2022年中考数学复习之挑战压轴题——圆（选择题）.pdf

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1、2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：圆（10题）一.选 择 题（共10小题）I.（2020青山区模拟）如图，点C是半圆。的中点，A B是直径，C F L弦A O于点E,交A 8于点凡 若CE=1,EF=凶，则B F的 长 为（）3C 2V2613D.271332.（2020掇刀区模拟）如图，在等腰直角 48C中，斜边A B的长度为8,以A C为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接B P,取B P的中点M,则C M的最小值为（）A.3遥 B.25/5-V 3 C.V10-2 D.3近一届3.（2020奉化区校级模拟）已知。的半径为2,A为圆内一定点，A O=.尸为圆上一动点，以A尸为边作

2、等腰APG,AP=PG,ZAPG=l20,O G的最大值为（）A.1+V3 B.1+2百 C.2+V3 D.2A/3-14.（2021 武汉模拟）如图，A 8是O O的直径，B C是弦，。是0 8的中点，F是O O上一点，连接。F,AC_LDF于点E,若B C=t O D=E D,则。尸的 长 是（3)DA.2.V5+1 B.11 C.2 2 G+1 D.了5.（2 0 2 1 盐田区模拟）如图，已 知 例（0,2）,A （2,0）,以点M 为圆心，MA为半径作0M,与 x轴的另一个交点为B,点 C是。M上的一个动点，连接B C,AC,点。是 A C的中点，连 接 OZX给出4个说法：B C=

3、2 O ；/O D 4=4 5 ；当线段0。取得最大值时，点。的坐 标 为（1,1+愿）；当点C在 示 上 运 动 时，点 O的运动路径为曼 21T.其中正确的是（）A.B.C.D.6.（2 0 2 1 鹿城区校级三模）如图，在。0中，将劣弧8c 沿 弦 翻 折 恰 好 经 过 圆 心 O,A是劣弧8C上一点，分别延长。，5 4 交圆O于 E,0两点，连接B E,C D.若 ta n/E C B=近，记 A B E 的面积为S i，Z VI O C 的面积为S 2.则 包=（）7.（2 0 2 1 湖南模拟）如图，A B是。的直径，弦 COLAB于点G.点尸是CO上一点，且满足”=工，连接力F

4、并延长交。0于点E.连接4。、D E,若CF=2,A F=3.给出下F D 3列结论：AADFAAD；F G=2；t a n/E=2&；S&DEF=4近.其中正确的是（）EcG I/o rA.B.C.D.8.（2 0 2 1 沂南县二模）如图，半径为4的。中，C D为直径，弦ABL C D且过半径O D的中点，点 E为OO上一动点，于点F.当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为（）A.兀 B.近 几 C.2 近 兀 D.返 冗2 3 39.（2 0 1 9 吴兴区校级一模）如图，A B C 内切圆是。0,折叠矩形A B C D,使 点。、。重合，FG是折痕，点 F在 A。上，

5、G在 A B C 上，连接。G,D G,若 OG垂直。G,且。O的半径为1,则下列结论不成立的是（）A.C D+D F 4 B.C D-DF=2-/3-3 C.B C+A 8=2 禽+4 D.B C-A B l1 0.（2 0 1 4 青山区模拟）如图，AB是半圆。的直径，射线AM、B N为半圆的切线.在A M上取一点C,连接BC交半圆于点 ,连接A D 过 O点作BC的垂线ON,与 BN相交于点、N.过 C点作半圆的切线C E,切点为E,与 BN相交于点尸.当C在 AM上移动时（A点除外），设 此 则的值为（）B N24C.工2D.无法确定2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：圆（1

6、0题）参考答案与试题解析选 择 题（共1 0小题）1.（2 0 2 0青山区模拟）如图，点C是半圆。的中点，A B是直径，C F，弦于点E,交A B于点F,若CE=,E F=独，则B F的 长 为（）A.垣 B,1 C.2 V2 6.0.但3 1 3 3【考点】垂径定理；勾股定理.【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.【分析】如图，连接A C,BC,O C,过点B作8 H _ L C F交C F的延长线于H,设OC交于 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 证 明C J=B尸，O J=O F,设B F=C J=x,OJ=OFy,构建方程组解决问题即可.【解答】解：如图，连接AC,BC,O C

7、,过点B作尸交C尸的延长线于H,设。C交.A D于J.AC=B C，：.AC=BC,OC-LAB,：A B是直径，.AC B=9 0,：.Z A C J=Z C B F=4 5a,：CFLAD,，NAC尸+NC/U=90,ZACF+ZBCF=90,ZCAJ=NBCF,：./C A J/B C F CASA),：.CJ=BF,A/=C F=1+1 2=1 1,3 3：OC=OB,：.O J=O F,设 BP=CJ=x.OJ=OF=y,V ZAEC=ZH=90,ZCAE=ZBCH,CA=CB,:.ACEQACBH(AAS),：.EC=BH=,：ZECJ=ZFCO,ZCEJ=ZCOF=90,:./C

8、EJS/COF,C E=J=E J,CO CF OF.1=E=E Jx+y _13_ y3x+y:BF=CJ,ZH=ZC EJ,/C JE=/B F H,：./B H F/C E J(A4S),:.FH=EJ=口,x+y,JAE/BH,.BF=BH AF AE x=13 x-+y整理得，1。/+7-6y2=0,解 得 力=&或%=y(舍弃)，2 5 1=三x+2x _12_3解得=逗或-恒（舍弃）.3 33故选：A.【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程

9、组解决问题，属于中考选择题中的压轴题.2.（2020掇刀区模拟）如图，在等腰直角AABC中，斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接8 P,取8 P的中点例，则CM的最小值为（）B CA.3粕 B.2通-料 C.A/1 0-V2 D.3 2-V 5【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；等腰直角三角形；三角形中位线定理；圆周角定理.【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；应用意识.【分析】如图，连接B4、P C,取AB、8 c的中点E、F,连接EF、E M、F M.首先证明ZEMF=90,推出点M的轨迹是面，即E尸为直径的半圆，图中红线部分，求 出。

10、例,O C即可解决问题.【解答】解：如图，连 接PA.P C,取AB,B C的中点E、F,连 接EF、E M、F M,取EF的中点。，连 接。/，OC,CM.：AC是直径,：.Z A P C=9 0Q,：BE=EA,BM=MP,：.EM/PA,同理 FM 尸C,/BME=ZBPA,NBMF=ZBPC,:.NBME+NBMF=NBFA+NBPC=90,A ZEMF=90,.点M的轨迹是防，（E尸为直径的半圆，图中红线部分）：BC=AC,ZACB=90,AB=8,；.AC=BC=4五,:AE=EB,BF=CF=242.E F=LC=2&,EF/AC,2:.NEFB=NEFC=NACB=90,OE=

11、OF=OM=42 =VoF2-H 3F2=V（V2）2+（2V2）2=,YCM 20C-OM,：.CMyflO-V2故选：C.【点评】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.3.（2020奉化区校级模拟）已知。的半径为2,A为圆内一定点，AO=1.P为圆上一动点，以AP为边作等腰4PG,AP=PG,/APG=120,0G的最大值为（）A.1+V3 B.I+2V3 C.2+V3 D.2M -1【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质.【专题】动点型；与圆有关的计算.【分析】如图，将线段OA绕 点。顺时针旋转1

12、20得到线段O T,连接AT,GT,O P.则AO=OT=,A T=M，利用相似三角形的性质求出G T,再根据三角形的三边关系解决问题即可,【解答】解：如图，将线段0 A绕 点。顺时针旋转120。得到线段。7,连接AT,GT,O P.贝|JA O=O 7=1,A T=M，,：/AO T,ZkAPG都是顶角为1 2 0 的等腰三角形,.Z O A T=Z P A G=30Q,：.Z O A P Z T A G,地=段=*AT AG 3丝=A LAP AG：./O A P T A G,.叟=空=亚，：OP=2,T G T A 3A TG=2A/3.：OGOT+GT,；.OGW+2 后；.O G的最

13、大值为l+2 ,故选：B.【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.4.（2021 武汉模拟）如图，A 8是。的直径，B C是弦，。是0 8的中点，尸是。0上一点，连接QF,A C L Q F于点E,若B C=&,O D=E D,则。F的 长 是（）3C.生【考点】圆周角定理；平行线分线段成比例；勾股定理；垂径定理.【专题】与圆有关的计算；推理能力.【分析】连接O F,过点O 作。”_LQF于”.设O D=D B=D E=m,则 AB=4?，A=3 m,利用平行线分线段成比例定理

14、求出m,OH,D H,再利用勾股定理求出F H,可得结论.【解答】解：连接。立 过点。作 OHLQF于”.O D设 O D=D B=D E=m,贝 U A3=4/A 8是直径，DE1A C,：.ZA ED=ZA CB=90 ,：.DE/B C,班=也B C AB里=3 mA 4 m3*in ：.A D=3f D E=f.AE=32-12=2 7 2，S O H L D E,A E1.DE,：.OH/A E,AD H=p D=p H,DE AD AE.也=上=里1 3 2 2 _.)H=O H=?凡3 3在木OE”中，W=VOF2-OI-.D F=D H+F H=茹 土 1.,3n,A=37,2

15、=亚一呼)2=平故选：D.【点评】本题考查圆周角定理，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.5.（2021盐田区模拟）如图，已知M（0,2）,A（2,0）,以点M 为圆心，MA为半径作Q M,与 x 轴的另一个交点为8,点 C 是。M 上的一个动点，连接BC,A C,点。是 AC的中点，连 接 OD 给出4 个说法：BC=2O；NOD4=45；当线段。取得最大值时，点。的坐 标 为（1,1+我）；当点C 在不适上运动时，点 O 的运动路径为司 巨 兀 其中正确的是（）2A.B.C.D.【考点】圆的综合题.【专题】等腰

16、三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力.【分析】由三角形中位线定理可得OO8C,B C=2 O D,故正确；由圆周角定理可得ZBCA=45,由平行线性质可得NC=NOD4=45,故正确；由B C=2 O D,可得当 BC为直径时，0。有最大值，由等腰直角三角形的性质可求。的坐标为（2,2）,故错误；先确定点。的运动轨迹，可求点。的运动路径为包氏T,故正确，即可求解.2【解答】解：.点。是 AC的中点，点 O 在 4 8 的中点，J.OD/BC,B C=2 O D,故正确：如图，连接MB,MA,：M(0,2),4(2,0),M O=OA=2,：.ZAMO=ZMAO=45,：.ZMBA=

17、ZMAB=45,：.ZBMA=90,：.ZBCA=45,*：ODBC,，/C=/O D 4=45,故正确；BC=20D,.当8 c取得最大值时，线段0。取得最大值，如图2,图2为直径，：.ZCAB=90,，CA_Lx 轴，：OB=OA=OM,ZABC=45 ,：OD/BC,：.AOD=45,.AO。是等腰宜角三角形，：.AD=OA=2,.O的坐标为（2,2）,故错误：如图3,作0D 4的外接圆O E,连接OE,0A,图3V ZAEO=2ZODA=90 ,OA=2,OE=EA,：.OE=yf2.,当点C在 俞 上 运 动 时，.点。在 ODA上运动，.点。的运动路径长=2 7 0 义K X近=3

18、近R,故正确；180 2故选：B.【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.6.（2 02 1 鹿城区校级三模）如图，在。中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O,A是劣弧8c上一点，分别延长C A,3 A 交圆。于 E,。两点，连接B E,C D.若 t a n/E C 8=近，记 4 8 E 的面积为S i，Z V I O C 的面积为S 2.则 包=（）6$25 25 7 49【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；垂径定理.【专题】与圆有关的计算；推理能力.【分析】分别作点A、点。关于线

19、段BC的对称点尸、H,O H与B C交 于 点、M,连接OH、O B,过点8作 3GLCE于点G,根据轴对称的性质可得标的度数为1 2 0 ,贝 I 有N B F C=N B A C=1 2 0,进而可得aABE和 A O C 都为等边三角形，然后根据三角函数可得处 上，最后根据相似三角形的性质可求解.A C 5【解答】解：分别作点A、点。关于线段8 c的 对 称 点 从H,0H与BC交于点M,连接OH、0 B,过点8作8GLCE于点G,如图所示:劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心0,由折叠的性质可得OM=MH=2O,OH工BC,NBAC=NBFC,2：.OM=1OB,B H =C H.2：.Z

20、OBC=30：.ZBOH=60a,.黄的度数为120,.戢的度数为 240,ZD=ZE=60,.ZBFC=ZBAC=120,.N E 48=/)4C=60,/ABE和AOC都为等边三角形，且ABES/ACC,JBGVCE,.EG=4G,NEBG=/A8G=30,/BG=-=5/3 E G，t a n Z E B G,：tan Z E C B=,6设 B G=x,CG=6x,则 G=AG=x,*AE=,2xi 4C=5x,A E 2*A C V：ZEAB=ZDAC,ZE=ZD,.EAB/XDAC,.S1 zA E s 2 4s2 kAC/25故选：B.【点评】本题主要考查折叠的性质、圆的基本性质

21、、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.7.（2 02 1 湖南模拟）如图，AB是 0 的直径，弦 C _ L A 8 于点G.点尸是CD上一点，且满 足 空=工，连接AF并延长交。于点 连接4。、D E,若 C 尸=2,A 尸=3.给出下FD 3列结论：斗 尸F G=2；t a n N E=2 _；SADEF=4遍.其中正确的是（）A.B.C.D.【考点】圆的综合题.【分析】由AB是0 0 的直径，弦 C D L A 8,根据垂径定理可得：A E=A C.D G=C G,继而证得 A O F s A E Q；由C F

22、=2,可求得。尸的长，继而求得CG=OG=4,则可求得F G=2；FD 3由勾股定理可求得A G的长，即可求得t a n/A O F 的值，继而求得tan/E=14根据三角形面积公式求得4。下的面积，通过证得 AOF s AEZ）,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得 AQE的面积，进而求得SADEF=4a.【解答】解：是。0 的直径，弦 C J _ AB,二 俞=京，D G=C G,：.Z A D F=NAED,：Z F A D=Z D A E（公共角）,故正确；.包=工，CF=2,F D 3：.FD=6,：.CD=DF+CF=8,：.CG=DG=4,：.FG=CG-CF=2；故正确：

23、A F=3,尸 G=2,MG=、A2_F G2=&,.在 Rt/XAGO 中，ta n N 4 O G=9=遮，DG 4,：ZADG=ZE,.tanZ E=2/L；4故错误；DF=DG+FG=6,=VAG2+DG2=21）A G=A x 6 X V 5=3 匹,2 2；/XADFAED,.SAADF _ /AF x 2 ,S/kAED 仙.3芯=3S/kAED 7，SAAED=7 V5-S/DEF=SAAED-5AADF=4 V 5；故正确.故选：A.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识.此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用

24、.8.（2021沂南县二模）如图，半径为4 的。中，CO为直径，弦 A8LC O 且过半径。的中点，点 E 为O。上一动点，C F 1 A E于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点 F 所经过的路径长为（）A.V3 K B.1 兀 C.2 巨 灯 D.叵 兀2 3 3【考点】圆的综合题.【专题】压轴题.【分析】连接AC,A 0,由4B_LC,利用垂径定理得到G 为 AB的中点，由中点的定义确定出0 G 的长，在直角三角形AOG中，由4 0 与 0 G 的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由 CO+GO求 出 CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由

25、C尸垂直于A E,得到三角形ACF始终为直角三角形，点厂的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当 E 位于点8 时，C G L A E,此时尸与G重合；当 E 位于。时，C A L A E,此时尸与A 重合，可得出当点E 从点8 出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长同，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出NACG的度数，进而确定出京所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出余的长，即可求出点下所经过的路径长.【解答】解：连接AC,A0,AB LCD,；.G 为 A8 的中点，即 A G=8G=LA8,2;。的半径为4,弦 A8_LC且过半径0。的中点

26、，：.OG=2,.在 RtZXAOG 中，根据勾股定理得：G=VAO2-OG2=2 3,又：CG=C O+G O=4+2=6,.在RtAGC中，根据勾股定理得：A C=4 j ,V CFLAE,.ZViC尸始终是直角三角形，点尸的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当 E 位于点B 时，C G V A E,此时F 与 G 重合；当 E 位于。时，C A L A E,此时尸与A重合，当点E从点H出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长部，在 RtZACG 中，ta n/A C G=9=返，CG 3，/4C G=30,.,.余所对圆心角的度数为60,.直径 A C=4 ,血的长为。冗 义2 M180

27、3 _则当点E从点B出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为2 回.3故选：C.【点评】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E 从点8 出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长余，是解本题的关键.9.（2019吴兴区校级一模）如图，AABC内切圆是。0,折叠矩形ABCZ）,使 点。、。重合，FG 是折痕，点 F 在 4。上，G 在 ABC上，连接OG,D G,若 OG垂直。G,且。的半径为1,则下列结论不成立的是（）A.C D+D F=4 B.C D-D F=2 M-3 c.B C+A B=2 M+4

28、 D.B C -A B=2【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；圆周角定理.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；圆的有关概念及性质：推理能力.【分析】设与BC 的切点为M,连接M 0 并延长M O交 A D 于点N,根据折叠的性质得 到 O G=D G,根据全等三角形的性质得到OM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.求得B C-A B=2.设BC=b,A C=c,。的半径为r,根据勾股定理得到 2+序=（4+3 2）2,求得 B C+A B=2 +4.再设。/=x,在 RtZON尸中，FN=3+M，OF=X,O N=1+M，根据勾股定理得到 C-OF=

29、百，CD+DF=M.【解答】解：如图，设。与 8 c 的切点为“，连接M 0 并延长M 0 交 A。于点N,将矩形A8C。按如图所示的方式折叠，使点。与点0 重合，折痕为FG,：.OG=DG,：OGVDG,：.ZMGO+ZDGC=90,：NMOG+NMGO=90,:.NMOG=/D G C,/OHG=/DCG=90在OMG 和GCO 中，,NMOG=/DGC，OG=DG.,.OMG 丝GC),：.O M G C=,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.AB=CD,:.BC-AB=2.设 A B=d BC=h,A C=c,。的半径为 r,G O 是 RtZXABC的内切圆可得r=A (a+b-

30、c),2c=a+b-2.在 RtzABC中，由勾股定理可得a2+b2=Ca+h-2)2整理得 lab-4a-46+4=0,又；BC-AB=2 即 b=2+a,代入可得 2a(2+a)-4-4(2+a)+4=0,解得”=1+我 或 4=1-我（不合题意舍去），：.BC+AB=243+4.再设 F=x,在 RtONF 中，FN=3+M -x,OF=x,ON=1+依-1=禽，由勾股定理可得（2+F-X）2+（V 3）2=）,解得x=4-我，:.CD-D F=+l-（4-A/3）=2禽-3,8+。/=代+1+4-愿=5.综上只有选项A 错误，故 选:A.【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折

31、叠的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.10.（2014青山区模拟）如图，A 8是半圆。的直径，射线AM、8N 为半圆的切线.在AM上取一点C,连接BC交半圆于点。，连接A D 过。点作BC的垂线O N,与 8N 相交于点 N.过 C 点作半圆的切线C E,切点为E,与 BN相交于点尸.当C 在 AM 上移动时（A点除外），设 此=n，则的值为（）B N2 4 2【考点】圆的综合题.【专题】综合题.【分析】作 H/L 4 C 于 H,如图，设 8 N=1,则 BF=，半圆的半径为八 根据切线的性质得/M A 2=/N B A=90,易得四边形

32、A8F”为矩形，所 以 狼=2 AH=BF=，再根据切线长定理得到 CE=C4,F E=F B=n,设 C 4=f,则 CE=f,C H=t-A H f n,2在 RtZC”尸中利用勾股定理得（L ）2+（2r）2=（什 雇）2,解得f=Z _,接着证明RinBONsRtAACB,然后利用相似比得可计算出=工.【解答】解：作4 c 于”，如图，设B N=1,则 B尸=，半圆的半径为r,YAM、8N为半圆的切线，：.ZMAB=ZNBA=90,，四边形ABM为矩形，:.HF=2r,AH=BF=n,c尸切半圆于七点，：.CE=CAf FE=FB=n,设 C A=f,贝iJCE=f,CH=t-AH=t

33、-n,在 RtA CHF 中，*.*CH2+FH2=CF1,2，(t-n)2+(2r)2=(/+)2,解得 f=Z_,n ,A8是半圆。的直径，A ZADB=90,：ON1BD,：.AD/ON,:./BON=/BAD,ZBAD+ZCAD=90,ZCAD+ZACD=90,ZBAD=ZACD,：.ZBON=NACB,：.RtABO/VRtAACB,O B _ B N Pn _ Z _ _ 1A C A B r2 2 rn/n=A.2【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切线长定理；会运用相似比和勾股定理计算线段的长.考点卡片1.三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形

34、两边之和大于第三边.（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.（3）三角形的两边差小于第三边.（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐臧的定时炸弹，容易忽略.2.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分

35、线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.3.勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么。2+/=0 2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式/+廿二。？的变形有：“=42_匕2,/k j c 2-a 2 及J a 2+b 2，（4）由于廿+廿二廿,所以.I,同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.4.等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一种特殊

36、的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5 ,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则 外 接 圆 的 半 径/?=&+1,所以r：R=l：V 2+1.5 .三角形中位线定理(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三动，并且等于第三边的一半.(2)几何语言：如图，;点 D、E分别是A 8、AC的中点：.DE/B C,D

37、E=LBC.6 .矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7 .垂径定理(1)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论推 论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平

38、分弦所对的两条弧.推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.8.圆周角定理(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.(4)注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的

39、关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.9.点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有3种.设。的半径为，点P到圆心的距离O P=d,则有：点尸在圆外 点P在圆上=r 点P在圆内(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.(3)符号读作“等价于”，它 表 示 从 符 号 的 左 端 可 以 得 到 右 端，从右端也可以得到左端.10.三角形的内切圆与内心(1)内切圆的有关

40、概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.（3）三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.11.圆的综合题圆的综合题.12.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操

41、作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.13.平行线分线段成比例（1）定 理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（2）推 论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（3）推 论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.14.解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的关系锐角、直角之间的关系：Z A+Z B=9 0 ；三边之间的关系：“2+廿=。2；边角之间的关系：sinA=N A的对边斜边,cosA=cN A的邻边一 b斜边 c,taA然 零 旦N A的 邻 边b（a,b,c分别是/4、N B、N C的对边）