么？证明 由已知尸6=的，F 4 H D,超 层 G H&A D.又 B C*A D,：.GH雕 BC,.四边形况 7为平行四边形.解 由 瓦 渴/，G为用中点知，BE褫 FG,：.四 边 形 啊G为平行四边形，.呼8G由 知BG辄 C H,：.EF/C H,:.EF与5共面.又DJ FH,：.C,D,F,四点共面.1 0.在正方体力优 45G中，对角线4c与平面协G交于点0,A C

39、,劭交于点机求证:点 G,。，历共线.证 明 如 图 所 示，/G C,.4 4 G C 确定平面4 cY4C 平面 4 G 0 6 4 G隹 平 面 4 C,而 3=平面BDG C线 4 G /.0 W 平面BDC、,二。在 平 面 与 平 面 4c的交线上.,:A C C B A M,平面5 4 G,且 e 平面AiC）：.平面 BDC A 平面 4 C=QM,：.0&GM,U P G,0,三点共线.能力提升题组（建议用时:2 5 分钟）一、选择题1.（2 0 1 4 长春一模）一个正方体的展开图如图所示，力、B、a 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）.A.AB/C D B.四与必相

40、交C.ABLC D D.用与切所成的角为6 0 解 析 如 图，把展开图中的各正方形按图1 所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A,B,C不正确.二正确选项为I）.图 2中，BE/C D,应 为 4 7与切所成的角，为等边三角形，庞 =6 0 .答 案 D2.在正方体加或一4 5 6 中，E,b分别为棱4 h,8 的中点，则在空间中与三条直线4 4,E F,必都相交的直线（）.A.不 存 在 B.有且只有两条C.有且只有 三 条 I）.有无数条解 析 法一图 1在旗上任意取一点M,直线4”与 M确定一个平面（如 图 1）,这个平面与必有且仅有1

41、 个交点应当 取不同的位置就确定不同的平面，从而与必有不同的交点M 而直线物V与这3 条异面直线都有交点.如图所示.故选I）.法二 在 4 2 上任取一点P,过点尸与直线所作一个平面。（如图2）,因 必 与 平 面。不平行，图 2所以它们相交，设它们交于点。，连接20,则加与所必然相交，即掰为所求直线.由点夕的任意性，知有无数条直线与三条直线4。，E F,切都相交.答 案 D二、填空题3.B（2013 安徽卷）如图，正方体力比/1 4 5 6。的棱长为1,夕为比1 的中点，0 为线段CG上的动点，过点4 P,。的平面截该正方体所得的截面记为S 则 下 列 命 题 正 确 的 是（写出所有正确命

42、题的编号）.当 0。七 时，S 为四边形；当“4时，S 为等腰梯形；当 仪 咛 时，S 与 G的交13点斤满足C xR=-,当彳时，S 为六边形；当C Q=时,s 的面积为坐.图 11、后解析 如 图 1,当 e g 时，平面/闻与平面/加M 的交线妆必平行于PQ,且 0=4 学,S为等腰梯形，.正确；同理，当 0。时，S 为四边形，.正确；如 图 2,当 的=|时，将 正 方 体 补 成 底 面 不 变，高 为 1.5 的长方体ABC D-4 区GA.0 为宓的中点，连 接 仞 交 4 于点 易知国3,作 E R HAP交 G于此 连接 R Q,则五边形1/W 为截面S 延长四，交留的延长线

43、于凡 同时与力产的延长线也交于F,由广为比的中点，PC/A D,知C F 为 F=1,Dr c Q由题意知他 内；=力，C 卜 C Q1 3G 仁 市 正确；由图2 知当7 S V 1 时，S 为五边形，错误；当 8=1 时，点。与 点 G 重合，截 面 S为边长为平的菱形，对角线儿二镜，另一条对角线为啦，.$=平,正确.答 案 三、解答题4.如图，在正方体/A N 4 A G 中，(1)求 4G 与 6 c 所成角的大小；(2)若 色F 分别为AB,/的中点，求 4G 与 所成角的大小.解 如 图，连接I C,AB、,由 4?(第一454”是正方体，知/4 G C 为平行四边形，所以AC/A

44、G,从而8 c与 4 c 所成的角就是4G 与 6c所成的角.由中，由 4 5=/。=夕，可知/4。=6 0 ,即 4G 与 5 c 所成角为6 0 .(2)如 图,连 接 M 由(1)知一勿4 G.,.4 C 与项所成的角就是4G 与哥 所成的角.；斯 是/劭的中位线，：.EF/BD.又：AC LBD,J.AC V EF,即所求角为 9 0 .皮L4G.即 4G 与万所成的角为9 0 .学 生 用 书 第 1 1 3 页第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明

45、一些有关空间图形的平行关系的简单命题.诊断-基础知识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形a-口b-a-日b _/条件aA o=0aU a、X a,a ll ba ll aall a,aU ,a C 8=b结论a/ab/oaO a=0a/b2.血面平行的判定与性质判定性质定义定理图形附/条件a A B=0aU B,bU。,aC b=P,aq ,a A y=a,a ,aU B*b Q-n y=b结论a/04 a/ba/a学 生 用 书 第1 1 4页辨 析 感 悟1 .对直线与平面平行的判定与性质的理解(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条

46、直线平行于这个平面.(X)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(X)(3)若直线a与 平 面。内无数条直线平行，则(X)(4)若直线a。，P&a,则过点一且平行于a的直线有无数条.(X)2 .对平面与平面平行的判定与性质的理解(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(X)（6）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（J）（7）（教材练习改编）设,为直线，是两个不同的平面，若 7，则a/J 3.（X）感 悟 提升三个 防 范 一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内，如（1）、（3）.

47、二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如（5）.三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如（2）、（4）.突 破.高频考点 以 例 求 法 举 反 三考 点 一 有关线面、面面平行的命题真假判断【例 1】（1）（2 0 1 3 广东卷）设勿，是两条不同的直线，明 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）.A.若 a _ L ,/U a ,U ,则 m_ LnB.若 a ,mU a ,U ,则 m/nC.若卬_ 1 ，4 a,U ,则 a .LD.若 ml.a ,m/n,n/,则 a _

48、L 设如表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（）.A.若加。，m/n,则 aB.若 m U a ,“U ,m/,n/a,则 a /PC.若。,m/a ,m/n,则 n/BD.若 a ,m/a ,n/m,则 n/8解 析（1）A中，勿与可垂直、可异面、可平行；B中力与可平行、可异面；C中，若。,仍然满足_ L ，肛a ,刀 U,故 C 错误；故 D正确.（2）A错误，有可能在平面a内；B 错误，平 面。有可能与平面?相交；C 错误，也有可能在平面 内；D正确，易知力 或。u,若 肛 8,又刀卬，.,若加 ,过力作平面r交 平 面 于直线A 则/又 如 /,又1U B,：.n/B.答

49、案（1）D （2）D规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题.【训 练 1】（1）（2 0 1 4 长沙模拟）若直线a l b,且直线a 平 面 叫贝值线6 与 平 面a的位置关系是（）.A.t U aB.b/aC.bU a或b a D.b与a相交或bU a或b a(2)给出下列关于互不相同的直线m,和 平 面 叫 J 3,y的三个命题：若/与勿为异面直线，7 C a ,7 U ，则。：若a /7 C a,必 U,贝 I/他若 a C。=1,J 3 A Y m,Y C a n,1/Y,则 m/n.其中真命题的个数为().A.3

50、B.2 C.1 D.0解 析(1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当 6 与。相交或b Ua或b a时;均满足直线a，6,且直线a 平 面。的情况，故选D.(2)中，当。与 相 交 时，也能存在符合题意的/,例 中，/与用也可能异面；中，1/r 1U 8,B C Y=m 0 1m,同理/，则 r 小 正确.答 案(1)D (2)C考 点 二 线面平行的判定与性质【例 2】如图，直三棱柱力式H B C ,/胡 C=9 0 ,巾,AA=1,点 肌N分别为H 8和 6,C的中点.(1)证明：，帆 平 面AC C；(2)求三棱锥4 网。的体积.证 明 法 一 连 接AB,AC ,如图，由已知N