数学中考专题训练——平行四边形的判定和性质.pdf

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1、中考专题训练平行四边形的判定和性质1.如图，在EIABC。中，点 、尸分别在边8 c和AO上，且BE=OF.(1)求证：ABEmXCDF.(2)求证：四边形AECF是平行四边形.2.如图，在团ABCD中，E是AD的中点，尸是8 c延长线上一点，且C尸=1 B C,连接CE、2DF.(1)求证：四边形CEZ)厂是平行四边形；(2)若 48=4,AD=6,ZB=60,求。尸的长.3.如图，等边ABC的边长是2,D、E分别为A3、A C的中点，延长8 c至 点F,使CF=B C,连接C和EF.2(1)求证：四边形。CFE是平行四边形：(2)求EF的长.4.如图，E、F是13ABe。对角线AC上两点，

2、且AE=CF.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形.(2)如果把条件AE=CF改为BE_LAC,D F AC,试问四边形8FDE是平行四边形吗？为什么？(3)如果把条件AE=C/改为B=Z)F,试问四边形8FCE还是平行四边形吗？为什么？5.如图，平行四边形ABCC中，ZABC=60 ,点E,F分别在CC和BC的延长线上，AE/BD,EF1BC,C F=4 5-(1)求证：四边形A BQE 是平行四边形;(2)求 AB的长.6.在a ABC 中，AO为 2 c 边上的中线，E为 AO的中点，过点A作 AF BC,交 BE的延长线 于 点 儿 连 接 CF.(1)如 图 1,求证：四边形A O

3、CF 是平行四边形；(2)如图2,连接。尸交AC于点G,连接EG,当/BAC=90,在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2E G的线段.7.如图，四边形A BC。为平行四边形，E为 上 的 一 点，连接E B并延长，使 BF=BE,连接E C并延长，使 C G=C E,连接F G.H为 F G的中点，连接。H.(1)求证：四 边 形 为 平 行 四 边 形；8.如图，过a ABC的顶点C 作 CD A 8,E是AC的中点，连接。E并延长，交线段A8于点 F,连接A D,CF.(1)求证：四边形AFCD是平行四边形.(2)若 A B=4,Z BAC=60,NDCB=135,求

4、 A C 的长.9.如图，A8C 是等边三角形，AO是 BC边上的高.点E在 AB的延长线上，连接E Z),Z A E D=30,过 A作 4 EL A8与 E 的延长线交于点凡 连接BF,CF,CE.(1)求证：四边形8E CF 为平行四边形；(2)若 AB=6,请直接写出四边形BE CF 的周长.A10.如图，四边形 ABC 中，点 E在 A。上，且 E4=EB,/AZ)B=NCB=90,ZA EB+Z C=180.(1)求证：四边形B S E是平行四边形.(2)若而，D B=4.求四边形ABC。的面积.11.如图所示，在4BC中，点。为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长E。交4E的平

5、行线于点F,连接AF、B E.(1)猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论.(2)若 B E1C E,C E=2A E=4,B C=9,求 OE 的长.12.已知：在ABC中，/AC8=90，点。，E分别为8C,AB的中点，连接。E,C E,点尸在QE的延长线上，连接A F,且AF=AE.(1)如 图1,求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)如图2,当/B=3 0 时，连接C尸交A8于点G,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段。E的长度的愿倍.13.如图，四边形ABC。为平行四边形，E为 上 的 一 点，连接EB并 延 长 到点凡使BF=B E

6、,连接EC并延长到点H,使C H=C E,连接F H,点G在FH上，ZAD G-ZAFG,连接DG.(1)求证：四边形4尸G。为平行四边形；(2)在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为尸，的一半的所有线段.14.已知，如 图1,。是ABC的边上一点，CN/AB,D N交A C于点M,M A=M C.(1)求证：四边形AOCN是平行四边形.(2)如 图2,若NAMQ=2NMCC,ZACB=90 ,A C=B C.请写出图中所有与线段AN相等的线段(线段AN除外).15.如图，在m ABC。中，ND4B=60,点、E,F分别在CO,AB的延长线上，且AE=A。,CF=CB.(1)求证：四边

7、形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件/AB=/60”，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.EDABF1 6 .如图，在回A B C。中，对角线A C,相交于点。，A B _ L A C,A B=3 c r o,B C=5cm.点P从A点出发沿A。方向匀速运动，速度为1 C 7 W/S,连接P。并延长交B C于点。.设运动时间为，(s)(0/=1 2,点E从。点出发，以每秒1个单位的速度沿D A向点A匀速移动，点尸从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C-B-C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.点G为8。上的一点，假设移

8、动时间为，秒，B G的长度为y.(1)证明：A O B C；(2)在移动过程中，小明发现有 O E G与 B P G全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间f和B G的长度y.1 9.在 A B C 中，A B=A C,点 P为 A B C 为所在平面内一点，过 点 P分别作P F A C 交A8于点F,PE AB交 B C 于点、D,交 AC于点(1)当 点 P在 BC边 上(如 图 1)时，请探索线段PE,PF,A H之间的数量关系式为.(2)当点P在 A B C 内(如图2)时，线段P A,PE,PF,A 8 之间有怎样的数量关系，请说明理由.(3)当点P在

9、 4 B C 外(如图3)时，线段尸。，PE,PF,AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论.2 0 .如图，四边形A 8 C Z)是平行四边形，AD=AC,ADAC,E是 48的中点，尸是AC延长线上的一点.(1)若 E D L E F,求证：E D=E F；(2)在(1)的条件下，若 DC的延长线与尸8交于点P,试判断四边形A C P E 是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再 解 答)；(3)在(1)的条件下，若B C的延长线交D F于 点Q,连 接 QA与Q E.试说明Q A =QE.参考答案与试题解析1.如图，在团A 8 C D 中，点 E、尸分别在边BC和上，J g.BE

10、=DF.(1)求证：凡(2)求证：四边形A E C F 是平行四边形.C【分析】(1)根据平行四边形的性质得出A B=C ,N B=N D,根据S A S证出A 8 E名 CDF；(2)根据全等三角形的对应边相等即可证得.【解答】证明：(1)：四边形A 8 C。是平行四边形，：.AB=CD,NB=ND,A B=C D在A 8 E和C D F 中，.Z B=Z DB E=D F.,.A B E丝C D F (SA S)；(2)：BE=DF,：.AF=CE,JAF/CE,四边形A E C F是平行四边形.A-L-D2.如图，在同4 B C C中，E是A。的中点，尸是B C延长线上一点，且C F=2

11、 8 C,连接C E、2DF.(1)求证：四边形C E Q F是平行四边形；(2)若 A B=4,A O=6,Z B=6 0 ,求。尸的长.【分析】(1)只要证明。E=C F,)E C F即可解决问题；(2)过。作。”_ L B E于H,想办法求出。H、，尸即可解决问题;【解答】解：(1)证明：；四边形A B C D是平行四边形，J.AD/BC,AD=BC,又：E是A。的中点，C.DEAD,2：CF=BC2：.DE=CF,5L：AD/BC,.四边形CE Z J F 是平行四边形.(2)过。作 DHLBE 于 H,：.Z DCF=60,：A B=4,：.CD=4,；.C”=2,D H=2yj,：

12、.F H=,在 Rt a DHF 中，=VDH2+F H2=V13-3.如图，等边ABC的边长是2,D、E分别为A 8、AC的中点，延 长 8C 至 点 F,使 CF=B C,连接CD和 E K2(1)求证：四边形OCF E 是平行四边形；(2)求 EF 的长.【分析XI)直接利用三角形中位线定理得出。E BC,D E=LBC,进而得出。E=F C；2(2)利用平行四边形的判定与性质得出OC=EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF 的长.【解答】(1)证明：。、分别为A8、AC的中点，.,.OF 为ABC的中位线，J.DE/BC,D E=AC2延长BC至点F,使 CF=2BC,2：

13、.DE=FC,：DE/FC,四边形DCFE是平行四边形.解：DE/FC,D E=F C四边形D E F C是平行四边形，：.DC=EF,为 AB的中点，等边4 B C 的边长是2,：.AD=BD=,CDLAB,BC=2,：.D C=E F=6 2 _ 2 =如.4.如图，E、尸是团A BC。对角线A C上两点，且 A E=CF.(1)求证：四边形8F QE 是平行四边形.(2)如果把条件AE=CF 改为8E J _ A C,DFA.AC,试问四边形8F OE 是平行四边形吗？为什么？(3)如果把条件A E=C尸 改 为 试 问 四 边 形 BF D E 还是平行四边形吗？为什么？【分析】(1)

14、方法一：证明火!且 QC F,推出8E。尸即可.方法二：连接 B。，交 4c于点0.只要证明0E=。尸，。8=0。即可；(2)是平行四边形.只要证明BA E 出OCF 即可解决问题；(3)四边形BF CE 不是平行四边形.因为把条件AE=CF 改为BE=尸后，不能证明B A E 与A D C F 全等;【解答】(1)证法一：A BC。是平行四边形.-.A B=C D且 A BCQ (平行四边形的对边平行且相等)/B A E=Z D C F5L：A E=C F:.4BAE刍A D C F (SAS)：.BE=DF,N A E B=N C F D.,.Z B F=1800-Z A E B Z D

15、F E 1 8 0Q-Z C F D即：N B E F=N D F EJ.BE/DF,W B E=D F四边形BF CE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)证法二：连接B D,交 AC于点O.A，DE：A 8C是平行四边形：.OA=O C O B=O D(平行四边形的对角线互相平分)又，OA-A E=O C -C F,即 O E=O F，四边形8尸 陀是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(2)四边形BF QE 是平行四边形.4 BCD 是平行四边形：.A B=C D且 4 BC(平行四边形的对边平行且相等)：.Z B A E=Z D C F BE1AC,D F

16、 L A C；.NBEA=/DFC=90 ,BE/DF：./XBAEDCF(A A S)：.BE=DF四边形BF QE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)(3)四边形BF DE 不是平行四边形因为把条件A E=C F改为B E=D F 后,不能证明 84 E与4 D C F全等.5.如图，平行四边形A 8CD中，NA 8C=60,点、E,F分别在CD和 BC的延长线上，AE/BD,EFLBC,CF=V 51(1)求证：四边形A BDE 是平行四边形；(2)求 A8 的长.【分析】(1)根据平行四边形的判定定理即可得到结论；(2)由(1)知，A B=D E=C D,即。是 C

17、E的中点，在直角a C EF中利用三角函数即可求得到C E的长，则求得C Q,进而根据A B=C。求解.【解答】(1)证明：四边形A B C。是平行四边形，.A B C ,即4 B E,：AE/BD,四边形A 8 O E是平行四边形；(2)解：EFLBC,：.Z E F C=9 0a.AB/EC,；./ECF=NABC=60 ,A Z C E F=3 0 0,:C F=:.C E=2CF=2爬,：四边形A B C D和四边形A B D E都是平行四边形，：.A B=CD=DE,：.CE=2AB,：.AB=yS-6.在 A B C中，AO为B C边上的中线，E为A。的中点，过点A作A F B C

18、,交B E的延长线于点尸，连接C F.(1)如 图1,求证：四边形A D C尸是平行四边形；(2)如图2,连接。尸交A C于点G,连接E G,当/5 4 C=90 ,在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2E G的线段.图1图2【答案】(1)证明见解析；(2)CD,AF,BD,AD,CF.【分析】(1)由E是 的 中 点，过点A作A F B C,易证得A F E丝/X O B E,然后证得A F=B D=C D,即可证得四边形A O C尸是平行四边形；(2)根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可.【解答】(1)证明：是AO的中点，：.AE=ED,：AF/BC,：.Z

19、A F E=NDBE,Z F A E=Z B DE,在A F E和 Q B E中，Z A F E=Z D B EA E=D EA /X A F E A D B E(A4 S),：.AF=BD,是 8C边中线,：.CD=BD,：.AF=CD,四边形CD4 F 是平行四边形；（2）解：四边形CD A 尸是平行四边形,：.AG=GC,AD=CF,为 AO的中点，.E G是AQC的中位线，：.2EG=DC,：NBA C=90,A 为 BC边上的中线，：.B D=D C=A D,由(1)可知，C D=A F=B D=2 E G,即所有长度为2E G的线段是C）,AF,BD,AD,CF.7.如图，四边形4

20、 8CO为平行四边形，E为 4。上的一点，连接E B并延长，使 BF=BE,连接E C并延长，使 C G=C E,连接F G.H为 F G的中点，连接。H.（1）求证：四 边 形 4为平行四边形；(2)若 CB=CE,NBAE=70,ZDCE=20,求N CBE 的度数.【分析】（1）由平行四边形的性质得出A O=8C,A O8C；证明BC是EF G的中位线,得 出 8CF G,B C F G,证 出 A。/H,A D=F H,由平行四边形的判定方法即可得2出结论；（2）由平行四边形的性质得出/BCE=50,再由等腰三角形的性质得出NC B E=N C E B,根据三角形内角和定理即可得出结果

21、.【解答】（1）证明：四边形A 2CZ）是平行四边形，：.AD=BC,AD/BC,N B A E=N B C D,：BF=BE,CG=CE,是 E F G的中位线,：.B C/FG,B C=1FG,2为F G的中点，:.FH=LFG,2J.B C/FH,B C=FH,：.A D/FH,A D=FH,四边形A F H D是平行四边形；(2)解：V ZB A E=10,A Z B C D=70 ,V Z D C =20 ,:.NB C E=7Q-20 =5 0 ,:C B=C E,；.NC B E=N C E B=L(1 8 0 -5 0 )=6 5 .28.如图，过a A B C的顶点C作C C

22、 A 2,E是A C的中点，连 接 并 延 长，交线段A 8于点 凡 连 接A D,C F.(1)求证：四边形A F C D是平行四边形.(2)若 A B=4,Z B A C=6 0 ,N Z)C B=1 3 5 ,求 A C 的长.【分析】(1)先证4 E F丝C E (A 4 5),得 4 F=C。，再由 C)A B,E P A F/C D,即可得出结论；(2)过。作。知 _1 _ 4 8于加，先证 8 C M是等腰直角三角形，得B M=C M,再由含3 0 角的直角三角形的性质得A C=2A M,BM=CM=&AM,由A M+B M=A B求 出A M=2V 3-2,即可求解.【解答】(

23、1)证明：是A C的中点，：.A E=C E,JC D/A B,NA FE=NC DE,在?!；尸和 C E O中，Z A F E=Z C D E.Z A E F=Z C E D A E=C EA AAEF ACED(AAS),：.AF=CD,又e p AF/CD,.四边形AFCD是平行四边形；(2)解：过 C 作 CM_ L A 8于 M,如图所示:则NCMB=N(7M A=90,:CD AB,./B+NOCB=180,；./B=180-135=4 5,.BCM是等腰直角三角形，；.BM=CM,VZ BAC=60 ,；.NA CM=30,：.AC=2AM,B M=C M=MAM,AM+BM=

24、AB,：.AM+-/3AM=4,解得：A M=2代-2,：.AC=2AM=4y/3-4.9.如图，ABC是等边三角形，A 是 BC边上的高.点E在 AB的延长线上，连接E Q,Z AED=30,过 A作 A 凡L A2与 E Z)的延长线交于点F,连接8F,CF,CE.(1)求证：四边形BE C尸为平行四边形；(2)若 AB=6,请直接写出四边形BE CF 的周长.A【分析】(1)根据等边三角形的性质可得BD=DC,N B A O=/C4O=30,然后证明4。尸为等边三角形，可得E D=D F,进而可以证明四边形8EC尸为平行四边形；(2)根据A 8=6 和勾股定理可得B F的长，然 后 证

25、明 进 而 可 得 四 边 形 BECF的周长.【解答】(1)证明：是等边ABC的 BC边上的高，:.BD=DC,NBAD=NCAD=30,V ZAED=30,：.EDAD,ZAD F ZAED+ZEAD6Q,：AFAB,：.ZDAF=90-NEAD=90-30=60,.AD尸为等边三角形，：.AD=DF,:ED=AD,：.ED=DF,:BD=DC,：.四边形BECF为平行四边形；(2)VAB=6,：.BD=3,AD=3-/3,A。/为等边三角形，：.AF=AD=3-/3,BF=VAB2+AF2=V 62+(3 V 3)2=3 V 7，V ZABC=60,ZAED=30,；.NBDE=30,：

26、.BE=BD=3,，四边形 BECF 的周长为：2(BF+BE)=2(3 4+3)=677+6.1 0.如图，四边形 A8C 中，点 E 在 AO上，且 E4=E8,NADB=NCBD=90,ZAEB+ZC=180.(1)求证：四边形BCOE是平行四边形.(2)若 AB=5/而，D B=4.求四边形4BCD的面积.【分析】(1)根 据/4。8=/(7 8。=9 0 ,可得 D E C B,由/A E B+/C=180.证明B E/CD,进而可得四边形B E D C是平行四边形；(2)根据勾股定理先求出AO的长，再设D E=x,则 E4=A。-O E=8-x,E B=E A =8-x.根据勾股定

27、理列式计算得x 的值，进而可以求出四边形ABCO的面积.【解答】解：(1),：ZA DB ZC B D=9 0 ,J.DE/C B,：NAEB+NC=180,./AEB+/BE=180,：.Z C=Z B E D,:.N C D B=N E B D,：.B E/C D,：.四边形B E D C是平行四边形；(2)四边形BEDC是平行四边形.：.B C=DE,在中，由勾股定理得，=VAB2-BD2=0-16=8.设 D E=x,则 E A=A D -DE=8-x,：E B=E A =8-x.在 RtaBDE中，由勾股定理得，DE+DEpEB2,(8-x)2.解得x3.3C=OE=3,.S 四 边

28、 形A BCD=SAABD+SA BD C=A O O B+2O BBC=16+6=22.2 21 1.如图所示，在ABC中，点。为边AB的中点，点 E 为 AC边上一点，延长EQ交 AE的平行线于点R连接4尸、B E.(1)猜 想 四 边 形 的 形 状，并证明你的结论.(2)若 BELCE,CE=2AE=4,B C=9,求。E 的长.【分析】(1)根据已知条件证明?!丝 M ,可得ED=FD,可得四边形A E B尸是平行四边形；(2)根据5 EL C E,可得四边形4 E BF是矩形，根据CE=2A E=4,B C=9,再利用勾股定理即可求力E的长.【解答】解：(1)四边形A BF是平行四

29、边形，证明：.点。为边A8的中点，：.AD=BD,.AE/BF,：.NAED=NBFD,在A E Z)和8F D 中，:.DE=LAB=.2 21 2.已知：在 A B C中，Z A C B=90 ,点、D,E分别为B C,A B的中点，连接。E,CE,点尸在。E的延长线上，连接A F,且A F=A E.(1)如 图1,求证：四边形4 C E F是平行四边形；(2)如图2,当N B=3 0 时，连接C F交A B于点G,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段D E的长度的百倍.【分析】(1)由三角形的中位线定理可证得O E A C,由直角三角形斜边中

30、线定理得到C E A B,根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得N F=/C E ,进而得到2AF/CE,根据平行四边形的判定即可证得四边形A C E F是平行四边形；(2)根据直角三角形的性质得到A C=A B,由(1)知C E=2 A 8,求得A C=C E,推2 2出四边形A C E F为菱形，得到A E L C F,根据直角三角形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：.B O=C D,BE=AE,：.DE/AC,：.N A E F=NEAC,N C E D=ZECA,：ZACB=90,BE=AE,：.CE=AE,：.Z E A C=Z E C A,Z F=NAEF,；./F=/C

31、 E D,：.AF/CE,.四边形A C E F是平行四边形：(2)解：V ZACB=90,NB=30,；.AC=2AB,2由(1)知 CE=AB,2：.ACCE=BE,又 四边形ACEF为平行四边形四边形ACE尸为菱形，.AEA.CF,:CE=BE,，NB=N)CE=30,：.ZBEDZBAC=60,：DF/AC,NBDE=NACB=NCDE=9Q,:.BD=CD=MDE,：NDEB=NFEG=ZCG=60,/.ZCED=60,：.ZFEG=ZCED,:EF=CE,/EGF=/CE=90,A/XEFG/XCED(AAS),：.EGDE,FG=CD,:.FG=MDE,：CG=FG,:.CG=M

32、DE,.等于线段E的长度的代倍的线段是尸G,CG,CD,DB.1 3.如图，四边形ABC。为平行四边形，E为4。上的一点，连接EB并延长到点凡 使8F=B E,连接EC并延长到点H,使CH=CE,连接F H,点G在FH上，ZADG=ZAFG,连接DG.(1)求证：四边形AFGO为平行四边形；(2)在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为尸”的一半的所有线段.【分析】(1)只要证明A。尸G,A尸OG即可;(2)根据三角形的中位线的性质和平行四边形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：如图，：E B=BF,EC=CH,J.BC/FH,BC=、FH,2.四边形4 8 c o是平行四边形，：.

33、AD/BC,：.AD/FH,：.ZDAF+ZAFG=SOC,ZADGZAFG,：.ZDAF+ZADG=18O,：.AF/CD,四边形AFHD是平行四边形；(2)四边形A BC。为平行四边形，J.ADBC,:BF=BE,CH=CE,:.BC=、FH,2：.ADFH,2；四边形AFHD是平行四边形，：.FGAD=FH,2:.HG=LFH,2长度为F H的一半的所有线段为：AD,BC,FG,HG.1 4.已知，如图1,。是4 B C的边上一点，CN/AB,DN交AC于点、M,M4=MC.(1)求证：四边形A OCN是平行四边形.(2)如图2,若N A MZ)=2N MC,Z A CB=90,A C

34、B C.请写出图中所有与线段AN相等的线段(线段AN除外).【分析】(1)由CN A B,MA=MC,易证得A MD部CMM 则可得MD=MN,即可证得：四边形ADCN是平行四边形.(2)由可证得四边形AOCN是矩形，又由/ACB=90,AC=BC,可得四边形AQCN是正方形，继而求得答案.【解答】(1)证明：CNAB,:.NDAM=NNCM,在ADM和CNM中，rZ D A M=Z N C M,CF=CB.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件“NOAB=N60”，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.E D CA R F【分析】(1)由

35、已知条件可得AE,ZXCFB是正三角形，可得乙4EC=N8FC=60,NEAF=NFCE=120,所以四边形AFCE是平行四边形.(2)上述结论还成立，可以证明AOE丝ZSCB凡 可得尸 C,Z E A F=ZF C E,所以四边形AFCE是平行四边形.【解答】(1)证明：.四边形A8C。是平行四边形，：.DC/AB,NDCB=NDAB=60.：.Z A D E Z C B F 60.：AE=AD,CF=CB,：./XAED,CFB是正三角形.A ZAEC=ZBFC=6QO,N EAF=N FCE=120.四边形AFCE是平行四边形.(2)解：上述结论还成立.证明：四边形ABCO是平行四边形，

36、：.D C/A B,/C D A=NCBA,NDCB=NDAB,AD=BC,DC=AB.：.NADE=NCBF.AE=AD,CF=CB,：.ZAED=ZADE,NCFB=NCBF.NAED=/CFB.又BC,在ACE和aC B 尸中.NADE=NCBFAD=BC:.AAD E经/CBF(A A S).：.NAED=NBFC,ZEAD=ZFCB.又，：4DAB=NBCD,：.ZEAF=ZFCE.四边形EAFC是平行四边形.1 6.如图，在团ABCD中，对角线AC,相交于点O,ABLAC,AB=3cm,B C=5cm.点尸从A 点出发沿4。方向匀速运动，速度为k m/s,连接尸。并延长交BC于 点

37、 Q.设运动时间为f(s)(0 f&!中AC=AC BC=ADAB 二 CDC SSS)，19SDCA=SBAC=X 3cmX 4cir=6cm。.A O=O CA A DOC 的面积=SAOCA=3OR2当 t=4s 时，A P=C Q=4cm,:OQC 的面积为工 x 1.2a x X 4 c M=2.4 c、m 2,2,7 7.y=3cm+2.4。=5.4。%.1 7.如 图 1,在ABC中，。是 5C边上一点，且 C D=B D,E是AO的中点，过点A作 3。的平行线交CE 的延长线于凡 连接B凡(1)求证：四边形A F BZ)是平行四边形；(2)如图2,若 A B=A C=13,8

38、0=5,求四边形A F B力的面积.【分析】(1)根据全等三角形的性质和判定求出AF=CD 求出AF=8 D,根据平行四边形的判定推出即可；(2)求出四边形AF BD的矩形，根据勾股定理求出AD,根据矩形的面积公式求出即可.【解答】(1)证明：A F B C,N A F E=N D C E,E是AC的中点，J.AEDE,在尸E和 O C E中，Z A E F=Z D E C ；与A B F G全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间/和B G的长度y.【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；（2）利用全等三角形的判定求解.【解答】解：（1）：A D=B C,

39、A B C D,，四边形A B C。是平行四边形，：.A D/B C-,（2）B G=y,DE=t,当 0这rW旦 时,C F=3 t,贝I JB尸=8-3f,3A D/B C,：.N D B C=N A D B,若与 B f G全等，则 B F=D E 且 BG=D G,或者 B F=D G 且 B G=DE,un即：f t=8-3t或Hi f y=t，ly=12-y|8-3t=12-y解得：（t=2或（y=-2（不合题意，舍去），I y=6 t=-2当&,PE,PF,A 8之间有怎样的数量关系，请说明理由.（3）当点P在4 A B C外（如图3）时，线段尸。，PE,PF,A B之间有怎样的

40、数量关系，直接写出结论.【分析】（1）先求出四边形P阳E是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE,再根据两直线平行，同位角相等可得/B P E=/C,然后求出利用等角对等边求出P E=B E,然后求解即可；（2）根据等边对等角可得NB=NC,再根据两直线平行，同位角相等可得然后求出/C=N C ）E,再根据等角对等边可得C E=P Q+P E,然后求出四边形尸阳E是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得P E=A F,然后求出P D+P E+P F=A C,等量代换即可得证；（3）证明思路同（2）.【解答】解：（1）答：PE+PF=AB.证明如下：.点P在B C上，：.PD=0,PE

41、/AC,PF/AB,：.四边形P R 1E是平行四边形，：.PF=AE,：PE/AC,：.N B P E=N C,:.N B=N B P E,:.PE=BE,：.PE+PFBE+AE=AB,:PD=Q,:.PE+PF=AB；故答案为：PE+PF=AB(2)证 明：*：AB=ACf:B=/C,:PE AB,:NB=NCDE,：.Z C=Z C D Ef:CE=PD+PE,V PF/AC,PE/AB,四边形尸谈E是 平 行 四 边 形,：.PE=AFf：PD+PE+PF=AC,：.PD+PE+PF=AB；(3)证 明：同(2)可 证。E=C E,PE=AF,：AE+CE=AC,LPF+PE-PD=

42、AC,2 0.如 图，四 边 形A B C。是 平 行 四 边 形,AD=AC,ADLAC,E是AB的 中 点，尸 是AC延长 线 上 的 一 点.(1)若 E D L E F,求 证：ED=EF；（2）在（1）的 条 件 下，若OC的延长线与 所 交 于 点 尸，试 判 断 四 边 形A C P E是 否 为 平行 四 边 形？并 证 明 你 的 结 论（请 先 补 全 图 形，再 解 答）；（3）在（1）的 条 件 下，若BC的 延 长 线 交。尸 于 点0,连 接QA与QE.试 说 明0 4 =QE.E*【分析】（1）根据平行四边形的想知道的A O=A C,AD LAC,连 接C E,根

43、据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到C=A ,等量代换得到A C=C F,于是得到C P=A B2=A E,根据平行四边形的判定定理即可得到四边形A C P E为平行四边形；（3）由（1）知AC=CF,根据三角形的中位线的性质得到DQ=FQ,根据直角三角形的性质即可得到结论.【解答】（1）证明：在E L 4 B C D中，：AD=AC,ADLAC,：.AC=BC,ACBC,连 接C EYE是A 8的中点，：AE=EC,CEAB.；NACE=NBCE=45,：.ZECF=ZEAD=35,V E D F,：.ZCEF=ZAED=90-Z C E D,/C E F =N A E D在dCEF 和A E。中，E C=A E ，Z E C F=Z E A DA A C E F A A E D,：ED=EF；（2）解：由（1）知CEF9XAED,CF=ADf*：AD=ACf：.AC=CFf,:DP AB,:,FP=PB,：.CP=-AB=AEf2 四边形A C P E为平行四边形；（3）由（1）知 A C=C E?CQ/AD,：.DQ=FQ,在 RtADAF 与 RtADEF 中,B