高中数学公式大全(理数).pdf

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1、高中理科数学公式汇总 01.集合与简易逻辑1 .元素与集合的关系2.德摩根公式Cy A B)=Ct A CLIB;CU(A B)=C(JA Ct JB.3 .包含关系A 8 =Ao A 3 =B oA=B =Q 6=C u AoA C u 3 =CoCuA B =R4 .容斥原理ca rd (A B)=ca rd A+ca rd B -ca rd(A B).5 .集合4%，,凡 的子集个数共有2 个；真子集有2-1 个；非空子集有2-1个；非空的真子集有2-2 个.6 .二次函数的解析式的三种形式(1)一般式/(x)=a x2+b x+c(a 0);顶点式/(X)=a(x-)2+4(。0);(

2、3)零点式 f(x)=a(x -x)(x -x2)(a 0).7 .解连不等式N f(x)M常有以下转化形式N /(x)M /(%)-M f(x)-N -f.(.x.).N.0八1-2M-f(x)1-f(x)-N M-N8 .方程/(x)=0 在 化 次 2)上有且只有一个实根,与.f(k)f(k2)0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程a x2+b x+c =0(a丰0)有且只有一个实根在b k k(人也)内，等价于f*、)f(k2)0,或/(匕)=0 且 v 丁 一工,或f*?)=0 且2a 2k+b,-0 时,若X =-丁 e p,司，则/(x)m in =/(-)

3、，/U)max=max /(P)，/(。)；2a 2aX =一点任 p，司，/(X)E =3 /(，)，/，/(4 血=m i n /()，/(2)当 a 0 时，若 x =-2 e p,q ,则/(x)1 n h i=m i n /(),/,冗=一 任 ，同，则/(初皿max/(p),/(q)，/(x)疝=min/(p)J(q).1 0.一元二次方程的实根分布依据：若/(/)./(n)0(1)方 程/(x)=O在 区 间(也+s)内 有 根 的 充 要 条 件 为/(=0 或”(2)方 程/(x)=0 在 区 间。凡)内有根的充要条件为/(m)/()0/()=0./(?)0,/(0/()0

4、或p2-4 0pm-0-mI 2(3)方程/(x)=0 在区间(-*)内有根的充要条件为/(加)O(r 为参数)恒成立的充要条件是/(x j)m i n 0(x eL).(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(/为参数)恒成立的充要条件是/(X,r)_ 0 (八(3)f(x)=a+b幺+c 0 恒成立的充要条件是1 b 2 0 或，八 b2-4 a c 0 I1 2.真值表Pq非 PP 或 qp且 q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1 3.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有

5、个至 多 有(-1)个小于不小于至多有个至 少 有(+1)个对所有X,成立存在某X,不成立p或 4-1 P 且 4对任何X,不成立存在某X,成立p且q或 F1 4.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否;逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否;否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆;逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否;1 5 .充要条件(1)充分条件：若 pn q,则 P 是 4 充分条件.(2)必要条件：若 qn p,则 p是 q必要条件.(3)充要条件：若 p n q ,且 4=p ,则 p是充要条件.注

6、：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.0 2.函数1 6 .函数的单调性(1)设 看 e w 9 那么a wl/(彳:/(o)再)二8 2)0=/(幻在卜,“上是增函数；a-x2 f(彳 /(j )一 土)J 0,则/(幻 为 增 函 数；如果r(x)0,则/(x)为减函数.1 7 .如果函数/(x)和 g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函 数；如 果 函 数 y =/(“)和 w =g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y =/Tg(x)是增函数.1 8 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过

7、来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.1 9.若函数y =/(x)是偶函数，贝!|/(x +a)=/(-x a)；若函数y =/(x+a)是偶函数，则 f(x +a)=f(-x +a).20.对于函数y =f(x)(x e R),f(x +a)=f(b-x)恒成立，则函数/(x)的对称轴两个函数v =f(x +a)与 y =/S-x)的图象关于直线x =等对称.2 1 .若/(x)=-/(-x +a),则函数y=/(幻的图象关于点(|,0)对称；若/(x)=f(x +a)，则函数y=/(x)为周期为2 a的周期函数.2

8、2 .多项式函数P(x)=a,x +4 i X T+4的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数。P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数o P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.2 3 .函数y=/(%)的图象的对称性(1)函数y=/(%)的图象关于直线x =a 对称o/(a+=f i a-=/(2 a-x)=/(.(2)函数y=/(x)的图象关于直线=学对称=/(a+J b-/(+b-mX =n.24 .两个函数图象的对称性(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x =()(即 y 轴)对称.(2)函数y=f(ni x-a)与函数y=f(b-rwc)

9、的图象关于直线尤=”2对称.2 m(3)函数y=/(x)和 y=f (x)的图象关于直线y=x 对称.2 5 .若将函数y=/(x)的图象右移。、上移6个单位，得到函数y=/(x a)+Z j 的图象；若将曲线，(x,y)=O 的图象右移。、上移人个单位，得到曲线,f(x a,y 8)=0的图象2 6 .互为反函数的两个函数的关系f(a)=b o (b)=a.2 7.若 函 数 y=/(日+b)存 在 反 函 数，则 其 反 函 数 为 y=T(x)-切，并不是ky=/t(点+6),而函数y=/-(丘+)是 y=匕/(幻-b的反函数.k2 8.几个常见的函数方程(1)正比例函数/(x)=ex,

10、/(x+y)=/(x)+/(),/(1)=c .(2)指数函数 f(x)=f(x+y)=/(x)/(y),/(l)=a h 0 .对数函数 f(x)=l o g x,/(肛)=/(x)+/(y),/(a)=l(a 0,a w 1).(4)幕函数/(x)=/,f(x y)=/(x)/(y),/(l)=a.(5)余弦函数/(X)=8 S X,正弦函数g(x)=si n x,f(x-y)=/(x)f(y)+g(x)g(y),/(0)=l,l i m =l.X2 9.几个函数方程的周期(约定a0)(1)f(x)=f(x +a),则/(x)的周期 T=a；(2)/(x)=/(x +a)=0,或 f(x+

11、a)=J (/(x)H 0)，或 f(x+)=-(Z(x)#0),f i x)/(x)或;+J/(x)_/2(x)=/(x +a),(/(x)e 0,1),则/(x)的周期 T=2 a(3)/(x)=1-+0),则/(x)的周期 T=3 a；f(x +a)(4)fa+x2)=三伊 且/()=K/(x,)-/(x2)。1,0|l 0,m,n e T V ,且1 ).Ja ,-a 1(2)a n=(a 0,m,e N*,且”1 ).a 3 1 .根式的性质(1)即)=a.(2)当为奇数时，后=a；当为偶数时，.一 a,。0,r,s e Q).(2)(a1 Y=a (a 0,r,s G Q).(3)

12、(ab)r=arbr(a O,/?O,re 0.注：若 a0,p 是一个无理数，则 表示一个确定的实数.上述有理指数嘉的运算性质，对于无理数指数累都适用.33.指数式与对数式的互化式loga N=b o a=N(a 0,a w 1,N 0).34.对数的换底公式log N、log4 N=-(),且 Q W l,机(),且2W1,N 0).log,”aY 推论 log b=log“b(a()，且 a 1,0,且，w 1,w 1,N 0).m35.对数的四则运算法则若 a0,aWL M0,N 0,贝 ij log“(MN)=log“M+logt,N;M(2)loga =log“M-log,N；(3

13、)log“M=nog(l M(n G R).36.设函数,f(x)=log,“(ad +b x+c)(a w 0),记 =-4 a c.若 f(x)的定义域为R,则 a()，且 0,且、().对于a=0 的情形，需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若 a 0,0 0,x 0,X HL 则函数y=log”匕时，在(0-)和 d,+o)上 y=log“(云)为增函数.a a,当“加1，p 0 a 0 且 a w l，贝!J log,”(+P)log,、，,m+n(2)log“zlog“log“.0 3.数列38.平均增长率的问题如 果 原 来 产 值 的 基 础 数 为 N,平 均 增 长

14、率 为 p,则对于时间x 的 总 产 值 y,有y=N(l+”)”.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系)0 枕一(数 列%的前n 项的和为s“=4+2+a”).4 0 .等差数列的通项公式an=q +(n 1)J =dn+ay d(n G N*)；其前n项和公式为n(a.+a)nn-V),s“=-=叫d 2 z 1 八=-+(%一”)4 1 .等比数列的通项公式an=q/i =色.q (“e N)；q其前n项的和公式为牛 g,小na,q=11_q叫,q=T4 2 .等比差数列a,:an+i=qan+d,q=b(q丰0)的通项公式为b+(n-1)d,q =1bq+(d-b)q-d,(7*1

15、.q-i其前n项和公式为nh+nn l)d,(q=1)+工(b-)1_q q-q,(”1)4 3.分期付款(按揭贷款)每次还款x =元(贷款a 元,n 次还清，每期利率为b).(1+/?)-104.三角函数4 4 .常见三角不等式兀(1)若x w(0,),则si n x v x v tan x.2(2)若 x (0,工)，贝(I l 1.4 5 .同角三角函数的基本关系式sin/9si n2 4-c o s2 =1,ta n =-,ta n 0-cotO=1.c o s。4 6.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限).,兀、(-1)2 sina,sin(-a)=2匕1(-1)2 cos

16、a,co s(+a)=n(一 D C O a,+l(一 1 F s fan（n为偶数）（n为奇数）（n为偶数）（n为奇数）47.和角与差角公式sin(a /?)=sin a cos B cos a sin 尸;cos(a 土尸)=cos a cos/3 sin sin(3;z,c、tan a tan tan(a J3)=-.1 tan a tan 0sin(a 4-sin(0）的周期7=；0）1T函数y=tan（yx+）,x#七 万+耳 ，左e Z（A,3,伊为常数，且AW0,30）的周期T=工.0）51.正弦定理sin A sin B sin C52.余弦定理=6 +/_ 2/?ccos A

17、;b1=c1+a2-2cacosB;c2=a2+b2-la b cos C.5 3 .面积定理(1)S =ga h“=gb%,=gch,(h”、瓦、例分别表示 a、b、c 边上的高).(2)S =a bs i nC=/j c si n/I =e a si n B.2 2 2(3)SA3g j(|O A|O例了(O A.O B)2.5 4 .三角形内角和定理在A B C 中，有A +3 +C =7 r o C =万一(A +8)o g =2C=2 2(A +8).5 5 .简单的三角方程的通解si n x=a x=攵 乃 +(-1)A a rc si na(k e Z,a ).cos x =ao

18、 x=2k7ia rc c o sa k GZ,|(2|a =+f 3(k e Z).5 6 .最简单的三角不等式及其解集si n xa(|a区 1)。x(2攵%+a rc si na,Zk/c+4一a rc si nd),ke Z.si n x a(区 1)o x Q k 兀-a rc c o s a.Zkrc+a rc c o s a),k e Z .c o sx (|1)xG(2 Z +a rc c o sa,2k兀+2 4一a rc c o sa),k eZ.JIta n x a(a G 7?)=x G(kji 4-a rc ta n a,k 兀+),k eZ.2冗ta n x x G

19、(kjv-,k7i+a rc ta n a),k eZ.205.平面向量5 7 .实数与向量的积的运算律设 、N为实数，那么(1)结合律：入(u a)=(X u)a;第一分配律：(入+u)a=A a+ua;(3)第二分配律：X (a+b)=Xa+X b.5 8 .向量的数量积的运算律：(1)a b=b a (交 换 律)；(2)(2 a)b=2 (a b)=4 a b=a (X b);(3)(K b)c二 a ,c +b c.5 9 .平面向量基本定理如 果&、e z是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人卜入2,使得a=入网+入2 e z.不共线的向量做

20、、e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.6 0 .向量平行的坐标表示设 a=(X ,y),b=(X 2，%)，且 b w O,则 a b(b0)Ox,y2-x2y-0.5 3 .a与b的数量积(或内积)a b=a|b|c o s 6 .6 1 .a ,b的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|c o s 6的乘积.6 2 .平面向量的坐标运算 设 a=(X ，x),b=(X 2，%)，则 a+b=(x,+x2,yt+y2).设 a=(X,x),b=(，%)，则 a-b=(百一,一 见)(3)设 A。，),B(x2,y2),则=08-。4 =(赴一玉,必 一乂

21、)(4)设 a=(x,y),。e R ,贝(H a=(A x,2 y).(5)设 a=(x，y),b=(X 2，y 2)，则 a*b=(%,x2+y,y2).6 3 .两向量的夹角公式c o s 0 =+”(a=(3,x ),b=(%,%)6 4 .平面两点间的距离公式dA B=AB=A B A B=5(工 2%)2+(必 一,)2 8(工 1，凹)，B(%2,y2).6 5 .向量的平行与垂直设 2=区,乂)飞=区,%)，且 bw O,则A|b o b=、a ox 1%/y=0.a _ L b(a H O)Qa,bRoX1%+乂%=。.6 6 .线段的定比分公式设 6(X 1，X),鸟。2，

22、必)，P(x,y)是 线 段 的 分 点，%是实数，且，则X-I +也.1+2。”=如映y,+A y2 1 +Ay=-l 1 +AoQP=邙+(l-r)O (r=6 7 .三角形的重心坐标公式A B C 三个顶点的坐标分别为A(X ,%)、B(x2)y2).C G ,y?),则A A B C 的重心的坐标是G卢+；+人，+%).6 8 .点的平移公式x-x+h-=a2+b2 2 2(当且仅当 a=b 时 取 =”号).(2)。,匕 氏+=巴 吆2向(当 且 仅 当a=b时 取“=”号).2(3)o+/?3+c3 3 a be(a 0,Z?0,c 0).(4)柯西不等式(e r+b2)(c2+d

23、2)(a c+h d)2,a,h,c,d G R.(5)同一例 x+c 0(Wc 0),如果 a 与以2+陵+。同号，则其解集在两根之外；如果a与。V+法+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1cx赴 o(x-j q)(x-w)0(王 x2)；X X2 O(x -X 1)(X )O(X 0时，有|x|x2 a a x x2 a 2 o%。或 v a.7 5 .无理不等式/U)0(1)(X)Jg(x)O J g(x)0(2)(x)g(x)o(x)g(x)/U)0g(x)N0 或 g(x)27 u)og(x)0.J(x)0g(x)1 时，af M as(x)o /(x

24、)g(x)；/U)0log”/(%)log g(x)o -g(x)0f(x)g(x)(2)当()a as(x)/(x)0logu/(x)log g(x)o，g(x)0f(x)g(x)07.直线和圆的方程77.斜率公式k=(5,y)、P,(,x2,y2).x2-X78.直线的五种方程(1)点 斜 式 了 一 =左。一西)(直线/过点片(为，乂)，且斜率为上).(2)斜 截 式y=Ax+b(b为直线/在y轴上的截距).(3)两点式 2-=一 (%一%)(6(x，y)、x a，%)(工产2).%-X(4)截距式 2 +；=1(久分别为直线的横、纵截距，。、人声()a b(5)一般式 A r+B y+

25、C=0(其中A、B不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若/:y=ZX+/?,l2 y=k2x-rb24 IK o k、=&，4 w%/1 =-1(2)若 4:4x+=0,4：3?y+。2 =，且 Ai、A?、Bi、B?都不为零,4II/2OA=，G；4 82 c 2 4 u 0 4 4+4 坊=o；80.夹角公式.k,.(l)tanof H1 +k2k(Z,:y=kx+h,l2:y=k2x+b2,kk2 -1).A B7 A?B,.(2)tan a =1-.(i ：A%+4 y+G=,/2：+J52y+C2=0,4 4+4 丛 w 0).jr直线时，直线/1与，2的夹角是.81.4

26、到4 的角公式 tan a=h -K1 +k)k(Z,:y=kx+b,4：y=&x+2，%*2 w-D(2)tan a =AB-,4 g4 A7+By B?(4:A X+4 y+G =0 4 ：&工+生 丁+02=。，4&+4 员 w o).I T直线4_L，2时，直线4 到，2的角是彳.8 2.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点写(朝,为)的直线系方程为y-%=%(%-%)(除直线x=x0)，其 中 是 待 定 的 系 数；经 过 定 点 4(%,%)的 直 线 系 方 程 为A(x/)+B(y%)=0,其中A B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线/1 :4%+g

27、y +G =0,:Ar,x+By+C2=0 的交点的直线系方程为(4%+用丁+。1)+4+82卜+。2)=0(除/2)，其中人是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线)，=依+。中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=0 平行的直线系方程是AX+B)，+1 =0(/IN0),X是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线4 t+8)，+C=0(A#0,BW0)垂直的直线系方程是B x Ay+2,-0,A是参变量.83.点到直线的距离d=A 2+B为+C|(点 P(X,为),直线/：Ax+By+C =Q).y A2+B284.A r+8)，+C 0 或 0 或 或 0

28、或 0所表示的平面区域上下两部分;(A x+G)(&x+B2y+C2)0).x-a +rcos Oy =b-rs i nd(4)圆的直径式方程(工一%)(工一2)+(丁一乂)。一%)=0(圆的直径的端点是A(%，X)、B(x2,y2).8 7 .圆系方程(1)过点A(X ,y),8(,)的圆系方程是(x-x1)(x-x2)+(y-1)(-y2)+2 (x-A：1)(-2)-(y-j y1)(x1-x2)=0o(xF)(x x 2)+(y y)(y，2)+丸(+刀+，)=。其中 a x+b y +c =O 是 直 线AB 的方程，入是待定的系数.(2)过直线/:A r+B)，+C=O与圆。：丁+

29、丁+瓜+硝+/=0的交点的圆系方程是 2 +2+.+/+2(+珍+0 =0,入是待定的系数.(3)过圆 G :x2+y2+Dtx+Ety+F1=0 与圆 C 2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方程是/+；/+彳+6+；1(/+y 2 +D2x +E2y +F2)=0 ,人是待定的系数.8 8 .点与圆的位置关系点 P(x,为)与圆(一幻之+(V-与2 =/的位置关系有三种若 d=4 一?)?+3一先了,贝！|d r=点P在圆外；d =r o点P在圆上；“r o 相离 ();d r 相 切。A =0 ;d 0.其中d|A a +B b+C|A2+B29 0 .两圆位置关系的判

30、定方法设两圆圆心分别为0“O 2,半径分别为n,r2,OO2=dd r+r2 o外 离。4 条 公 切 线；d =rt+r2 o外 切 3 条 公 切 线；rt-r2 d rt+r2 o 相 交=2 条 公 切 线；”=h-o内 切=1条 公 切 线；0cd 卜-q|o 内 含 o无公切线.9 1 .圆的切线方程(1)已知圆龙2 +y2+D x+E y +F=0 .若已知切点(毛,尢)在圆上，则切线只有一条，其方程是。（/+*）E（%+y）/%+%丁+3 +/=0当（X。,为）圆外时，xx+%y+。;+*）+七 +）+尸=0表示过两个切点的切点弦方程.过 圆 外 一 点 的 切 线 方 程 可

31、 设 为 丁-%=-%-40），再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为y=Ac+人，再利用相切条件求b,必有两条切线.（2）已知圆 f+y?=r.过圆上的（花,为）点的切线方程为升）x+%y =/；斜率为左的圆的切线方程为丁=辰 八 足 不.0 8.圆锥曲线方程2 292.椭 圆-+-yyQ_ Zr一，3,、一 1 x =a cos f f的参数方程是，,八y =bs i n02 293.椭圆y+=1（。0）焦半径公式11112%F2%F2 2|尸周=a%+?）,|?局=式?7）.94.椭圆的的内外部2 2 2（1）点P（%,%）在 椭 圆

32、=+七=1（。人0）的 内 部=与+cr b a rf v2 x2（2）点q（%,%）在椭圆=+=1（。b0）的外部0分+a b a 95.椭圆的切线方程 椭 圆 二 十1=1（。人0）上一点尸（%。,%）处的切线方程是学+誓=1.a h a-b%2 y2（2）过 椭 圆 靛+齐=l（a。0）外一点尸（见,先）所引两条切线的切点弦方程是一1下 正2 2（3）椭 圆 餐+=1（。人0）与 直 线A x+B y +C 0相 切 的 条 件 是a bA2a2+=c2.2 296.双 曲 线 二 一 与=l（a 0/0）的焦半径公式a-b-2 2PFi=e（x+）,PF2=e-x）.97.双曲线的内外

33、部2 2 2 2点尸（后,%）在双曲线=-=1 3 0/0）的内部兽1.a b a b(2)点P(x0,%)在双曲线=K a0,。0)的外部o 之 一 与 1.a b a b98.双曲线的方程与渐近线方程的关系2 2 2 2(1)若双曲线方程为二一4=1 =渐近线方程：-与=0=y=2x.a-b2 a2 b2 a2 2(2)若渐近线方程为y=2 x o 2 =0 n双曲线可设为 一q=九.a a h a b2 2 2 2(3)若双曲线与 一 马=1有公共渐近线，可 设 为 三-q=入(X 0,焦 点 在xa b a b轴上，X 0,焦点在y轴上).99.双曲线的切线方程双曲线，-，=1(。0力

34、0)上一点2(后,%)处 的 切 线 方 程 是 华 一 首 =1.2 2(2)过双曲线*-方=1(。力0)外一点P(x0,%)所引两条切线的切点弦方程是xox_ yoy_a 32 2(3 )双 曲 线 二-2=1(“0力 0)与 直 线Ax +B y +C =Q相 切 的 条 件 是a bA2a2-B22=c2.100.抛物线V =2 r的焦半径公式抛物线y1=2 p x p 0)焦半径|C目=与+日.过焦点弦长1 3 =项+漆+X 2 +=X +%2+.210L抛物线y 2 =2px上的动点可设为P(2-，K)或P(2p/,2pf)或p(x,y),其中2Py2=2p x .b _h 102

35、.二次函数丫=公2 +h x +ca(x +)2+-(a/0)的图象是抛物线：(1)顶2a 4ah 4 a c h b 4tzc-b +点坐标为(-2,)；(2)焦点的坐标为(-二,上 I)；(3)准线方程是2a 4 a 2a 4a4 a c-b2-1y =-，4 a103.抛物线的内外部 点(面,%)在抛物线y2-2 p x(p 0)的内部O y?0).点 P(x0,%)在抛物线 y2=2Px(p 0)的外部 o y?2Px(p 0).(2)点(小,)在抛物线 丁=_2px(p 0)的内部 o y 2 ().点 P(x0,%)在抛物线 y2=-2p x(p 0)的外部 y2 -2px(p 0

36、).(3)点 P(Xo，%)在抛物线x2=2 p y(p 0)的内部o x?0).点 P(x0,%)在抛物线 x2=2p y(p 0)的外部 x2 2p y(p 0).(4)点尸(飞,%)在抛物线 2=2 )，(0)的内部o f 0).点？(玉),为)在抛物线 V=-2 p y(p 0)的外部ox2 -2 p y(p 0).1 0 4 .抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2夕 上一点2 0 0，K)处的切线方程是邦卜=p(x +xn).(2)过 抛 物 线 V=2px外 一 点P(x0,y0)所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是yoy =p(x+xo).(3)抛物线9=2外(夕

37、0)与直线/U+B)，+C=0相切的条件是p 8 2=2 4 C.1 0 5 .两个常见的曲线系方程(1)过曲线,/；(x,y)=0,力(x,y)=0的交点的曲线系方程是工(用月+/1 人(无,)0=0(；1 为参数).2 2(2)共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 一 匚+7:=1,其 中 m i n(,/时,表示椭圆；当 m i n 6/2,Z?2 k +辿 或|AB|=5(1 +)(工2 内)2 =|西 一/1 7 1 +t a n2 =|y%I J l+c o t%(弦 端 点v -k x +b人(项，必),3(,当)，由方程 消 去 y 得到af+O x+cuO,()

38、,&为直F(x,y)=0线 A B的倾斜角，k为直线的斜率).1 0 7 .圆锥曲线的两类对称问题 曲 线/(x,y)=0关于点P(x 0,%)成中心对称的曲线是厂(2%)2%-y)=0 .(2)曲线E(x,y)=0关于直线Ax +B y+C=0 成轴对称的曲线是2A(A x+B y +C)2B(Ax +B y +C)(X，)7,1 0 8.“四线”一方程对于一般的二次曲线Ar?+Wy+。2 +以+或+/=0 ,用/X代 一,用代y2 ,用y 代 移,用 代 X,用 Z 代 y 即得方程依/+8里詈+C yy+。铝 土+E网 产+尸=0,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.0

39、9.立体几何1 0 9 .证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.1 1 0 .证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.1 1 1 .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.1 1 2.证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.1 1 3.

40、证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.1 1 4 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.1 1 5 .空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律：X (a+b)=X a+X b.1 1 6.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三

41、个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.1 1 7.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b W O),a b O存在实数入使a=Ab.P、A、8三点共线o o =oO P=(l-f)OA+/OB.A B C D A B.CO共线且A3、CO不共线0A 3 =/C D且A B、CO不共线.1 1 8.共面向量定理向量P与两个不共线的向量a、b共面的 存在实数对x,y,使p =o r+b y.推论 空间一点P位于平面M AB内的O 存在有序实数对X,y,使MP=X M A +yM B,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使=+1 1 9.对 空 间

42、任 一 点。和 不 共 线 的 三 点A,B、C,满 足。P =x Q 4+y Q 3 +z OC(x+y+z =A),则当=1时，对于空间任一点0,总有P、A、B、C四点共面；当时，若O e平面AB C,则P、A、B、C四点共面；若O 2平面AB C,则P、A、B、C四点不共面.A、B、C、D 四点共面o 与 A B、A C 共面 o A O =xA B+y A CoO D=(1 x y)O A+x O B+y O C(0/平面AB C).1 2 0 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,p=x a+yb+z c.推论 设0

43、、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使 Q P =x OA+yQ B +z OC.1 2 1 .射影公式已知向量A B=a和轴/,e是/上与/同方向的单位向量.作A点在/上的射影A,作B点在/上的射影8,则A B=A B|cos&e)=a e1 2 2.向量的直角坐标运算设 b=(b 也 也)则(l)a+b=(q +4，2 +%,3 +4)；(2)a b=(q -bx.a2-b2.a3-b3)；(3)入a=(阳，丸，九 功(入 R)；(4)a b=她 +a 2b2+03b3；1 2 3 .设 A(x,y,Z ),B(j,y2,z2),则A B =

44、O B-O A=一%，一切*2 4).1 2 4 .空间的线线平行或垂直1 i设。=(&昨 4),Z?=(x2,y2,z2),贝(jx,=AX91 1 1 1 1 1a Ph a =Ab(b w0)o ,y=4%；Z =1 1 1 1a 上 b o a b =0 o x x2+y1y2+zz2=0.1 2 5 .夹角公式设 a=(%,%,%),b=(b 也 也),则.,、a h +ah+ahc o s (a,b)=/.51-J”；+域+d 跖 +后 +b；推 论(a f y +a jb2+a3b 3)2 )|I 1=W _|+乂 +2仔 2 Ia-b 旧+短+z：收+%2+z；(其中。(0。4

45、 9 0 )为 异 面 直 线 所 成 角，分别表示异面直线。力的方向向量)128.直线A B与平面所成角B=a rc si n m(m为平面a的法向量).129.若A4 B C 所在平面若夕与过若A8的平面a成的角氏另两边A C,B C 与平面a成的角分别是4、4,4、B 为 A4 3 C 的两个内角，贝|si n2 且 +si n2 02=(si n2 A+si n2 B)si n?6.特别地，当 Z A C B =90 时，有si n2 4 +si n2 02=si n2 9.130.若 A B C所在平面若夕与过若A3的平面a成的角氏另两边AC,与平面a成的角分别是4、O2,A；8为A

46、 48。的两个内角，则ta n2 q+ta n2 02=(si n2 A+si n2)ta n2 0.特别地，当Z A O 8 =9 0时，有si n2+si n2 02=si n2 0.131.二面角a-l-(3的平面角t t l r j/J i n0-a rc cos-或万一 a rc c os-(t n,为平面a,4的法向量).|m|n|m|n 132.三余弦定理设A C是a内的任一条直线，且BCL A C,垂足为C,又 设A 0与A B所成的角为，A B与A C所成的角为%,A 0与A C所成的角为0.贝(I c os6=c os仇c os名.133.三射线定理若夹在平面角为夕的二面角

47、间的线段与二面角的两个半平面所成的角是4,。2，与二面角的棱所成的角是。，则有5由2约m 2。=51112 4+51112名-25后。用11。2以)50；14名 区e 18 0(4+名)(当且仅当6=9 0时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A(X,，X，Z ),B(x2,y2,z2),则dA B=AB|=N A B ,AB =-x,)2+(J2-J,)2+(z2-)2.135.点Q到直线/距离 =-J(|a|/|)2(夕切2 (点p在 直 线|上,直 线/的 方 向 向 量a=P A ,向量a b=P Q).136.异面直线间的距离4=汪2回/,是两异面直线，其公垂向量为，c。分别是

48、/,上任一点，d为n4,，2间的距离).137.点B到平面a的距离d=A BM(为 平 面a的法向量，A3是经过面a的一条斜线，Aea).n138.异面直线上两点距离公式d=2+/+”2 2mH e os8 .d =y jh2+m2+n2-2mncos E A,AF、.d =y lh2+m2+n2-2mn c os(p (p =E-AA-F).(两条异面直线a、b所成的角为6,其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点 E、F,A E=m,A F =n,E F =d).139 .三个向量和的平方公式2 2 2(a +Z?+c)2 a +b+c +2。A +26 c +2c a=J+汇+

49、J+2|a|b|c os b+2h-c c os(h.c+2c-a c os/c,a)140.长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为4、6、4,夹角分别为4、2、4，则有F =I；+/；+/；=c os2 a +c os2 02+c os2 q =1 o si n2.+si n2 02+si n2 03=2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理c os。（平面多边形及其射影的面积分别是S、S ,它们所在平面所成锐二面角的为。）.142,斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是/,侧面积和体积分别是S斜 梭 柱 恻 和 G棱 柱，它的直截面的周长和面积分别是

50、q 和 S1,则 S斜 棱 柱 侧 V 斜棱柱=SL143.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145.欧拉定理（欧拉公式）V +F-E =2（简单多面体的顶点数V、棱数E 和面数F）.（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为的多边形，则 面