第二章函数概念与基本初等函数.pdf

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1、第二章函数概念与基本初等函数一 2.1 映射、函数、反函数_一、知识导学一L 映射：一 般地，设 A、B两个集合，如果按照某种对应法则了，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-B.(包括集合A、B及 A到 B的对应法则)_2 .函数：设 A,B 都是非空的数集，如果按某种对应法则/,对于集合A中每一个元素 X,在集合B中都有唯一的元素和它对应，且 B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记 作y=/(%)._其中所有的输入值X组成的集合A称为函数y =/(x)定义域.一对于A中的每一个x

2、,都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.一3 .反函数：一般地，设函数y=f(x)(x eA)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到x=fT(y).若对于y在 C中的任何一个值，通过x在 A中都有唯一的值和它对应，那么x=fT(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x C A)的反函数，记作x=fT(y).我们一般用x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数x=fT (y)中的字母x,y,把它改写成y=fT (x)反函数y=l (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域

3、.一二、疑难知识导析_1 .对映射概念的认识一(1)1/：-8与 丁：8 *是不同的，即 5与 8上有序的.或者说：映射是有方向的，(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.一(3)集合A,B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合._2 .对函数概念的认识一(1)对函数符号/(x)的理解知道y=/(x)与/(x)的含义是一样的，它们都表示丁是X的函数，其中x是自变量，/(x)是函数值，连接的纽带是法则丁.丁是单值对应.一(2)注意定义中的集

4、合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合:(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识(1)函数y=/(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；_(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.一(3)互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.一三、经典例题导讲_ 例 口 设M=a,b,c ,N=-2,0,2)，求(1)从M到N的映射种数；_(2)从M到N的映射满足/(a)/(b)Z f(c),试确定这样的映射/的种数.一错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对

5、概念认识不清一正解：(1)由于M=a,b,c ,N=-2,0,2 ,结合映射的概念，有.一共有2 7个映射_ci-0 (X -2 a-2 a-2/0,c f 0(2)符合条件的映射共有4个，伊-2一2,b -2,0CT-2 C T-2 例2 已知函数/(x)的定义域为 0,1 ,求函数/(x +1)的定义域一错解：由于函数/(x)的定义域为 0,1 ,即O W x W l,.1 WX+1 W2 _二/(x +1)的定义域是 1,2 _错因：对函数定义域理解不透，不明白/(x)与/(“(X)定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：/(x)中x取值的范围与/(%)中式子”(X)的取值范围一致就

6、好了.一正解：由于函数/(x)的定义域为 0,1 ,即04 x4 1；./(x +l)满足.0 4x +1 41 _-14 x4 0,二/。+1)的定义域是-1,0 _ 例 3 已知：x G/(x)=X 5(-6),求/(3)._/(x +2)(x 6)错解：/(x)=4，.，./(x +2)=(x+2)5=x 3/(x +2)(x 6)故/)=。，,/=33=0._x-3 (x 6)错因：没有理解分段函数的意义，/(3)的自变量是3,应代入/(x +2)中去，而不是代入x-5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：/(x)=6)(x 6)-./(3)=/(3 +2)=/(5

7、)=f(5+2)=/=7-5=2 例4已知/)的反函数是尸(x),如果/(x)与 广/)的图像有交点，那么交点必在直线y=x上，判断此命题是否正确？_错解：正确一错因：对互为反函数的图像关于直线y=x对称这一性质理解不深，比如函数一 =)与丁=吗的图像的交点中，点(,；),(；(不 在 直 线y=x上，由此可以16说 明“两互为反函数图像的交点必在直线y=x上”是不正确的.一 例 5求函数 y=/(x)=x2-4 x+6,x 1,5)的值域._错解：./(1)=124x1+6=3,/(5)=524x5+6=1 1又了0,5),二/()的值域是3,11)错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值

8、都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围/._正解：配方，得y=/(x)=X?-4 x +6=(x-2)2+2V x e l,5),对称轴是x=2.当x=2时，函数取最小值为/(2)=2,_/(X)0)Jx=u-I(u 1)./()=(-1)2+2(-1)=2 -1 (W1)f(x)=x2-1(X 1 )(3)由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解.用,代x可得：/(-)+2/(x)=a-,XXX与/(x)+2/(-)=ax _X联列可消去了(L)得：/(x)=-x 3 x 3点评：求函数解析式(1)若己知函数/(x)的类型，常采用待定系数法；(2)若 已 知/

9、g(x)表达式，常采用换元法或采用凑合法：(3)若为抽象函数，常采用代换后消参法.一 例8 已知32+2/=6 x,试求/+V的最大值.一分 析：要 求/+y2的 最 大 值，由 已 知 条 件 很 快 将/+y2变 为 一 元 二 次 函 数/。)=一(一3)2+1,然后求极值点的方值，联系到y 2 2 o,这一条件，既快又准地求出最大值.一解 由 3*2+2).=6%得 一23 2 cy =x+3 x.23 y2 0,/.-%2+3 x 0,.0 x 0,x 0),求 f(x)的表达式.a-1 x28 .已 知 函 数/(X)是 函 数 丁=广 工 1 (X ER)的反函数，函 数 gQ)

10、的图像与函数4 3 xy=的图像关于直线y=x 1 成轴对称图形，记尸(x)=/(x)+g(x).x-1(1)求函数F (x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F (x )的图像上是否存在两个不同的点A、B,使直线A B 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.2.2函数的性质一、知识导学1 .函数的单调性：(1)增函数：一般地，设函数y =/(x)的定义域为I,如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值X,.X 2,当x(x2时，都有f(x1)f 8),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.(3)单调性(单调区间)如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么

11、就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2 .函数的奇偶性：(1)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数.(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3 .函数的图像：将自变量的一个值X。作为横坐标，相应的函数值f(x。)作为纵坐标，就得到平面内的一个点(x,f(x。)，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集

12、合(点集)组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识导析1 .对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函 数 y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2 .对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f G x)=f (x)和 f (-x)=-f (x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可

13、得函数f (x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,者灯f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3 .用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲 例1判断函数y=(；尸的单调性.错解：.()；l,:.y =(；)-*是减函数错因：概念不清，导致判断错误

14、.这是一个复合函数，而复合函数的单调性(或单调区间),仍是从基础函数的单调性(或单调区间)分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为y=3、，从而可判断出其单调性.正解：令f=则该函数在R上是减函数，又.()；1,.?=(；)在R上是减函数,y=()r是增函数 例2判断函数/(x)=(1+x)J 的奇偶性.Vl+xf(-x)=V l-x2=/(x)上 工 是 偶函数1 +X/(x)=(l+x)错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个X,都 有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解:/

15、(%)=(1+x)J 有意义时必须满足 V 1 +x 1 +x0=-1X 3 x,即 V+x-60解得x2或 K-3又/Xx)是定义在(一3,3)上的函数，所以2 x 3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.0 x 6 x 正解:由3 x 33.3一3 3-/,即 X+A60,解得 x2 或底一3,综上得 2/6,即 4=3 2 底 而 ,例6作出下列函数的图像(l)y=|x-2|(x+l)；y=10叫分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思解：当 x22时

16、 即 x-2 2 0 时，1 9y =(x-2)(x+l)=x2-x-2 =(x-)3当 xV2时,即 X-2 V 0 时,C 1 c 9y =-(X -2)(x+l)=-x2+x+2 =-(x-)2+-.(x-g)2-g (x 2)所以y=2 4I o M-U-)2+-(x 2)这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当 x e l 时,l g x 2 0,y =1 0 1 g x=x；y =l Q l =1 0 =1 0 =1.当 O V x V l 时，I g x V O,Xx,x A,y =1y o x i.所以 1 X这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比

17、例函数作出.（见图）点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意X,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.例 7 若 f（x）=竺 聚 在 区 间（-2,+o o）上是增函数，求 a的取值范围尤+2解：设一2cx 冗2，/（西）_/（%2）axx+1 ax2+1%+2 x2+2(ax+l)(x2+2)-(ax2+l)(x)+2)(X)+2)(X2+2)(ax/2+2 玉 +尢2 +2)(axx2+2ax2+玉 +2)(x,+2)(x2+2)2a-x,-2ax?

18、4-x2(2Q-1)(-x2)(玉+2)(X2+2)(x,+2)(X2+2)由必入)=竺之在区间(-2,+o o)上是增函数得x+2/(X j)-/(X2)0:,a；点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，I可到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳喑花明又一村”的感觉.例8已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，当且仅当0 水1时f(x)0,且对任2意 x、ye(1,1)都有 f(x)+Ay)=A、土上)，试证明：1 4-xy(l)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(一L 1)上单调递减解：证明：由-(才)+明=()，令 产产0,得f(0)=0,令 片 一X,得F(x)+

19、f(一1 +孙X)=/(手 十二,广工一人一0二手为奇函数.1-X2(2)先证先x)在(0,1)上单调递减.令 0 汨 矛2 1,贝 I J（加 一F（X l）二 F（X 2）+f（1）=A ）及0,1 为X 2 0，0,1 -XjX2又(必一汨)(1 X 2 X 1)=(X 2 1)(小 +1)0工热一为1 一 心 汨,.0 厂 内 1,由题意知 A%2%|）0,(力在(0,1)上为减函数,又一X)为奇函数且/XOhO./1(力在(-1,1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高.如果“赋值”

20、不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.对于(1),获得/(0)的值进而取尸一了是解题关键；对于(2),判定互 迎 的范围是解题的焦点.1 -X|X2四、典型习题导练1 .某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()2 .若函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0 上是减函数，且/(2)=0 ,则使得/(幻 0 的工的取值范围是()A.(-o o,2)B.(2,+o o)C.(8,2)U(2,+o o)D.(-2,2)3 .若函数/(x)=lo g”(x+y/x2+2a2)是奇函数，则

21、 a=.4 .已知y =/(x)是定义在R上的单调函数，实数为彳 2，%.+Ax+Ax.=若(x j /(4)1 (。)一/(01，则()1 +/t 1 +/iA.2 0 B.A =0 C.0 2 1.5 .已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x e (0,+o o)时，f(x)x(l+/x),求/(x).6 .已知函数/(x)的定义域为R,且对卬、CR,恒有/(研，(而+人。)一1，且/1(一,)=0,2当 X 一,时，f(x)0.2(1)求证：/(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7 .已知函数万f(x)=X+1(a,6,c GR,a 0,6 0)是奇函

22、数，当 x 0 时，f(x)有最小值2,bx+c其 中 6 G N 且/2(1)试求函数/(x)的解析式；(2)间函数/X x)图像上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.2.3 基本初等函数一、知识导学1 .二次函数的概念、图像和性质.(1)注意解题中灵活运用二次函数的一般式/(x)=a x 2+b x +c (。工0)二次函数的顶点式/(x)=a(x-/”)2+(4 力0)和二次函数的坐标式/（x）=a（x-X 1）（x-X 2）（awO）（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配

23、方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解./（x）=a x?+人 x +c （awO）,当 =/-4 a c 0时图像与x 轴有两个交点.M （x i,0）N（X 2,0）,|M N|=|XI-X 2 1=.I a I二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2 .指数函数y=ax（a Q,a*1）和对数函数y =log x（a O,a声1）的概念和性质.（1）有理指数塞的意义、塞的运算法则：am-an=am+n；）=a；（ab）n=anbn（这时m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.Mlog”（M.N）=log M+log“N;log”

24、=log M-log Nlog M=n logu M;loga V/W=-log M；loga b=g l bn iogr a（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.指数函数图像永远在x轴上方，当 al时，图像越接近y轴，底数a越大；当 0 l 时，图像越接近x 轴，底数a 越大；当（K a l 时，图像越接近x 轴 底 数 a 越小.3 .嘉函数旷=%的概念、图像和性质.结合函数y=x,yx,y=x,yy=x”,y=x2,的图像，了解它们的变化情况.a0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在 区 间（0,+8）上是增函数；注意a 1与（Ka VI的图像与性质的

25、区别.a l 时，指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1 .二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2 .幕的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：(1)式子叱=a,l o g/M+N)=l o g.M+l o g“N;l o ga(M -N)l o gf l M-l o gf l N3 .利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4.函数y=af M的研究方法一般是先研

26、究/(x)的性质，再由a的情况讨论y=小 介的性质.5 .对数函数y=l o g,x(a 0,a丰1)与指数函数y=ax(a Q,a丰1)互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.6.幕函数y=x的性质，要注意a的取值变化对函数性质的影响.奇偶(1)当 a时，幕函数是奇函数；(2)当a时，幕函数是偶函数；(3)当a奇福时，定义域不关于原点对称，基函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲 例 151 89 =0,1 8*=5,l o g3 64 5错解：；1 8=5,.0 4 5 =啕8 4 5 =+*9 =b+a-l o g1 8 3 6 l o g1 84 +l o gl 89 l o gl 84

27、 +a错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：1 8=5,.1 0 81 8 5 =61 0 仃=l g”4 5 =喻5 +嘀9 b+a3 6-1-36-l o g1 84 +l o g1 89-l o g i g(1 8)2+4b+a _ b+aO 1zl 8 2-a2 1 0 g l 8(5)+。例2 分析方程/(x)=a x2+b x+c =0 (a0)的两个根都大于1的充要条件.错解：由于方程/(x)=a r 2+8x+c =0 (a0)对应的二次函数为/(x)=ax2+次+c的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可./(1)0故需满足 1.2a/(D 0，所以充要条件是I b-1、2a

28、错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1,却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与X轴有交点才行，即满足()，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.7(1)o正解：充要条件是4 -b i2a =b-4ac 0 例3 求函数y=3 6”1 2 一 5的单调区间.错解：令6 =，则 y=3 6 -1 2-6 -5 =/1 2 1 5.当t2 6,即x?l时，y为关于t的增函数，当tW6,即x W l时、y为关于t的减函数函数y=3 6x-1 2-6x-5的单调递减区间是(8,6 ,单调递增区间为 6,+8)错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解

29、：令6 =f,贝卜=6 为增函数，y=3 6*-1 2 6 -5 =产1 2 -5 =-6 -4 1，当t2 6,即xl H寸，y为关于t的增函数，当tW6,即x W l时，y为关于t的减函数.函数y=3 6,1 2 -6X-5的单调递减区间是(-叫1 ,单调递增区间为 l,+o o)例4 已知y=l o g(2-a x)在 0,1 上是X的减函数，则a的取值范围是错解：y=l o g a(2-a x)是由 y=l o g”，=2-a x 复合而成，又a 0“=2-a x在 0,1 上是龙的减函数，由复合函数关系知=1 0 8”“应为增函数，.。1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数

30、复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在 0,1 上有意义.正解：y=l o g a(2-a x)是由 y=l o g“，=2-a x 复合而成，又a 0.=2-a x在 0,1 上是尤的减函数，由复合函数关系知了 =1 0 8应为增函数，。1又由于X在 0,1 上 时y=l o g”(2-a x)有意义，M=2-a x又是减函数，,x=1时，“=2 a x取 最 小 值 是=2-。0即可，a 2综上可知所求的取值范围是1 0,对一切 x e 0,2恒成立，,3显然，函数g(x)=3-a x在 0,2上为减函数，从而g(2)=3-2。0得到。V 23的取值范

31、围是(0,1)u(1,-)2(2)假设存在这样的实数a,由 题 设 知/=1,即/(l)=log(3“)=13 3-此时/(x)=loga(3-x)当x=2时，/(x)没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.1 +2、+4a 例6已知函数F(x)=lg：,其中。为常数，若当(8,1时，F(x)有意-a+1义，求实数a的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难

32、，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识。与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：1+f +4 a*,且 a2-a+i=(a-_L)2+o,a1-a +2 41 +2*+4*a0,a-(+),4 T当xG(-8,1时，尸J _与 尸J _都是减函数，4r 2X片(口-+)在(-8,i上是增函数，(_!_+3,4A 2A 4*2A 4a -3-,故&的取值范围是(一 3士，+8).4 4点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.

33、本题主客换位后，利用新建函数产-(1-+-)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了4*T实数a的取值范围.此法也叫主元法.例7若5+1)一 0 0.。+1 3 2。+10 3 2a 3 2。+1 0.2 3解三个不等式组：得一v v ,无解，V-13 22 3的取值范围是(一8,1)u (,)3 2_点评：哥函数y=；有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为+1 3-2，从而导致解题错误.例 8 已知 a 0 且,f (l o g a x )=(x )C l-1 X 求 f (x);(2)判 断 f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于 f (x),当 x e (1 ,1)时，有

34、f (1 m )+f (1 n r )1 时,0,a-1a-1“(x)=相-为增函数，当0 1 或0 a 1,f(x)在 R 上都是增函数.f (1 -团)+/(I -机2)0,/(x)是奇函数且在R上是增函数,.J(1 -阳)/(也 2 -1),又V x G (-1,1)-1 l-m 1-1 加2 一 1 1 =1 m v 72.-m 1,/?0C.0 0B.a,h 0D.0 t z 1,/?02、已知 2 1 g (x 2 y)=I g x+l g y,则小的值为()yA.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 83、方程 l og(x +l)+x 2 =2 (O a C 4的n依次为()

35、A.-2,22 2B.2,22 2C.,2,2，2 2D.2,L -2,-12 27.若 x 满足2(l og|x)2-1 4 1 og 4 X +30，求 f(x)=l og 2 g 1 og 交叱最大值和最小值.2 2 28.已知定义在R上的函数/。)=2+/，。为常数(1)如果/(x)=/(-X),求 a 的值;(2)当/(x)满 足(1)时，用单调性定义讨论/(x)的单调性.2.4 函数与方程一、知识导学1 .函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数y =/(x)(xe。)我们称方程/(x)=0的实数根x也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程/X x

36、)=g(x)的根或根的个数就是求函数y =/(x)-g(x)的零点.2 .函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数y =/(x)(x e。)的图像与x轴交点的横坐标就是/(x)=0的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y=A x)与尸g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程y =/(x)-g(x)的图像与x轴交点的横坐标.3.判 断,个函数是否有零点的方法：如果函数y =/(x)在区间 a,b 上图像是连续不断的曲线，并且有/(a)/()(),那么，函数y =/(x)在 区 间(a,b)上至少有一个零点，即至少存在一个数c e(a,3使得/(c)=0,这 个c也就是方程/(x)=0的

37、一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助y =/(x)图像判断解的个数，或者把/(x)写成g(x)-h(x),然后借助y =g(x)、y =h(x)的图像的交点去判断函数于(x)的零点情况.4.二次函数、元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数y +8x +c的零点，就是二次方程a x?+%x +c =0的根，也是二次函数y =ax2+6 x +c的图像与x轴交点的横坐标.5.二分法：对于区间 a,b 上的连续不断，且的函数y =/(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难知识导析1.关于函数y =/(x)-

38、g(x)的零点，就是方程/(x)=g(x)的实数根，也就是y =/(x)与函数y =g(x)图像的交点的横坐标.要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数y =/(x)=4/+b x +c ,在闭区间次n上满足(m)/(”)0h应满足：2a/(，)o/()o4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是(1)取一个 区 间(a,b)使/(a)/(/)0(2)取区间的中点，x0=-(3)计 算/(%)，若/(%)=(),则/就 是/(x)=0的 解，计 算 终 止；若/()-/U o)-则解位于区间(。,不)中，令q=a,4=玉)；若0 f(-2)2-2 +3-a 01/2 0 22+2 a +3-

39、a 07解得。的取值范围为一7 4a 4 3错因：对二次函数/(幻=。/+/+。当xeR上/(X)0恒成立时，()片面理解为，ax2+bx+c0,x w 2,2 恒成立时，()；或者理解为J(一之)八2)2 0这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.正解：设/(x)的最小值为g(a)7(1)当一4 时，g(a)=/(-2)=7 3。2 0,得 故此时。不存在；2(2)当事 2,2即一4 W。W 4 时;g(a)=3。一不 2 0,得一6 a W 2又一4W W 4,故一4W 2即。一4时;g(a)=/(

40、2)=7+a 2 0,得。2 7,又。一4故一7 W a/(1)0得机 -2错因：对于一般/(x),若/(a)S)0,那么，函数y =/(x)在 区 间(a,b)上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数/(x),若/(a)/(%)/()0,也有可能4 0 .如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知/(x)=0在 区 间(a,b)上有且只有一根，但是 /()-/0)0,有两种可能情形/(I)0得 加 一2或者/(1)=o且0 -L 1得机不存在2m综上所得，m 00 即此不等式无解/(2)=4+2(2 女3)(31)0即不存在满足条件的k 值.错因：方程两根都在0与 2 之间，

41、根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在 区 间(0,2)内.正解：令/(元)=入+(2左一3)%一(3 2-1)那么由条件得到A=(2JI-3)2+4(3Z:-1)0/(O)=l 3 k 0/(2)=4+2(2女_3)_(3女_1)0即4k 2+5 20k l即不存在满足条件的k 值.例5 已知二次函数/(%)=0 2+公+。对于|、X s e R,且 X 1 V X 2 时/(x,)/(x2),求证：方 程/(了)=；(勺)+/()有不等实根，且必有根属于区间(X l,%2).解：设 F (x)=f(x)-jf(x,)+f(x2),则方程/W=1 /(x,)+/(x2)与

42、方程 F (x)=0 等 价,-*F(X,)=/(占)一3 (芯)+/(2)=3 (王)一/。2)F (尤。=/(X2)-1 /(X,)+/(X2)=1-/(X,)+/(X2)F (x D-F (x2)=-f(xl)-f(x2)2,又/(占)*/()；.F (x,)F (X2)0故方程必有一根在区间(X i,JO)内.由于抛物线y=F (x)在 x轴上、下方均有分布,所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，从而方程有两个不等的实根，且必有一根属于区间(h,x2).点评：本题由于方程是/(X)=；(/)+)，其中因为有了(X)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程

43、的根的联系，误认为证明/(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证/(x j/()0,使本题没法解决.本题中将问题转化为F(x)=/(x)g (x j +/(x2)的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.例6试确定方程2x 3-一4+2=0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数/(x)=2x3-%2-4 x +2,浦 /(x)的自变量x取整数值时的函数值,根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令/(%)=2/一/4工 +2/(-3)=-5 4-9+1 2+2=-4 9 0/(-2)=-1 6-4+8+2=-1 0 0/(0)=0-0

44、-0+2=2 0/(1)=2-1-4+2=-1 0根据/(一2)/(-1)0,/(0)/(1)0,7(I)/(2)0可知/(x)的零点分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间(一2,一1)内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.2x3-x2-4 x +2=X2(2x-1)-2(2x _ 1)=2(x -1)(x2-2)=2(x-)(x +V 2)(x-V 2)2所以 2 d f-4 x +2=0 有三个根：-,V 2,-V 22

45、 例7 设二次函数/(x)=a x 2+法+c(aO),方 程/(x)-x =0的两个根匹,2，满足0 X x2 0,又 a 0F(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x _%)0 即 (X x)(l -ax2)0 x x2 0,1 ax2 0阳一/(%)0综合得x /(x)Mb(2)依题意知 x0=,又 X +A?b _ a(xl+1 2)-1 _ +a x2-1点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即XQ-例 8已知函数/(x)=/+2 +c(c /?l),/X

46、 l)=0,且方程/(X)+1 =0 有实根.(1)求证：-3 c W-l,b20.(2)若 m是方程/(x)+1 =0 的一个实根，判断/(m-4)的正负并加以证明分析：(1)题中条件涉及不等关系的有C /?-C2解得3c 4(c +l)20 解得 c N 3 或 c4 1c +1-3cl,由b=得 20.2(2)f(x)=x2+2bx+c =x?-(c +l)x +c =(x-c)(x-1)V/(m)=-l 0,.,.c m l (如图)/A c 4 m 4 3 1 C.l a lD.0 a 0,f(l)0,求证：L c i(l)a 0 且 2V V-1；h(2)方程f(x)=O 在(0,

47、1)内有两个实根.8 .已知二次函数 f(x)=a x?+bx+c.(1)若 a b c 且 f(l)=0,证 明:f(x)的图像与X 轴相交；(2)证明：若对XI、X 2 G R,且 f(XI)f(X2),则方程/(X)=/(*1+(”2)必有一实根在2区 间(Xl,X2)内；(3)在 的条件 下,是否存在实数m,使 f(m)=-a成立时,f(m+3)0.2.5 函数的综合运用一、知识导学1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展.2.以数学知识为

48、载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想.3 .要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例

49、题安排上作了这方面的考虑.4 .函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的.二、疑难知识导析1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力.掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养.初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横

50、向联系，提高综合运用知识解决问题的能力.树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题.2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策：有的读不懂题意：有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题.三、经典例题导讲 例 1 不等式 log“3(3 x2-2 x 4)lo g&2,(x 2-3 x +2).错解：v x2+2 1,3x-2x-4 x?-3x+2,3、2厂+x 6 0,x 一 3)，说明解2法错误.原因是没有弄