《仁华学校数学思维训练导引》解析(六年级).pdf

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1、 仁华学校数学思维训练导引解 析（六年级）仁华思维导引解析1讲：计算综合 仁华思维导引解析2讲：比例与百分数 仁华思维导引解析3讲：工程问题 仁华思维导引解析4讲：不定方程与整数分拆 仁华思维导引解析5讲：数论综合之一 仁华思维导引解析6讲：立体图形 仁华思维导引解析7讲：几何综合之一 仁华思维导引解析8讲：数字谜综合之三 仁华思维导引解析9讲：计数综合之二 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析1 仁华思维导引解析20讲：逻辑推理之二1

2、讲：方程与方程组2讲：行程与工程3讲：应用题综合之二4讲：数论综合之二5讲：数论综合之三6讲：几何综合之二7讲：计数综合之三8讲：最值问题9讲：构造与论证之二0讲：构造与论证之三仁华思维导引解析1讲：计算综合【内容概述】繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.【典型问题】唯 及 争cd 分析与解原式=2334=喝 璀度等级J 7 7 7 5 o1 9 i+3-5 22/i n n,.z s2.计 葭-2 -化空史上lp 5 _627+5 2 2 11995x0 5 1995)9 50 分 析 与 解 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有1哈 于 是,我 们

3、 想 到 改 变 运JD序，如果分子与分母在199后的两个数字的运算给果一致，那么作为披除数的这个繁分数的值为h如果不一致,也不会增加我们的计篁量.所以我们决定改变作为破除数的繁分数的运亶I领序.而作为除数的整分数，我们注意两个加数的分母相似,于是统一通分为1995X05具体过程如下：1 91-1 32 q 1993*04+4x04x0.5i n5-11995*0 5+1995x0 5)i y I.j zl 1995 0 5)1.上05 地 反 于 J 3.计E C 1-彳 一.1+r1 一 ,1987 1 分析与解1原式=1-I-397319切3973 流度 级 4.计其已知L=1,则淄于多

4、少?（分析与解|方法一：二 一=三=,=票;=2 交叉相乘有88X+66“一 ”I】.1.4X+1 UX4 7 11=96x+56,x=1.25 1+-：1*-1+-二、I 今 4 8x4*6方法二:有I+?=1+巳 所 以 2+二=举 一+右 所 以 了 +1=提，那么x=12).8 8 一 3 3 4 2 瑕度孑极 5.曲.A3,M 3,.竺 _ 3 这 10个数的和.丽 分析与解方法一:4X3X43十”3不=4+(441火 444一 汁+(也、-1)1014=4+44+444+44 4-9L迎.4*=i x 9+99+999+P99.9 99 I IStTji x (!0-1)+(100

5、-1)+(1000-1)+=i X ill 100-9y 阳=4938271591.方法二:先计蹲这10个数的入位数字和为3X 4=30,再计亶这1疵的十传数字和为4 X 9=加上个付的迸付的，.再计算这1。个数的百位数字和为4X8=3 2,加上十位的进位的3,再计菖这10个数的千位数字和为4X7=2 8,加上百位的进位的3,再计算这1冰数的万位数字和为4X6=2 4,加上千位的进位的3,为3A+?=翘为32+3=羽；为28+3=3加为 24+3=20再计算这10个数的十万位数字和为4X5=2 0,加上万位的进位的2,为20+2=怒再计算这10个数的百万位数字和为4X4=1 6,加上十万位的进

6、位的2,为 2=隰再计亶这1险数的千万位数字和为4X3=1 2,加上百万位的进位的1，为12+1=1国再计算这1(H数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的1,为8+1=5最后计算这10个数的十亿位故字和为4 X 1=4,加上亿位上没有进位，即为所 以,这 1。个数的和为4938271591.雄 度 考 级J 6.如图1-1,与一线段的端志上两教之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？分析与解因为环个端点均有三条线段通过.所以这6条妓段的长度之和为3X|1+1+06+0875)=1+075+1.8+2.625=6.175=6.U 4)40 玻及争级 7.我们规定，符 号“O

7、”表示选择两数中较大数的运算，例如35。2.，=29。3.5=3 5符号表示选择两数中较小数的运算,例如3 542 9=2 943 5=2 9话计篇(0.625吗卜(00.4)3。京扁25)院 02”5 x 155 qq?分析与解1庾式=-5 也=g x券+2、1+225 8 3的 12325256 现反手级8.规 =2X3X4=3X 4X 5,=4X5X6,0=9 X 1 Q X H,如果吉一言二/口那么方框内应埴的数是多少？(J _ 16x17x18 二 分析与解口=0 0 0 =15x16x17 _1=5,唯度孑 9.从 和 式!+!+!+!+!中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之

8、和等于1?2 4 6 8 1 0 1 2 分析与解I因为所以;、1、;、A的和为1,因此应去掉;与3.p i度 J 1 0 .如图L 2,捧列在一个圆圈上1。个数技顺时计次序可以组成讦多个整数都分是一位的循环小散，例如 1 892 9：592 羡那么在所有这种数中，最大的一个是多少？1 8 99 22 99 5 1【分 析 与 解|有 整 散 诬 分 尽 可 能 大，十 分 位 尽 可 能 大，则 有 92 91 8”钱 大，于 是 最 大 的 为9 2 91 892 91 5.难 度 考t t j 1 1.请你举一个例子，说 明“两个具分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谟也不是道

9、的妁数”.分析与解1有$吟I+=唳*理 度 子 J 1 1计 算 费)“-白x(,布辅 分析与解1原式=(2-1)x(2+1)(3-1)x(3+1)乂2 x2 3x3(1 0-1)x(1 0 4-1)1 0 x1 0 X1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 x 7 x 6 x 8 x 7 x 9 x 8 x 1 0 x 9 x 1 12 x 2*3x3x4 x4x xlOxlOlx2 x3x3x4x4x5x5x.xpx9xl0 xll2 x2 x3x3x4x4x.x9x9xl0 xl01 x2 x1 0 x1 12 x2 x1 0 x1 01 12 0 地度手级

10、t_ n y,11 x 66*12d7 13x68 14 x 69-b 15 x 7013.已知0二-Ilx65+12x(6+13x67，14x68+15x69XI00.间a的整数部分是多少?|分析与解1 a11 x 66+12 x67+13 x68+14 x6P+15x7011 x 65+12 x66+13x67+14x68+15x69X100=11 x(65。1)+12 x(66l)+13x(67+l)+14 K(68+1)+15x(69+1)x 11x65+12x66+13x67+14x68+15x69_ 11+12+13+14+15_11x65+12x66+13x67+14x68+15

11、x69X100=.00+11+S13+14+1511 x65+12x66+13x67+14x684.15x69X100因为11+124134-14+1511 x 65 12 x 66+13 x 67+14 x 62*15 x 6。XI。(品岩*蒜x w=瑞，所以a岬*=呜.31 35综上有1。1%aA,有AXAAXB(-6)卷=5 A X A l x l,P H I 3 5 7 99 1 1 西+W-x-x 7 x-x x=与二相比，二更大.2 4 6 8 100 10 10方法-n4 A A-1 X-3X-5X-7X.X9 72 4 6 8 9899Too则代卜那小河粉粉宿我们蛾却与高的大的

12、99 991 1 x 100 100Ix3x3x5x5x7x7x-x97x97x99x99xl2x 2 x4 x4 x 6x 6x8 xx 96x48 x98 xlOO xlOO日晚 1x3 3x5 5x7 97x99显然 2 7 2、474 66 、98x98卷 都 是 小 于 附 腼 有 人 高，于是A4显日皿然 1而x3 3有x5 5而x7 9而7x99r 而99 M整Bi 工的 的 加,而 1 于工是B AA tl|分 析 与 解|在范式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为！U II,能被9整除,所以将一个I，丽 1 出二U乘以另一个除以9,使原算式变成：】丽1999;也 X!2345

13、6790 012345679,=1。00;叫-1 卜 23456790 012。，679,1 _ iwto_ -=！23456790 712345679JW。叫-口34567叱 02X5679,=！23456790 012345679,12345678，876543209 9876父 320,987654 3 2 i 的茨果中有蟋擀9=220个“1234567最”和“耐摘醇桃、及 一 个12345678”和一个*98765432I”.所以各位数之和为：(1+37壮坨+7均)X220+(9+8+7%+5+4+3+2)X22O+(l+2+3y+5%+7招)(86+7%+5+4+3+2+1)=179

14、0仁华思维导引解析2讲：比例与百分数【典型问题】1.迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的5 6%,如果再生产504哈，总产量就超过计划产量的16%.那么，原计划生产插怏机多少台？分析与解|5040-r(l+lf l%-56%)=8400a.难度等f i t 2.图珠至和错至的价格比是4 3,2。支 酶 维 和 2皮情至共用71 5元.向圆珠至的单价是毋支多少元？|分析与解|设圆珠笑的价卷为4,那么铅笔的价格为3,则20支图珠邕和21支铅笔的价格为20X4+21X3=143,见职位“1*的价格为71.5+143=0.5元.所以因殊堂的单价是n SX4=75C 难度等级 3.李大娘把养的科

15、分别关在东、西两个院内.已知东院养理40只；现在把西院养鸡数的!卖给商店，4；卖给加工厂,再把剩下的吗与东院全部的鸡相加,其和恰好等于原来东.西两院养酒总数的50%.原来东、西两院一共养呜多少只？分析与解|方法一:设原来东西两院一共养玛床,那么西院养四(x-40)只.依题意(x40)X +40=x d、e、(lO-b-c-d-。件，则有2 9(1 0-b-c-d-e)+4 7t)+7.2c+10 6d+149e=60.18b+43c+77d+120e=310.显然e只能取0,1.2.有1的+43+77(1=310,其中 d可取0,1,2.3.4当d=0W，W l8b+43c=310.格系数，常

16、数对6取摸得c=4(mod 6).于是c最小取4,那么有18b=3 1 0-4 3 X 4=138.b不为自然数，所以d=(t不满足,有18b+43c=2 3 3,将系数，常数对6取模得cm5(mod 6),干 是 踹 小 爵 那么有18b=2 3 3-4 3 X 5=1 8,回三 鼻 斑：(3)当(1=树.有18b+43c=1 5 6,将系数,常数对6取模得c0(mod 6),于是c最小取0,那么有18b=156,b不为自然数，所以d=2时，不满足j邯 0!刘有18bx3c=7 9,将系数、常数对6取模得cl(mod 6),于 是 我 小 胸 耳 那么有18b=7943=36,|b|=2|.

17、(5).当 d=4W，有18b+43c=2,显然不满足.昌k t=U 有l8b+43c+77d=1 9 0,其中d可以取0、】、2.郢日心3 1有I8b+43c=19Q,将系数、常数对傅模有c-4(mod 6).于 是 日 最 小 也 那么有18b=190-43X 4=18,叵 国1 g l.(2)当 d=l时，有I8b+43c=1 1 3,将系数、宗数对6取模有c-5(nwd 6),于是c最小取5.BP18b+215=113i显然d=l时，不满足,建 七 0用 1有I8b+43c=3 6,显然有距 国,E硼 医 用有 18b+43c+77d=70,d只能取0,3 4(muiJ 7)丁是y最小

18、分别取G.1,2,3.4.但是当y取用1，8X6=48超过3 4,抚法取值.所以二4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的.地及乎级 1 4.有30个乐分腰市和8十伍分硬币，用这些硬市不能构成的I分到1元之J间的币值有多少种？【分 析 与 解|注3S国所有3效硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了5阳 和10师 外，其他98种币值就可以两两配对了，即(1.9,(2.98),(3,97),(4,吩,(49,51).每一薄币值中有一个可用若干个系分和伍分硬币构成,则另一个也一定可以，显然5份 和10盼的币值是可以组底的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这4时情况.I分

19、和3分的市值显然不能构或.2分，4分，6分，.4份,48分等24种偶较币值的都可以用若干个前分硬币构成.5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分，8分，4份、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚需分硬币即可.譬如37分币值的，由于36分币值可用18枚原分硬币构成，用一枚伍分瑛币换下两枚冤分硬币，剩下的币值即为37分.嫌合以上分析，不能用3。八贰分和8个伍分硬币构成的I分到1元之间的币值只有四种，即I分，3分，97分，99分.瑕及等级 1 5.，.、明买红、蓝两支邕，共用了 17元.两种金B)单价都是整数元，并且红金比蓝金贵.，J假打再用35元来买这两种宝(也

20、允许只买其中一种)，可是他无论集么买，都不能把35元恰好用完.那么红空的单价是多少元？花3 分析与解如下表单位无单位:元单位元 共勺13红1tl单价如方19妁 数.S55-17=13.2的组组合可能红S红16i161X161X152152152X143143143X134134134125125X125XII6H6116X107107X107X98939SX表1无枚誉出所有可能E再依次考虑苜无，不能出现35E号后，也不能出现5元.所以含有9.6.所以，只 有13+4的表2U.测只买这种选就可以刚好用完35元，所以含有7,5,1的组合不可能.8的妁敌.否则先各买一支需17元，那么再买这种至就可以

21、花去1沅，-1 6也不可能.较检验13x+4y=3S这个不定方程确实无自然数解.所以笑任单价力元.仁华思维导引解析5讲：数论综合之一C 3；抽【内容概述】涉及知识点多，解题过程比较复杂的整数媒合题,以及基本依卷数论手段求解的其他类型问题.【典型问题】难度不叙J I.如果把任意n个连续自然数相秉，其积的个位数字只有两种可能，那么n 4多少？分析与解我们知道如果有孙茂续的日然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0.所以r小于5,I当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为0或5),显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数,则这阶连接的个位

22、数字只能是I.2,3,4或6,7.8.%它们的积的个位数字邰是%所以，当n为4时，任意4个匹线自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能.一 二H 情况I当n为3 8 1.有IX 2X3的个位数字为6.2X 3X4的个位数学为4,3X 4X5的个位数字为。，”，傅 足.上 当n为 谢,有IX 2,2X3.3X4,4X5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满是.至于r取I显然不满足了.所以满足条件的遥4.发发争级J 2.如果四个两位场数a,b.c(d两两不同，并且有足，等式a+b-c+d.那么，(l)a+b的最小可监值是多少7(2)a4b的最大可能值是多少，分 析 与 解 两位的桥数有11,13.

23、17.19.23 29.31.37.41.43,47.53,59.61.67.71.73.79.83.89.97.不难得出，展小为 11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.所以满足条件的a+b最小可能值为3 0,最大可能值为168.I雄 度 等 级 3.如果某整数同时具备如下3条性质这个数与1的差是质数，这个敷除以2所得的商也是磺致；这个数除以9所得的余数是5.那么我们祢这个整数为幸运敬.求出所有的两位幸运数.分析与解条件也就是这个数与I的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件，除以9来5,在两位的偶菽中只食14.3 2,50.68.86这5个数淞足条件.

24、其中3 1 5 0不符合，3温68不符合，三个条件都符合的只有14.所以两位幸运敬只有14.I 攻级v y 4.在555555的妁数中，最大的三位数是多少？分析与解|555555=5XH|X1001=3 X 5X7X 11X13 X3 7显然其谖大的三位数约数为777.出 发 争 叙 5.从一张长2 0。2章米，宽847至米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果需下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再兔下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少章米？分析与解从长2 002童米、瓦847至米的长方光纸板上首先可剪下边根为847亚米的正方形，这样

25、的正方形的个数恰好是2 00滁UA84商得的面，而余数恰好是剩下的长月形的宽，于是有2 002-847=2.3 08.847*3 08=2 2 3 1.3 08*2 3 1=177.2 3 1*77=3.不难封知，最后剪去的正方形边长为77厘米.难 度 等 级 6.d 知存在三个小于20的自然数，它们的戢大公为数是】，且两曲场小之勒.话写出所有可危的答嘉.|分析与解|设 这 三 个 数 猊 b、c,且a b b.四;械当 a=72Bl，b可取小于72的H种妁数，a+bM72+l=73,当a=3筋h必须取8或24,a+b的值为44或6 0,均不同于第一种情况中的值t:当 a=24时.帅 须 取

26、9或18,a+b的值为33或4 2.均不同于第一、二种情况中的值:当 a=18f f j,仍须取8,a+b=26.不同于第一、二、三种情况中的值:当a=129J，b无解：当 a=901.蜕 须取&a+b=17,不同于第一、二、三、四情况中的值.总 之 a+b可以有11+2,2+k 1 =17种不同的值.f 2)60=2X 2X 3X 5.有 12个约数3 2.3.%5.6,10.12.15.20.30.60.a、曲 为 60的妁数，不妨设ab.当a=60时，b可取60外的任何一个故，即可取11个值，于是a-b 可取”种不同的0 59,58,57,56,55,54,50.48,45,40,30；

27、I汨 工 创I:当 a=3081.:当 a=2(BJ,当 1处h:当 a=12f ttb可取4,12,2 0.于是a-b可取26,18.I。：b可取3,6.12.15.iU4a-bW 17.14.8.5.。可取4.1 2,可以ali可取11,3tb可取5.1 0.所以a-b 可取7.2.总之，a-b 可以有11+3+4+2+2=2谕不同的IB.地度 1 0.狐狸和黄信娘进行跳跃比奖，祖理母次跳4?木，黄鼠狠4次 跳2 1木，它们母杪$中郃只跳一次.I 4比赛途中,从起点开始每隔123米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米？8 分析与解I由于12：+4:=?,1 2,+2：

28、=二.8 2 4 8 4 2所以狐狸跳4个12：3 米的距离时将掉进陷阱,黄鼠胆跳冲123之米的距离时，将掉进陷阱.8 8又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当巩翌抻进陷阱时跳了 11秒,黄国浪獐进陷阱时趺了谢，因此黄鼠狼先掉诙陷阱，此时狐狸跳了 9秒.距离为9X 4；=40.5(米).难 度 等I R J 11.在小于1000的自然数中，分别除以18及3新箱余数相同的数有多少人？(余数可以为0)分析与解我们知道18,33的寰小公倍数为口8,33)=198,所以每198个数一次.I198之间只有I,2,3,.17.198(余0)这18个数除以18及3撕得的余数相同,而999+198=59.所以共有

29、5X 18+9=994这样的数.雄及 等 级 12.日、乙、丙三数分别为603,939,3 9 3.某数部余甲数所得余数是距乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？|分析与解|由题意知4倍39泌 阳A的余敕，等于猾939除以A的余数，等干甲60第 以 郁)余数.P6O3+A=a.k；(2X939)+A=b.kt(4XJ03)TA=C.k.于是有(1878-603)+A=b-u(1878-1572)4-A=b-ci(1572-603)-rA=c-a.所以A为 1275.306.909的矣数，(1275.306 966)=17X3=51.于是，A可能是51,17

30、(不可能是3,因为不满足余数是另一余数的4倍).当A为51 时，有603+61=11.42 030+61=18.21)303+61=7.3 6.不得足，当A为1 册，有603+17=35,939-5-17=55.4t 393+17=23.2t 足.所以，除数A为17.唯及争 13.证明形如U,111,1111,111 I I,的敌中设存完全平方数.分析与解我们知道奇数的完全平方数是奇数，偈数的完全平方数为隔数，而奇数的完全平方数瞅病余1，偶数的完全平方效能被4整除.现在这些数部是奇数，它们除以4的余敬都是3,可以不可能为完全平方数.唯次哥 d 心r14.有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9,17,

31、24,28,30,31,33,44次.甲先取走一盒，具余卷盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.间甲取走的一盒中有多少块奶糖？|分析与解|我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，檐的块数是丁所取糖的块数的5倍.八盒糖总块数为 X17+24+2W+30+31+33*44=216.从216去5的倍数，所得差的个位数字只能是I或6.观察各盒精的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的鼓31.因此日取走的一盒中有31块扔糖.难度孑级3 1 5.在一根长木棍上，有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份：第二种将木棍分成十二等份：第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条

32、刻度线将木相锯断,那么木棍总共被锯成多少段？分析与解10,12.15的最小公倍数 10，12,1 5 =6 0,把这根木棍的，作为一个长度单位,这样，木棍10等伶的母一等份长6个单位,12等份的母等份长5个集位 15等份的母等份长4单位.不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9,11，14（相应于1。，12,15等份），共计个.由于0 6的最4公倍数为30,所以I商 12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中诚1.又由干4,5的最4公倍数为20,所以12与 15等份的等分点在20单位和4 g 位两处相重，必须再覆去2.同样，6,4的最小公倍效为12,所以15与 10等份的等分点在12

33、,24,36,48单位处相重，必须再够去4.由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去I，再减去2,再笈去4,得27个刻度点.沿这些刻度点把木棍锯成28K.仁华思维导引解析6讲：立体图形【内容概述】各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计皙问题,解题时考虑沿某个方向的投影常能发厚明显的作用.较为矍杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.【典型问题】雄及*J 1.用棱长是1厘米的立方块拚成如图61所示的立本图形，间该图形的表面积是多少平方度米?f f i 6-1 分析与解显然，图6-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，部等于3x3=9个小正方形的面积，朝左的面

34、和IB右的面的面积也相等，等于7个小正方形使面积，朗前的面和朝后的面的面积也相等，整等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于伊+7+72=46个小正方形的面积，而毋个小正方形面积为1平方雷米,所以该图形表面积是4陛方厘米.瑕度 级2.如图62,有一个边长是5的立方体,如果它依左上方SE去 t 边长分别是5,3)2的长方体,那么它的表面积减少了百分之几？|分析与解1 原来正方体的表面积为5X5X6=15C.现在立体图形的表面积截了两个面向我们的恻而，它们的面积为(3X2)X2=12，12+150=0 08=8%.即表面积派少了百分之八.难 度 争 假 3.如图53,一卜正方钵龙状的木块，

35、枝长冰.沿水平方面格它锯成3片，母片又锯成4长条，毋条又需成5小块，共得到大大，卜卜的长方体6瞅.那 么，这6跌长方体表面积的和是多少平方米？分析与解|我们知道每切一刀，多出的裹面积恰好是原正方体的冷面的面积.现在一共忸了（3-1 （4-1）+（5-1）=9刀，而康正方体一个面的面积为IX 1 =1（平方米），所以表面积增加了 9 X 2X I 18（平方米）.原来正方体的表面积为6X1=6（平方米），所以现在的这些小长方体的表面积之和为818=24（平方米）.唯 反 等 级 4.图d4中是一个边长如履米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去fa长is米的正方体，侬成一种玩具.它的

36、表面积是多少平方厘米？09 6-4 分析与解|康正方体的表面积是4X4X6=%（平方里米）.每一个面被挖去一个边长是1匣米的正方形,同时又增加了5个边长是I里米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的采畲，母一个面都增加/4个边长是1康木的止万形.从而，它的表面积是96+4X6=120平方匣米.地度 段 5.图64是一个边长为2匣米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1疲米的正方体小洞I挎着在小滑的底面正中再向下挖一个边长为2画米的小涓，第三个小词的密法与前两个相同，边长为度2 4米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方11米？分析与解因为母挖一次，都在原来的基础上，少了 1个面

37、，多出了5个面，即增加了4个面.所以，最后得到的立体图形的表面积是2 X2 X6+1XIX4+?X?X 4+L x L x 4=2 9 2 5（平方版米）.2 2 4 4 瑶文中级6.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是林、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在中、小水鼬的水里，两个水池的水面分别升高/6屋米和4屈米.如莉移这两雉评石器沉没在大水他的水里，大水池的水面升高了多少匿米？分析与解放在中水池里的碎石的体积为3 X 3 X。06=0.54立方米t放在，J冰池里的碎石的体稚为2 X 2 X 0 3=0.16立方米则两地砰石的体积和为0.54+0 16=0 7立方米，现在放到底面积为6

38、X6=3理方米的大水池中，则使大水池的水面升高0 7+3 6=工 关=怨 庾 米=1?鹿米.3 60 3 60 18 难 度 报 7.如SJ6-6,从K为13厘米，质为9值米的K方形硬纸板的四角2；掉迫K2麋米的5形，然后，沿虚战折会成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？图 6-6 分析与解容器的底面积是(13 4)X(9-4)=4%平方厘米)，高为2腹米，所以容器需体积为：45X2=90(立方曜米).唯及考级 8.今有一个长、克、高分别为2哽米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剌余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大

39、的W下一个正方体.间洌下的体积是多少立方便米？分析与解本题首光要傩三次切下的正方体的校长，因为2 1 15 12=7 5 4为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为71g米、5匣米、4厘米的长方体.易知第一次切下的正方体的犊长应为4座米，第二次切下的正方体梗长为3厘米时符合要求，第三次场下的正方体的梗长为2限来时符合9?求.于 是 在K、宽、高分别为2 11s米、15庾米、12度米的K方 体 中.第.二、二次切下的正会体的扬K为12废米、9厘米、6里米.所以我!TF的体积应为：2 1X 15X 12-(12 3+1+63)=1107(立方厘米).地度9 .如图M 7,打一个四枉和一，|廊镀，它

40、们的高新底面区役新标在图上，单位是喙米.那么，图镀体积与鹿枝体卷的比是多少？S 6-7 分析与解封的体积是泊次.228X3.所以 圆锥体积与圆体积的比是51 2 8 1=1 2 4.难度孑级 1 0 .张大爷去年用长冰、觉味的长方形羊席困成容积最大的神柳囤.今年改用长咪宽冰的长方形下席围员容积最大的班形的粮园.问今年粮园的容积是去年粮囤容积的多少倍？分析与解1底面周长是3,半 径 是 二，Kxf2_Y=2i,所以今年粮囤底面积是工，高是2.2ft 2vj 4JT 4JT2：同理，去年粮囤底面积是土，高是I.4万偿斗传44 5雄，X年稳藤容袁是去年粮囤容积的4 5倍.堆文等级 II.一个盛有水的

41、图柱形容器底面内半径为5厘米，深2 0展米.水深15园米.今将一个底面半径为2厘米，高为18里米的铁璃柱垂直放入容器中.求这时容罂的水深是多少建米？分析与解若铁图柱体能完全浸入水中,则水深与容积底面积的桑积亚等干原有水的体积与旗体在水中张积之和，因而水深为.52 X15+23 X J 7 X 18.r r c/ET 业-5-=17 72（盥米）I5 x j f f它比铁图柱体的高度要小，那么铁神体没有完全漫入水中.此时容器与铁酶组成一个类似于下图的立体图形.底面积为52X22JC=21X,水的体积保持不受为5。X 15=3 75x.所 以 有 十 深 为 察 =172（厘米），小于容器的高度2

42、 0廖米，显然水没有谥出.2 br 7于是17 gls米即为所求的水浮.地 文 导 版 12.如图6-8,用高都是1米，底面半径分别为1.5米、集和0 5米的3个槐组成一个物体.问这个物体的S 6*8 分析与解物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、，J通柱的的面积，即2 X X XI 52+2 X X X I 5 X；+2 X X XIX1+2 X x X0 5X1=4,5x+3 x+2 x+x=10.5x*3 2 97（平方米）.雁个物体的表面积是3 2.97平方米.唯 及 学 级 13 .某工人用薄木板打成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编纸条如图6-9所示在三个方向上加固.所用尼

43、娴织条的长分别为3 65国米、405屈米、485窿米.若每个尼龙条加固时接头处部重叠5庾米，则这个长方体包麦箱的体积是多少立方米？图 69|分析与解I长方体中，高 宽=；(3 65-5)=18&.,其连续四边的长依次是1、9、9、5度米.求这个六边形的周长.S 7-1因为NBAF=120,而 N：AF=18（T-ZBAF=60*.又 NEFA=12（T,而NIFA=18（T-ZE FA=60,.则ZUAF为等边三角影.同理ABCG、EHD、AIG侦为等边三角形.在ZUAF中.有 1A=IF=AF=9（康米%在BGC中，有BG=GC=BC=l（质米）.有lA+AB+BG=IG=9+9+】=1 9

44、,即为大正三角形的边长，所以有1G=IH=GH=19（11米）.则E H=IH-IF-F E=l9-9-5=5（质?K），在EDH中，DH=EH=MS米），所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=I X 3*）.于是，照图中六边形的周长为1+9+X5+Hl3=42（度米）.地良孑J 3.图72中共有16条线段,每两条相邻的线段都是互相垂直的.为了计菖出这个图形的周长，最少要里出多少条茂段的长度？S 7.2|分 析 与 解|如下图所示，我们想象某只品钙图形电行一周,回到柜出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程.于是只用篁出往右的路程,往下的路程，再将它们的和乘以物为所求

45、的局长.所以，最少的重tb下列6段即可.唯 度 级 4.格图7-3中的三角形4 K片沿虎娃折会得到图7 4 K中的粗实族图腕5积与版三角形面积之比为2 3.已知图7遇中3个画阻影的三角形面积之和为I,那么重叠祸分的面积为多少？分析与第1设重叠部分的面积为X,则原三角形面积为l+2 x,祖实线的面积为1+x，因为(1+2 x):(l+x)=3 2,解得K=1,即重为部分面积为I.【雄 成 等 级 5.如图75涂阴影部分的小正六角星形面积是1 6平方曜米.何大正六系星形的面积是多少平方整米?分析 与解如下图所示，在正六边形A B C D E F中./与 面积相等，1冷舱k组成小正六角里形，那 幺

46、由 外 上/及1 2 如 成 的正六边形的面枳为1 6+1 2 X(l 2+6；=2 4(平方鹿狗.而通过下图,我们知道,正六边形A B C D E F可以分成外小正三角形,并且有它们面积相等,且与六个角的面积相等,所以大正六角星形的面积为2 4+6 X 1 2=4 8(平方厘米).地度冬f id 6.如图76所示，在三角形ABC中，DC3BD,D E-EA.若三角形ABC的面积是1,则阴影部分的面积是np 3 分析与解AABCx AATC同高，所以底的比等十面枳比，SAADC=X SAABC=7 X SAABC=34而E为AD中点，所以SDEC=，SA A D C=连接FD.ADFEx ZF

47、AE面积相等，设5&曲=%则S.F D E的面积也知:，SAABD=|SAABC=1SABDF=SAABD-SAFEA-SAFDE=4-2 x，而SAFDcUSAFQE+SADEcUm gSABDFSAFDC=Q-2X)(X+|)=1 3,解得X=3.所以，阴影露分面积为S.DEC+SFEA=y-唯反导微 7.如图7-7,P是三角形A B讷 一 点，D E平行于A B,F G平行于B C.H I平行于C A.四边形A】P D的面积是1 2.四边形P G CH的面积是1 5,四边形B E P F的面积是2。.那么三角形A B C的面积是多外 分析与解有平行四边形A【P D与平行四边形P G CH

48、的面积比为I P与P H正比，即为1 2:1 5=4 5同理有F P.P G=2 O:1 5=4:3,D P P E=1 2:2 0=3:5.如图，连接P C、H D,有P H C的面积为亍，有A D P H与P H C同底P H,同高，所以面积相等，即SADPH=y.而A D P呜E P H f f i高相等，所以底的比即灿积的比，SADp.:SA E p H=D P P E=3:5.所以S4_ 5 I 5 _ 2 5EPH=q X SADPH=1 X Q =5 TP TP A如下图所不，连接F H、BP,有S&FP=而$/14=j 5 SAF BP=X 1=8 t如下图所示，连接FD、AP

49、.SA D p o=SA D FF=SA A pD=1x6=SAABC=S 7AIPD+S 7BEPF+S Z7COPH+SA1FP+SADOP+SAEHP=,3 t2 0+1 5+8+2+T=地度 8.如图7.8,长方形的面积是小丁 1。0的整数，它的内部有三个道长是SE数的正方形，号正方形的边长是长方彩长的，号正方形的边长是长方形宽的;.那么，图中阴影甚分的面积是多少?K 7.1 分析与解I 有号正方形的边长为长方形长的，则图中未探号的正方形的边长为长方形长的1.而耐正方形的边长为宽的?，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的1.8 8所以在长方形中有台7 长=7宽，则长宽=12:8,不妨设

50、长的为12k,正为8 k,则号正方形的边长为5k,又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为96k2,不大于100,所以乐能为1,即长方形的长为1 2,宽为8.于是.图中号正方形的也长为5,号正方形的边长为I,则未标号的正方形的边长为7,所以果馀的阴影部分的面积为12X8-52-12-72=21.欢度争级 9.如图7-9,三个一样大4例正方形放在一个长方形的盒内，展DB是两个正方形重数部分，C.D,E是空出的部分，这些部分都是长方形,它们的面积比是ABCDET 2:3:4 5.那么这个长方形的长与宽之比是多图72 分析与解以下用为表示强分横向的长度，表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似.有,D