导数的综合应用——2021年高考数学专项复习含真题及解析.pdf

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1、专题0 9导数的综合应用考点3 0生活中的最优化问题1.（2 0 1 7 全国卷1 理 1 6）如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5 cm,该纸片上的等边三角形A B C的中心为O.D,E,尸为圆。上的点，DBC,E C4,次8分别是以B C,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以B C,CA,AB为折痕折起 OB C,ECA B,使得,E,F重合,得到三棱锥.当 A8 C的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cn P）的 最 大 值 为.2.（2 0 2 0 江 苏 1 7）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线M N上，桥 A3与 M N 平行，。

2、0为铅垂线（O 在 AB上）.经 测量，左侧曲线A。上任一点。到的距离九（米）与。到0。的距离。（米）之间满足关系式4=-/；右侧曲线8。上任一点尸到M N 的距离h2（米）与尸到00的距离力（米）之间满足关系式/2=-3+6 力.己知点B到O O 的距离为4（）米.（1）求桥A5的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于O O 的桥墩CO和 所，且 CE为8 0 米，其中C,E在 A8上（不包括3端点）.桥墩瓦每米造价攵（万元），桥墩CD 每米造价一人（万元）（%0）,2问O E为多少米时，桥墩C）与 所 的 总造价最低？A C O E BDiOMN考点3 1利用导数解决恒成立问题与探索性问题1

3、.(2 0 1 9天津理8)已知aeR,设函数/(x)=卜一2 央+2。,“4 1,若关于左的不等式/(。在氏上x-an x,xl恒成立，则。的取值范围为A.0,1 B.0,2 C.0,e D.l,e 2.(2 0 1 4 辽 宁)当XG 2,1时，不等式O?X2+4X+3NO恒成立，则实数”的取值范围是().,9A.5,-3 B.6,C.6,2 D.4,3 83.(2 0 2 0 全国 I 理 2 1)已知函数/(x)=e +G：2 一x.(1)当a =l 时，讨论/(力的单调性；(2)当xNO时，/(x)|x3+l,求a的取值范围.4.(2 0 2 0 全国 I I 文 2 1)已知函数

4、x)=2 1 n x +l.(1 )若 f(x)K 2 x+c,求 c的取值范围；(2)设a0,讨论函数g(x)=/J)一/(“)的单调性.x-a5.(2 0 2 0 山东 2 1)已知函数,f(x)=4 e T-I n x +l n a .(1)当a =e 时，求曲线y =/(x)在点(1 ,/(1)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积;(2)若 f(x)2 1,求 a 的取值范围.6.(2 0 1 9 全国 I 文 2 0)已知函数/(x)=2 s i i i r-x c o s x-x,ff(x)为 f Q x)的导数.(1)证明：ff(x)在 区 间(0,兀)存在唯一零点；(2)若

5、x 0,兀 时，f(x)a x,求。的取值范围.7.(2 0 1 7 新课标 I 文 2 1)已知函数/(x)=e*(e a)a?.(1)讨论/(x)的单调性；若/(x)20,求a的取值范围.8.(2 0 1 7新课标H)设函数/(*)=(1 一)炉.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当x 2()时，/(x)ax +l,求 a 的取值范围.9.(20 1 7 全国卷 3 理 21)已知函数/(x)=x 1-al n x.(1)若 f(x)N 0,求 a 的值;(2)设?为整数，且对于任意正整数,1 +I 0 时，(x-k)f x)+x+10,求&的最大值1 4.(20 1 1 全国课标理2 1

6、)已知函数/(幻=如 土 +2,曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线方程为X +1 Xx +2 y-3=0.1；(I )求。，的值;In y r k(II)如果当X 0,且XW1时，/(幻 +士，求 Z的取值范围.x-1 X1 5.(20 1 9 全国i n 理 2 0)已知函数/(*)=2由一0?+0.(1)讨论/(X)的单调性；(2)是否存在 使得/(x)在区间0,1 的最小值为一1 且最大值为1?若存在，求出。涉的所有值;若不存在，说明理由.1 6.(20 1 9 浙江 2 2)已 知 实 数 设 函 数/(x)=al n x +J x +l,x O.(1)当a=:时，求函数/(

7、x)的单调区间；(2)对任意 ,小)均有/(x),求a 的取值范围.e-2a考点3 2利用导数解、证不等式问题1.(20 20 全国 n理 2 1)已知函数/(x)=si n 2x si n 2xr.(1)讨论了(力在区间(0,%)的单调性;(2)证明：|/(小哈(3)设EN，证明：si n2x si n22x si n24x si n22nx h(x)g(x).(1)若/(x)=%2+2x ,(x)=-x2+2 x,D=(-o o,+o o),求(x)的表达式；(2)若/(%)=%2一 工 +1,g(x)=A:l n x,h(x)=k x-k ,D -(0,+o o),求 4 的取值范围.；

8、(3)若/(尤)=/2 f,g(x)=4%2-8,h(x)=4(Z3-t)x-3 t4+2f2(0 t 7 2),D -m,n a-V 2,A/2,求证：n-m x,有 ()+(*)/0)二小)2x,x25.(2020浙江2 2)已知1。2,函数/(力=6*7-“，其中e=2.71828为自然对数的底数.(I)证明：函数y=/(x)在(0,+8)上有唯一零点；(II)记 xo为函数y=/(力在(0，+8)上的零点，证明:(i)Ja-1 x0 (e-1)(。-l)a.6.(2015新 课 标 I 理 1 2)设函数/(x)=e(2 x l)a x+a,其中a l,若 存 在 唯 一 的 整 数

9、使 得/(x0)0 时，x f(x)-/(x)0 成立的x 的取值范围是A.(oo,l)(0,1)B.(1,0)(l,+oo)C.(oo,l)(1,0)D.(0,1)(1,-Ko)8.(2018 全国卷 3 理 2 1)已知函数/(x)=(2+x+or”n(l+x)-2x.(1)若 q=0,证明：当-1 X V0时，/(力 0 时，f(x)0；(2)若x=0 是 x)的极大值点，求”.9.(2018全国卷3 文 2 1)已知函数/(X)+x 1(1)求曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明：当时，/(x)+e0.10.(2018 全国卷 1 理 21)已知函数/(x)=-x

10、+q ln x.x(1)讨 论 的 单 调 性；(2)若/(x)存在两个极值点玉,马，证明：与)7 0.求。；(2)证明：/(%)存在唯一的极大值点与,且 f(x0).13.(2017 新课标HI文 21)已知函数/(x)=ln x +ox2+(2a+l)x.(1)讨论/(%)的单调性；3(2)当a 0时，证明f(x)W-2.4a14.(2016 年全国 HI 卷)设 函 数/(x)=ln x x+l.(I)讨论/(无)的单调性；(H)证明当xe(l,+oo)时，1二 一 l,证明当x e(O/)时，l+(c l)x c.15.(2015 全国 1 文 2 1)设函数/(x)=e2*-a ln

11、 x.(I)讨 论 的 导 函 数/(x)的零点的个数；2(I I)证明：当a 0 时/(x)Z 2 a +aln.hex 16.(2013全 国 卷 1 理 12)设函数/(x)=ae1nx+，曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线为xy=e(x-l)+2.(I)求。力；(I I)证明：f(x)1.17.(2013 全国卷 2 理 2 1)已知函数/(x)=e-ln(x +m).(I)设x=0 是/(x)的极值点，求？，并讨论/(x)的单调性;(II)当 m W2 时，证明：/(%)0./In x h18.(2011全国课标文2 1)已知函数/(x)=+,曲线y=/(尤)在 点(1,/

12、(1)处的切线方程为x+1 xx 4 2y 3=0.(I )求 a,6 的值;In Y(II)证明：当犬 0,且x w l 时，/(%)-.x-11 9.(20 1 0 全国课标文 2 1)设函数/(x)=x(e -1)一 ax?.(I )若a=；,求/(x)的单调区间；(II)若时/(x)0”求 a 的取值范围20.(20 1 6 年四川)设函数/(x)=ax 2 _。一 n x ,其中a e R.(I)讨论/(x)的单调性；(II)确定。的所有可能取值，使 得/*)一/一 在区间(l,+o o)内恒成立(e=2.7 1 8 为自然对数的x底数).21.(20 1 5 山东)设函数/(x)=

13、l n(x +D +a(x 2-x),其中 a e R.(I )讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由；(II)若 V x 0,/(x)N 0 成立，求a 的取值范围.考点3 3 利用导数研究函数零点问题1.(20 20 全国 I 文 2 0)已知函数/(x)=e -a(x+2).(1)当。=1 时,讨 论 尤)的单调性;(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.2.(20 20 全国HI文 2 0)已知函数/(x)=x 3 一日+炉.(1)讨论“X)的单调性：(2)若/(x)有三个零点，求左的取值范围.3.(20 1 7 全国卷3,理 1 1)已 知 函 数=2+以 6 1+/山)有唯一

14、零点，则 a=()1 1 一 1A.-B.C.D.12 3 24.(20 1 4 卷 1理 1 1)已知函数/(x)=a?-3/+,若/(x)存在唯一的零点小,且x。，则。的取值范 围 为()A .(2,+8)B ,(-8,_ 2)C .(1,+8)D.(-8,/)5.(20 1 9 全 国 I 理 2 0)已知函数/(x)=si n x-l n(l +x),广(力为/(%)的导数,证明：(1)尸(X)在区间(一1，1)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2 个零点.X +6.(20 1 9 全国n理 2 0)已知函数/(x)=l n x-.x-1(1)讨论段)的单调性，并证明A x)有且

15、仅有两个零点;(2)设xo是兀0的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(xo,In xo)处的切线也是曲线y=e*的切线.7.(2018全国卷2 理 2 1)已知函数/(x)=e*-x2.(1)若 4=1,证明：当 X20 时，/(x)l;(2)若 f(x)在(0,+8)只有一个零点，求 a.8.(2018 全国卷 2 文 2 1)已知函数/(6 =；_?-4(/+了 +1).(1)若a=3,求/(x)的单调区间；(2)证明：/(x)只有一个零点.9.(2017 全国课标 1 理 2 1)已知函数/(x)=ae2x+(a-2)e x.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求 a

16、 的取值范围.10.(2016年全国I 理.2 1)已知函数/(x)=(x 2)/+a(x 1了有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设匹，是/(X)的两个零点，证明：Xt+x2 0),讨论(x)零点的个数.1 3.(20 1 4 全国卷2 文 21)已知函数/(%)=?-3 尤 2+以+2,曲线y=/(x)在点(0,2)处的切线与X轴交点的横坐标为一 2.(I )求 a；(I I)证明：当&/(力+对于任意的入 0）,则设“(X)=5 x -4/，x 0,则=2 0J?,令(x)=0,即4炉-吃=0,得X=46，易知(X)在x =46处取得最大值.v 3*-V n ax =x48x/

17、5 4=4 V i5 .2.（2 0 2 0 江 苏 1 7）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线上，桥 AB 与 M N平 行,。0为铅垂线（O 在上）.经测量，左侧曲线A。上任一点。到的距离%（米）与。到00的距离。（米）之间满足关系式=看/；右 侧 曲 线 上 任 一 点 尸 到 的 距 离力，（米）与尸到。的距离8 （米）之间满足关系式叫=-by+6 b.己知点3到00的距离为4 0 米.一 8 0 0（1）求 桥 的 长 度；（2）计划在谷底两侧建造平行于。0的桥墩CD 和 后户，且 CE为8 0 米，其中C,E在上（不包括3端点）.桥 墩 每 米

18、 造 价 （万元），桥墩CO每米造价一人（万元）（攵（）,2问。后为多少米时，桥墩CQ与 EE的总造价最低？【答案】（1）桥 A3的长度为1 2 0 米；（2）0 为2 0 米时，桥 墩 与 E 厂的总造价最低.【解析】（1）过 A，8分别作M N 的垂线，垂足为A，3，则=BB=-X403+6X40=160.8 0 0令,“2=1 6 0,得a=80,AO=80,AB=AO+BO=80+40=120.400 x 40(2)设O =x,则CO=8 0-x,由 八 八 八得0 x40.080-x 0，.,.令y=0,得x=0或20，-8 0 0 800.当0 x20时，y 0,y单调递减；当20

19、 x 0,y单调递增，.当x=20H寸，y取最小值，造价最低.考点3 1利用导数解决恒成立问题与探索性问题1.(2019天津理8)已知a e R,设函数/(x)=/-若关于x的不等式/(幻之0在R上x-anx,x l恒成立，则的取值范围为A.0,1 B.0,2 C.0,e D.l,e【解析】当x=l时，/(1)=1 2。+2。=10恒成立；2当时，/(x)=x2-2ax+2a JO 2a 恒成立，x 1/、r2令 g(x)=-7X 1所以2z7.g(x)=0,即0.0 /max_ X当尤1时，/(x)=x-aln x国 恒成立,Inx令 皿=导 n x-x-则 飞才lnx-1(lnx当x e时

20、，/(x)0,递 增,当Iv x v e时,7f(r)v0,/z(x)递减,所以当x=e时，取得最小值(e)=e.所以 明，Mx)mi n=e-综上，a的取值范围是0,e.2.(2 0 14辽宁)当工 一2,1时，不等式0?一X2+4犬+3 2 0恒成立，则实数的取值范围是()/9A.5,3 B.-6,C.-6,-2 D.-4,-3 8【答案】C【解析】当 X G(0,1时，得a 2-3()3 4()2+,令 f=L,则 fel,+oo),X X X X。少一3户一4产+才,令g(r)=-3 0 4产+f,/el,+oo),则g，(x)=-9/一8，+1 =-+1)(加一1),显然在l,4 w

21、)上，g (f)%3+1,求的取值范围.【答案】当x e(-a),o)时,尸(x)0 J(x)单调递增;【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【解析】当4 =1 时，f(x)=ex+xi-x,/(x)=eA+2 x-l,由 于/(尤)=+2。,故于()单调递增,注意到广(0)=0,故:当XG(Y),0)时,尸(x)0,x)单调递增.由/(X)之一V +1 得,e*+(z x2 X.%3+1,其中 x 2 0 ,.当x=0时

22、，不等式为：12 1，显然成立，符合题意；.当X 0时，分离参数a得,ex-X3 x-12 _X2(1(x-2)-x-1X3.,e%3 x 1、(X)=-g (X)=-令(x)=e x-l(x N O),则/z (x)=e*x 1,/z (x)=-1 0,故(x)单调递增，/i (x)(O)=O,故函数从 力 单 调 递 增,(x)2(O)=O,由/z(x)i()可得：，一;Y x L.O恒成立，故当X G(O,2)时，g (x)0,g(x)单调递增;当x e(2,+oo)时，g (x)0,讨论函数g(x)=到一/.的单调性.x-a【答案】(1)c -l；(2)g(x)在区,间(0,。)和3+

23、0。)上单调递减，没有递增区间.【思路导引】(1)不等式/(x)2 x+c转化为/(x)2 x c 0,构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；(2)对函数g(x)求导，把导函数g (x)的分子构成一个新函数，(x),再求导得到方(x),根据加(x)的正负，判断m(x)的单调性，进而确定g (x)的正负性，最后求出函数g(x)的单调性.【解析】(1)函数“X)的定义域为：(0,+),/(x)/(x)-2 x-c 2 1nx+l-2 x-c 0),则有 h(x)=-2 =,x x当x l时，(x)O,/z(x)单调递减；当()x O,(x)单调递增，.当x=l时，函数(x)有最

24、大值，即以X)m ax=(l)=2 1 n l+l 2 xl-C=-l -C,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需(X)max -l-CC-l.(2履(幻=2 1 g+1-(2睢-1)=2(1皿-1标%0且.也因.(幻=2(门 门 加),x-a x-a xx-a)-设m(x)=2x a xnx+xna),则有m(x)=2(ln a-ln x),当xa时，ln x ln a,；./”(x)0，皿x)单调递减，因此有机(x)/“(a)=(),即g(x)0,.g(x)单调递减;当 0 x a 时，ln x 0,Mx)单调递增，因此有相(x)机(a)=0,即 g(*0,设 g(x)=/(x),

25、xQ g(x)=+-V 0,二 g(x)在(0,+oo)上单调递增，即 f(x)在(0,+oo)上单调递增，X当a=l 时,%=1 使得r(x()=a e*T-=,%1 l-i 1 1-1当时，一 l,e )/(l)=a(e -l)(a-l)0 ,a a1 l-i 1 l-i当0a l,e“1 ./(-)/=a(e -l)(a-l)0 ,使得了 (/ae-=0,:.a eX n =,l n a +x0-1 =l n x0,九 0X。当 X (0,/)时/(X)V ，当 X W(/，+8)时/(X)0，因此/(x)m i n =/(%)=与 t-I n x。+l n =+I n 6 r+xo-l

26、 +l n 6 r 2 1 n a-l+2 -x0=2 1 n a +l,%V%Q f(x)=Q，一I n x+l n a 1 对 x 0 恒成立，2 1 n+l 1 /.I n 6 f 0,6 t 1.6.(2 0 1 9 全国 I 文 2 0)已知函数/(x)=2 si a rxc o sxx,f(x)为/(x)的导数.(1)证明：fr(X)在 区 间(0,7 1)存在唯一零点；(2)若 x 0,兀 时，f(x)ciX y求 a的取值范围.【解析】(1)设 g(x)=/(%)，贝 ij g(x)=c o sx+xsi n x l,g (x)=xc o sx.当xw(0,5)时，g (x)0

27、；当x e g.T r J 时，g (x)0,g(7 T)=-2 ,故 g(x)在(0,7 1)存在唯一零点.所以f(x)在(0,7 t)存在唯一零点.(2)由题设知/(兀).4 兀,/(兀)=0 ,可得把0.由(1)知，/(X)在(0,兀)只有 个零点，设为%,且当工(0,毛)时，r(x)0；当x e(不，兀)时，/(x)0,则 由f(x)=0得 尤=I n a.当 xe(-o o,l n a)时，f(x)0 所 以f(x)在(-o o,I n a)单 调 递 减，在(I n a,+o o)单 调 递 增.若a0,则 由 尸(x)=0得x=l n(当 l n(4)时，八x)0,则 由(1)得

28、，当x=l n a时，/(x)取 得 最 小 值，最小值为/(I n a)=-&2 I n a .从而当且仅当一/I n a 2 0 ,即 a W l 时，f(x)0 .若a0.即a2 2 e“时/(x)0 .3综上，a的取值范围为8.(2 0 1 7 新课标 I I)设函数/,。)=(1 一 f)e .讨论/(x)的单调性；(2)当x NO时，/(x)W a x+l,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=(l-2 x-x2)ex令/(x)=0得 x-l-y/2 ,x=-+2 .当 xe(-时，r(x)0 ；当 x e(l +0,+o o)时，r u)o.所以/(X)在(一 8,-1 一 夜

29、)，(-1 +JI+8)单调递减，在(一1 一0,-1 +&)单调递增.(2)/(x)=(l +x)(l-x)e 1当 时,设 函 数/(%)=(l-x)e*,h(x)=-xex Q,因此(x)在 0,+8)单调递减，而力(0)=1,故/i(x)4 1,所以/(x)=(x+l)/z(x)x+lW 公+1 .当 0 0(x 0),所以 g(x)在 0,+o o)单调递增，而5(0)=0,故当0 v x (l-x)(l +x)2,(l-x)(l +x)2-a x-l =x(i-a-x-x2),JS-4/7-1 .取与=-,则与 (0,1),(1-XO)(1 +XO)-6 F Xo-l =O ,故/

30、(x0)(1 -xo)(l +Xo)2=1 6 Z X()+1 .综上，a的取值范围是口,+8).9.(2 0 1 7 全国卷3 理 2 1)已知函数/(x)=x-l-a l n x.(1)若/(x)N O,求 的值；(2)设机为整数，且对于任意正整数”，+!)/，求”的最小值.【解析】1)“X)的定义域为(0,+8).若a W O,因为/(g)=-g+a l n 2 0,由1(x)=l 9=上 巴 知，当x 0,a)时，/,(x)0,所以“X)在(0,a)单调递减，在(a,+8)单调递增，故户a 是 x)在(0,+8)的唯一最小值点.由于/=0,所以当且仅当a=l 时，故 a=l.(2)由(

31、1)知当xe(L+x)时，x-l-ln x 0.令x=l+*得ln(l+.卜.从而叫 1 +；+ln；l+*j +呵 J j g+*+*=1-2，所以刑的最小值为3.1 0.(2 0 1 6 年全国 H 文 2 1)已知函数/(%)=(x +l)l nx (工 一 1).(I)当。=4 时，求曲线y=/(x)在。，/)处的切线方程；(1 1)若当%。,+8)时，f(X)X),求。的取值范围.【解析】(I )/(幻 的定义域为(0,+0 0).当。=4 时,/(x)=(x+l)l nx-4(x-l),/,(x)=ln x+-3,/(1)=一 2,/(1)=0.X曲线y=/(x)在(1,/(1)处

32、的切线方程为2 x+j-2 =0.(I I)当 x w(l,+oo)时，/(x)0等价于 l nx-幺 0.冗+1令 g(x)=l nx-幺 ,则x+12 a(X+l)2g 4x+2(1 ci)x+1X(X +1)24 1)=0,(i)当a 2,x e(l,+c o)时，x?+2(1 a)x +1 N x?2 x+1 0,故 g(x)O,g(x)在 X G (1,4-0 0)上单调递增，因此 g(x)0.(ii)当a 2时，令g，(x)=0得%=a-1 -1(a 1)-1,%2 =a I +J (a 1)1 由 彳 2 1 和XX2=1得 X11,故 当 X G(1/2 耐，g(X)C ,g(

33、x)在 X G (1,/)单 调 递 减，因此g(x)综上，a 的取值范围是(-8,2 .1 1.(2 0 1 5 新课标I J 理 2 1)设函数/。)=6研+/_ 祖；1.(I)证明：/(x)在(7,0)单调递减，在(0,+0。)单调递增；(I I)若对于任意司，x2e -l,l ,都有|/(西)一/()|W e1,求加的取值范围.【解析】(I)f x)=m(e,u-l)+2 x.若220,则当 x e (oo,0)时，e-l W0,f x)0.若加 0,f x)0 ：当x e(0,+oo)时，e,u-l 0 .所以，y(x)在(8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(H)由(I)知,

34、对任意的 加,/(x)在 1,0 单调递减，在 0,1 单调递增.故/(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意 再,x2e -l,l ,(%)/(X 2)We 1的充要条件是：f/(D-/(0)e-l em-rn e-个/(-l)-/(0)We-l e T+m W e-l设函数g(f)=e T-e+l ,则g，(/)=e-L当 0时,g(t)0时g(f)0.故g(f)在(-8,0)单调递减,在(0,+8)单调递增.又g(l)=0,g(-l)=e-+2-e 0,故当 1,1 时，g(/)W0.当 时,g(m)0,g(-n i)1时,由g(f)得单调性，g(m)0,即d?e 1；当加 0,即 6-

35、+机e-1综上，加的取值范围是-1,1 .1 2.(2 0 1 3全国卷1理2 1)已知函数/(x)=V+奴+。，g(x)=e cx+d),若曲线y=/(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x +2(I )求a,b ,c,d的值(H)若x2一2时，f(x)k g(x),求1的取值范围.【解析】(I )由已知得/(0)=2,g(0)=2,/(0)=4,g(0)=4,而/(x)=2 x+/?,g(x)=ex(cx+d+c),：.a-4,b=2,c=2,d=2；.4 分(I I)由(I )知，/(x)=f+4 x+2,g(x)=2 e*(x +l),设函数F(x)=

36、(x)f(x)=2 k ex(x +1)-x2-4九 一2 (x 2 ),F(x)=2呢*(X+2)2元 一 4=2(x+2)(k ex-1)，有题设可 得/(0)2 0,即虎之1,令尸(x)=0 得，%,I n k,x2=-2,(1)若 1左 /,则一2 X|W0,.,.当x e(-2,X )时，F(x)0,即 F(x)在(-2,%)单 调 递 减，在(不+8)单 调 递 增，故 尸(x)在x =为 取 最 小 值F(x,),而/(X )=2%+2 x；4%|一 2 百(X 1 +2)N 0,.当X2一2时,F(x)0,即/(X)W依(x)恒成立,若k =e2,则 F x)=2 e x+2)

37、(e*-e 2),.当x 2-2 时,F(x)()，F(x)在(-2,+8)单调递增,而产(2)=0,，当x一2时，F(x)2 0,即/(x)W 4(x)恒成立，(3)若k e2,则 F(-2)=-2 k e-2+2 =-2 e (k-e2)0时，(x%)/(x)+x+l 0,求人的最大值【解析】(1)/(x)的定义域为(-oo,+8),r(x)=/-a.若a W O,则/(x)0,所以x)的增区间为(-oo,+8),无减区间；若a (),则当 x w(8,I n a)时，/,(x)(),所以在减区间为(-8,l na),增区间为(ina,).(H)由于 a=l,所以(x 女)./(力+尤 +

38、1 =(x%乂6*l)+x+l.故当 x 0 时，(x-k)/(x)+x+1 0 等价于k 0),ex-l、7人 /x +1 n,、xex-1 ,e (e -V-2)令g(x)=-+x,则g (x)=-z-+l=-z)/一1 占(elf 丁山(I)知，函数(x)=e-x-2在(0,+8)上单调递增，而力 0,所以%(%)在(0,+8)上存在唯一的零点，故g(x)在(0,+8)上存在唯一零点.设此零点为a,则aw(l,2).当x G(0,a)时,g(x)().所以g(x)在(0,+oo)上的最小值为g(a).又由 g(a),可得e 0=a+2,所以g(a)=a+l e(2,3).y-_ 1_ 1

39、由于A 0)等价于左 0,且X W 1时，/(%)+士，求的取值范围.x-1 x。(一 I n x)【解析】(I)/(X)=T=(尤+1)-b.直线x+2 y 3=0的斜率为一；，且 过 点(1,1),.=1且/=一：，4 =1即 0),则.(.幻r 二1k l)(x2,+1)-+-2-x-X X当攵 0时，由(x)=+D _ 匕 知，当x wl时，/(x)0,可得1 2 力(x)。；当x w(1,+8)时，/i(x)0,1-x“l ”、/I nx 2、口 门 ”、I nx k从而三1 x 0,且 x#1 时，f(x)(-1)0,即 f(x)-1；X 1 x x-1 X当0 女 0,故力(x)

40、0,而力=0,故xe-k(1,一)时，h(x)0,可得一 二/z(x)0,而(1)=0,故当xw(l,+8)时，()0,可得 二/i(x)0,则当 xw(-oo,0),+)时，f(x)(；当 时，f(x)(；当 时，f(x)(.故/(x)在(-c o,1 (0,+oo)单调递增，在,0)单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当 0 时，由(1)知 I,/(无)在 0,1 单调递增，所以/(x)在区间 0,1 的最小值为了 斗，最大值为/(1)=2 。+人.此时”，加满足题设条件当且仅当匕=一1,2-a+bl,即。=0,b =-l.(ii)当硝3 时,由(1)知，/(x)在 0,1 单

41、调递减，所以f(x)在区间 0,1 的最大值为f(0)才,最小值为_ A D =2 a +尻 此时a,6 满足题设条件当且仅当2-a +b =1，6=1,即“=4,b=.(iii)当 0 a 3 时，由 知，/(X)在 0,1 的最小值为/(，=*+从 最大值为6 或 2-。+人若-b Z?=-l,b=,则 Q=3次，与 0 a 3 矛盾.若一二 +/?=1，2。+8=1,则 =36 或 a =3 6或。=0，与 0 。0.3(1)当。=一1时，求函数/(幻 的单调区间；(2)对任意X E 4，+OO)均有/(x)正，求 a的取值范围.e2 a【解析】(1)当。=-时，/(%)=-l n x+

42、V l +x,x 0 .4 4“、3,1 (71 7-2)(2 71 7 +1)4 x 2 j l +x 4 xj l +x所以，函数/(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+0 0).1B(2)由/(1)V ,得 0a2 a 4当0 a4也时，/(%)g Qypl)=-4d+x _ 2 1 n x.(i)当x e 3 +0 时贝Ig(t)g(2 0)=8A/X-40J 1+X _ 2 1 n x.记 p(x)=4G 2 及 Jl +x In x,x 2 ；,则2 1 2 fx/X+1-A/2X-J%+1p 丁 标 丁 时 X7(刀1(l,+8)P (x)0十“（X）p(f单调

43、递减极小值P 单调递增所以，p(x)p(l)=O .因此，g(t)g(2 2)=2 p(x)0.(i i)当 TM)时 g(M 何 一 2.1 左(x+i).令4(x)=2 l n x +(x+l),x -，则/(幻=?2+1 0 ,.e-7J y/x故q（x）在-4，-上单调递增，所以q（无）,，qe-7由（D 得 4（2）=一 乎 夕（；）一 乎 （1）=0.所以，4（无）0.因此 g(f).g由（i）（ii）得对任意x e /，+8 卜te 2 y/2,+O,/(x)单调递增.(2)证明见解析；(3)证明见解析.【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间

44、上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2/(x)=|si n x(si n2 x si n 2x)(si n2 2x si n 4x)(si n22 xsi n 2 x)si n2 2,然后结合的结论和二角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【解析】由函数的解析式可得：/(x)=2si n 3x c o sx,贝h/(x)=2(3si n2%c o s2 x-si n4 x)=2 si n2 x(3c o s2 x-si n2 x)=2si

45、n2 x(4c o s2 x-l)=2si n?x(2c o sx+1)(2c o s x-l),/(x)=0在x e(O,)上的根为：%=。,=,，当时，尸(x)0J(x)单调递增；5)当胤 时，/(x)0,/(x)单调递增.(2)注意到/(X+)=si n2(x+乃)si n 2(%+乃)=si n2 x si n 2 x=f(x),故函数/(x)是周期为%的 函数，结合(1)的结论，计算可得：/(0)=/()=。，据此可得：X)L=叫 小(3)结合(2)的结论有：2si n2x si n22x si n24x si n2 2nx=si n3 x si n3 2x si n3 4x si

46、n 2 x 了2 x si n 2x)(si n2 2x si n 4x)(si n2 2n _ 1x si n 2 x)si M 2 xit 3A/3sinxx-x-x8 83GX-X823s in2 T x )在 1 耳9 2,个，r1卜易得 c(1)=,c(l)=；,41 c 一43 1 Q 1设占为了（X）的零点，则必有/（%）=为 3 一1%+。=0,即一/C =入:+工玉，4 玉3-3 x-=1)(2 玉 +1)2 0或/(1)，或c ；时，/(_ l)=c _；0,/(；)=c +；0,/(；)=c _；0,/(l)=c +；0,乂/(Tc)=-64c3+3c +c =4C(1-

47、16C2)0,由零点存在性定理知/(x)在(-4c,-l)上存在唯一点%,即/X x)在(0,-1)上存在唯一一个零点，在(-1,a)上不存在零点，此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当c_J时，/(-l)=c-0,/(-)=c+l 0,/4)=c-j 0,/(l)=c +i 0,由零点存在性定理知f(x)在(1,-4c)上存在唯一一个零点.%，即人幻在(1,+8)上 存 在 唯-个零点，在(y。/)匕不存在零点，此时/(幻不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾.综上，/(X)所有零点的绝对值都不大于1.3.(2020江 苏19)已知关于x的函数y =/(x),y =g(x)与

48、(x)=6+8(k,h eR)在区间。上恒有 f(x)h(x)g(x).(1)若/(幻=/+2*,g(x)=-/+2x,=(-8,+o o),求/i(x)的表达式；(2)若/(x)=f尤 +1 ,g(x)=A:l n x,h(x)=k x-k ,D =(0,+o o),求 A:的取值范围；(3)若/(尤)=/-2f,g(x)=4%2-8,A(x)=4(r3-r)x-3r4+2z2(0 t ,D -m,n c z -7 2,2,求证：n-m 夕(1)=0,，当 (x)g(x)N 0 时,k 0 时.由 m(x)=/(x)/z(x)=X?-x +1 -(一 Z)二炉(攵 +l)x +(1+%)2

49、0,得当)=左 +14 0时,m(x)在(0,+8)上递增，m(x)m(O)=1 +Z c 0,k =-.当+10时，A0,即伏+1)2 4伏+1)0,(女+1)(二一3)=0,14&K 3.综上，JIG0,3.(3 )V f(x)=x4-2 x2,/.f(x)=4 x3-4 x =4 x(x+l)(x-1),.函数y =f(x)的图像在x =x 0处的切线为y (4 v()_ 4 x 0)(x _ Xg)+2 4-)=(4%(，_ 4 x()x _3A?Q4+2 x()，可见直线y =A。)为函数y =f(x)的图像在x =?(0 卜 2 =J(，3 T)-(3 J -2/-8)=It。-5

50、尸 +3厂 +8 ,令 产=丸，则；i ei,2 ,由图像可知一加=|为一引=设夕(X)=%3 -5丸2 +3 2 +8 ,则“(2)=3 22-102+3 =(2 -3)(3 2 -1),二当时，”(4)1 时，力 (x)=l+4-2=(1一 0，厂 X I X)由此可得Mx)在口,+)单调递增，.,.当 tl 时，(1)，B|J Z-y-2 1n f0.*/x2 1,r _ 3+3 f_ i =_ i)3 o,k-3,/_3/+3/+2 1n 3 t+3/1)-2 In/=/3 t+61n f+1 3 3由(i i)可知，当r l 时，g(/)g(l),即广一3 r+61n f+1,故尸一