模块五第一章解三角形.pdf

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1、模块五:第 一 章 解 三 角 形学习目标1、理解正弦定理，应用正弦定理解决有关三角形的问题2、理解余弦定理，应用余弦定理解决有关三角形的问题3、应用余弦定理和正弦定理解决有关距离、高度、角度等几何量的测量和计算问题第 一 讲 解 三 角 形基础知识1、正弦定理：，一=-=一 =2R (R为 A B C的外接圆半径)s i n A s i n B s i n C2、面积公式:S =a b s i n C =-bcs i n A=e as i n B2 2 2余弦定理:a2=b2+c、2 -2 b ccos Ab2-c2+a2-lea cos Bc1=c r+b -2abe os C正弦定理可解

2、决：知两角及边知两边及一边的对角(此类问题可有两解，一解、无解)余弦定理可解决：知二边求角知两边及夹角课前热身(1)在A 4 B C中，若s i nA s i n8,则 正 确 的 是(A)A、A B D,大小不确定(2)在 A 4 8 C 中，已知 A=45 ,3=6(r,贝g=也(3)在A 4 8 C中，已知a=3,=4,c=6,则最大内角的余弦值为：(4)在中，4。=2,48=3,8。=,则4 4 8。的面积为：-2范例分析例 1 (1)A 4 8 C 中，已知a=4V,b=4,5=30 ,求 A。(2)A 4 8 C中，若4=6 0 f,8=16,三角形的面积5=2 2 0 6，求边长

3、a。4 asinB 4gsin30 4/八。f一)解：(1)v sinA=-=-=,：ab，A=60 或 12(1b4 2(2),/S=be sin A=4 V3c=220/3.,.?=552/.a2=162+552-2xl6x55xcos 602401/.a=49点评：本题是直接应用公式解题，意在让学生熟记公式及直接应用。例2在A 48C中，A=6 0/=l,面 积 为 把，求竺心的值2 sin A+sinB+sinCi J3解：山5=hcsinA=得c=2,2 2/.a2=b1+c2 2/7ccosA=3 a=V3Q+5+C a 个.=2sin A+sin 3+sin C sin A点评：

4、本题是综合应用定理解题，注意定理的变式应用。例3在A 4 8 c中，若acosA+bcosB=c s in C,则A4BC的形状是什么？解 法 :由已知有:2bc 2ac 2ab 斤 +c2-4z2)4-/?2(a2+c2-b1)=c2(a2+6 -c2)(a2-b2)2=c4ia2=b2+c2 b2=a2+c2.A 48C为直角三角形解法二：由已知有：sin A cos B+sin B cos B=sin C cos Csin 2A+-sin 2B=-sin(A+8)cos(A+B)2 2sin(A+B)cos(A-B)=-sin(A+B)cos(A+B):0 A+8 )C s i n D

5、=14s i nB=87322点评：本题充分运用平面几何的知识，将求面积转化为求s i n 8的大小。达标练习1、ABC 中若a=正4 A=26 贝i Jcos B=(B)2A、V53B、V5C、V5TD、562、(B)71A、671B、32%C -3D、乃T X 2%或 3 33、(C)A、4 y/2B、4 y/3C、476D、32T4、ABC 中，若0 t an At anB 1,则 A A B C 是(B)A,直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不确定5、b在锐角A 4 8 C中，B=24,则一的取值范围为a(B)As (2,2)B、(V 2,V 3)C、(72,2)D、(0,2)

6、6、在AABC 中，若（。+。+。）3+b一。）=3。/?,且5。=25 1117185 8,则2 45。为（A）A、等边三角形B、等腰三角形但不是等边三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形但不是直角三角形7、在A46C中，边凡人的长是方程x2-5x+2=0的两根，。=120则边，=后8、已知A48C中，sinA:sin8:sinC=JG:后：2、四，则最大角的余弦值为129、已知 AA8C 中，c=10,A=45,C=30,求解三角形。解：8=180 45 30=1051 0 _ h _ asin 30-sin 105-sin 45&=5(V6+V2),a=10V210、在AA8C中，角A、

7、B、C的对边分别为。、b、c,又tan A=,sin 82VTo(1)求tan C的值(2)若AA8C最短边的长为 逝，求AABC的面积。5解：(1)若B为 钝 角：nl n3710 n 1则 cos B=-/.tan B=,10 3tan(A+B)_ tan A+tan B1 tan A-tan B-1-21-31-6A=-+a1n1-2xt-：.tan C=-C为 钝 角 舍 去78 为锐角，tan 8=，同 理 可 求tan C=-13(2)由(1)有 tanC=-l 0n C tan 8 0.b边为最短边，而8=正5也交Z？sin C 2 F i A Mc=-=/i/=1,又 tan

8、A=,sin A=-cos B V10 2 510 c _ 1,-4_1 V5.V 5 _ l.S AARr=-be sin A=x-x 1 x-=ABC 2 2 5 5 10第二讲解三角形应用举例基础知识1、坡角：坡向与水平向的夹角。2、仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角。3、方向角：把指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 度的水平角。如 X偏 X多少度”。4、方位角：某点开始的指北方向线顺时针转到目标方向线为止的水平角。课前热身1、海中有A、B、C三个小岛，且三个小岛间的距离均相等，现测出B 岛在A岛的北偏东40 的方向，则 C岛在

9、B 岛的南偏东型 的 方向。2、当太阳光线与水平面的倾斜角为6 0 时，一根长为2m的竹竿，要使它的影子最长,则竹竿与地面所成角为：3 0,这 时 影 子 的 长 为 工 米。一3、某人向正东方向走了 4 千米后向右转了一定的角度，然后沿所方向直走了 3千米,此时离出发地怡好为亚千米。则此时右转的角度为 眦。4、一树杆被台风吹断，折断的部分与地面成3 0,树干底部与树尖着地处相距2 0 m,则树干原来的高度为：2 0 岛。范例分析例 1如图A、B 两点都在河的对岸，设计一种测量A、B 两点间距离的方法。解：测量者可以在河岸边选定C、D 两点，测 得 C D =a,并 且 在 C、D 分别测得N

10、 B C A =a,Z A C D =/3,ABDA=5,/C D B =r,在4 A B C 和A B D C 中应用正弦定理得:t z s i n(r+38不改变航向，无触礁危险。7 T8、在AA5C中，内角A,5,C对 边 的 边 长 分 别 为 已 知C=2 C=-3(1)若A 48c的 面 积 为 百，求a,。；(2)若 sin8=2 s in A,求 AA8C 的面积。a2+b2-ab=4解：(1)由已知有，i 厂=i/?=2。a2-b2-ah=4=bb=2a由v2 G八亍.L 26r-S/A B C =-S in C=,4V3 2 3b=-3第 二 章 数 列学习目标1、识别数列

11、的概念与简单表示法；2、识记等差数列公差，等差中项的概念，理解等差数列的通项公式；3、理解等差数列的前n 项和公式，关注数列方法的应用；4、了解等比数列，公比，等比中项的概念，理解等比数列的通项公式；5、理解等比数列的前n 项和公式，关注数列方法的应用。第三讲数列的基本概念基础知识1、数列的概念（1）数列是按一定顺序排列的一列数，记作坊,。2，/，简记 勺。（2）数列 4 的第项与 与项数的关系，若能用一个公式&“=/（）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。2、数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、图示法、解 析 法（通项公式）和递推法（递推关系）3、数 列 的 通 项 a“与前项和S”

12、的关系（1 ）S“=%+出+。”5（n =l）（2）a -51 （2）课前热身1、数列1,3,6,10,的一个通项公式为（C ）A、an=n2 （H-1）B、an=n2-1n（n +l）n（n-l）C、=-D、a =-“2 22、数列 1,1,2,3,5,8,x,21,3 4,5 5,中，x 的 值 为（D ）A、10 B、11 C、12 D、133、数列 ,的通项公式为an=3/-28，则数列各项中最小项是（B ）A、第 4项 B、第 5 项 C、第 6 项 D、第 7 项4、数列 ,的前n项和S,=/-4 n +1,则通项公式为。2 n=la.=2范例分析例1根据下列数列的前几项，分别写出

13、它们的个通项公式：(1)1,11,111,1111,，3 15 35 63(3)1,3,3,5,5,7,7,99 1 2 1 1解析：(1)将数列变形为,X (10-1),X (1 1),X (103 1)故%=X (10-1)(2)正负相间，用(1)向确定，分子为2，分母为Ix3,3x5,5x7,-(2o-l)x(2n+l),故=5-(2/?-l)(2n+l)(3)将已知数列变为 1 +0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,可知,1 +(-1)an=+-2点评：分析、比较、联想、归纳、转换，获得项与项序 号 的 一般规律，从而求得通项。例2已知数列 4 的前项和

14、为S“，分别求其通项公式：(1)StJ 2 8 M+C；19(2)5“=三3+2)2(%0)。O解：(1)当=1 时，q=。-6 当 2 2 时，an=Sn=Sn_=4n-10,C-6 n=故=v 4 1 0 n21,(2)当=1 时，q=S=(q+2)=2 当 N 2 时，84 =s“-S“-1=J&+2)2-l (%T+2)2&-2)2-(+2)2=0o o(4+*)-4-i-4)=0 又a.所以%一%_|=4可知 4 为等差数列，公差为4。.4=4-2S,n=1点评：本例的关键是应用勺=求数列的通项，要特别验证力的值是否U，-S _ n 2满 足“N 2”的通项公式。O例3已知数列 氏

15、中，%=（+2）（历），试问取何值忖，为 取最大值？并求此最大值。9“+（+3）,（行 严 9 5+3）a解：因为-一二八 ,，当且仅当=7时，&包=1,即4=%。%（+2）.（%1。（+2）册当 1 ,即4+%,即%。6 “5%“3 出 4 1。a.当“28 时，。9 6 0 ，_ 98故当=7或8时，a“最大，最大值 为%=。8=而 。点评：数列的最大项与最小项，可以用比较法研究数列的单调性。达标练习1、数列3,5,7,-9,11,的一个通项公 式 为（）DA、a=(-i r.(2n +l)B、aC、2、an=(-1)-(2n-l)D、=(-l)n+,-(2+l)已知数列 4,a“=22_

16、 14 =3,它 的 最 小 项 是（D ）A、第5项 B、第6项 C、第7项 D、第3项或第4项2%0 21 ,2)/.出=可3s=%+4.当 N2 时，a“=3S”-4.3矶=%+-435+1=4+1+4.也=，4，成 等 比 数 列.%=4 ,/=(严221n=1(1、)，1 之，9I 2410、已知数列 g 的前项和$=(%,-1),数 列 低 的前项和T 2,13T=n 4n e N*2 2(1)求数列 a.、低 的通项公式；(2)若对于任意的 w N*,有 M a,N b”成 立,求实数M的取值范围。4 4 4解析：(1)V 5=-(1),S“+i=(a“+i-1),S,+i-S“

17、=(6+-。“)4a+i=4 又a“=S|=(%-1)=4.4 为 G、P，a=4又当=1时，仇=1=1 0,当“2 2时，bn=Tn-Tn_i=7 n +3,对=1也应用故a=7+3 o（2）由（1）知，对VEN*,有2 2 成立等价于团2-对 V”e N*成x,4M/人、/7+3、金等价于机之（下 一）m a x，而7(+1)+34，+17+34 7 +104(7+3)由于(7 +10)-4(7 +3)=-21一2 07/,+10 1对 V w N*均 成 立：四 工 是单调递减数列4(7+3)(4 J/7 +3、7 x 1+3 5 .3 以-升用“5 、()m a x =1 =5,故 的

18、 取值氾围为-,+0 h第 四 讲 等 差 数 列基础知识1、定义：若。一4_1=5 2 2,6乂*,4为 常 数)，则数列 4 是等差数列。2、通项公式：%=%+(-1)4=dn+(%-d)3、等差中项：若a,x,b成等差数列，则x是 的 等 差 中 项，且x=24、前项和公式：S“=(4 +)=q+，(-l)d2 2=g 2+(q 一 曰)5、性质:(1)机+=p+qtn,n,q,q G N*)则 am+a.=ap+aq(2)S2n_=(2n-l)a(3)Sn,s2 -sn,s3-s2n-仍然成等差数列。(4)若 6,为等差数列，贝 心,仍为等差数列，且其公差为 6,的公差的一半。课前热身

19、1、在2与6之间的插入三个数，使它们成等差数列，则中间这个 数 为(B)A、3 B、4 C、5 D、122、等差数列 4“中，6+%+3+4+%=20，则 4=4。3、等差数列 4 中，%=3,4=33,则公差d=34、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,所有项的和为390,则这个数列的项数为13范例分析例1在等差数列 ,中，已知的=10，%=31.求出0，%解：%=10,%2=一24+4d=10 q=2a】+lld=31 d=3/.an-ai+(-l)d=3-5,4()a+19d=55或由二&=3有12-5。2()=a5 +15d=55an=%+(-5)d=3n-5点评：

20、熟悉公式，正确计算是解决本题的关键。例2在等差数列%中，*0=100,5|00=10,求 与0100=10。+解：山题意：,10=100q+10 x9-a2100 x99 J-a21099,11-,d=-100 50S110=110+“。；%=_1 1 0或 由 仍 然 成 等 差，设其公差为d则n-1 01011100-10 90 100=-+(110-10)6/=10+(-11)=-1110 10.Suo=-UO点评：直接应用求和公式，或利用等差数列的性质来求解，显然利用性质求解，简捷明快。例3已知数列“是等差数列，其 中%=25,%=16(1)数列 ,从哪一项开始小于0?(2)求。+。3

21、 +%+。9 的值。(3)求 kJ+。191的7。解析：(1)因为。4 =%+3 d,/.d=-3,.二。二28-3由 28-393.,数列 6 从 第 10项开始小于0(2)由(1)易知,%，%，9是首项为25,公差为-6 的等差数列，且共有10项。0 x9 q +%+%+%9=10 x 25 H x(6)=-20(3)因为数列 ,前 9 项为正，从 第 10项起为负。+Iq/=(4 +。2-,-39)-(C!IO+6 -须)Sg-0 9 -$9)=2、9=S9=272点评：注意公式正确应用，及去绝对值时，当。“0,5,3 0,(1)求公差d 的取值范围；(2)S1,S2，S3,，2中哪一个

22、值最大?并说明理由。解：(1)因为。13S|3=(%+%3)=13%。6 +。7 0四 024:.a.+6d0 解得：(10(2)由 有“6 ，0%0又 一2早4 d 3.4 是递减数列S1,S2,S3,-,Sl2 41 S6 最大点评：求有关等差数列的最值问题方法较多，常有利用数列的特性，及函数的有关思想等。达标练习1、等差数列8,5,2的通项公式为4 =ll-3no2、等差数列8,5,2的前项和S“=(19 3)o23、若等差数列%中 S8=10，S6=3 9 2,则$24=晒。4、等差数列10,6,2的前项和为54,则 =(c)A、7 B、8 C、9 D、105、在等差数列%中，已 知

23、出+。8=1 2,则、9=(B)A、48 B、54 C、60 D、366、在等差数列 凡 中,已 知 包a3-9-5S一S则5-9一一A、1B、-1C、2D、A27、在数列 氏 中，已知=1,-=+-(n e A*),贝I 为。a,a 3(C)A、35555B、一33C、52D、52T8、已知关于x的方程(/-2+机)(犬-2x+/j)=0的四个根组成一个首项为工的等差4数列，那么m|=(C)3 1A、1 B、一 C、一 D、24 29、首项为-2的等差数列从第I I项起开始为正数则公差d的取值范围为()D1 2 1 2 1 2A、d一 B、d C d D、一 0当 2 7 时，an 0(1)

24、当1 W 4 6(w N*)时Tn=同+同+同=q +%+。=2n-n2(2)当几 2 7(EN*)时T=同+同+同二(%+。2 +6)一(%+。8 +%)=2 9 6-5“二2-1 2 +7 22n-n1(1 /I 6,e N)T 7,H G N*)第 五 讲 等 比 数 列基础知识1、定义：若/匚=q(2 2,e N*,q为常数)，则数列(是等比数列。2,通项公式：an=。3、等比中项：若 a,x 力成等比数列，则x是。与A的等比中项且x =J 茄。4、前 n项和：当qHl时，5,=2二9 =幺 二 也1-0由题意：62=a c =2 4 3 x 3 :.b =2 1又。2 =2 4 3也

25、/=63,且q,c同号.三个数为 8 1,2 7,9 或一8 1,2 7,-9点评：等比中项若存在，必须两项同号，且必有两项，此题中多次运用此性质。例2在等比数列 ,中，已知4%=5 1 2,4+4 =1 2 4,且公比q为整数，求解：由 4 4 a 7 =-5 1 2 有%q=-5 1 2a,-as-5 1 23且g为整数%+%=1 2 4生=1 2 83（舍去）=一4q 2。0 a、q=51 2点评：充分利用等比数列性质，灵活运用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快。例3已知等比数列 6,的各项均为正数，S“=8 0,S2“=6 56 0,且在前项中最大项为54,求数列 q的公比q和

26、项数。解：由S2丰2 S 知q H 1%（1T）=8 0 根据已知：1 、gq（i q ）6 56 n （2）-=OJ OU.q由+有1 +/=8 2 即q =8 1 4 1则由+有：UT=54（4）2 i =-?将代入中q =3n =4点评：应用等比数列求和公式要注意q的取值对公式的影响.例4设数列 4 为1,2%3/,4%3,x T（x，o）,求此数列的前项的和s“。解：由已知=1 +2x+3x2+4x3 H-1(九l)x +nxn 1 则 xS =x+2/+3/+(-l)l+n xn 得：(1 -x)S =1 +x+r +x -nxn当x w l时1-rn(l-x)5n=-x.o I T

27、 nxn*-z（1-x）2 1-x当x=l 时，S,=1+2+3+4H-F =，+!）2点评：分清数列特征，正确运用公式，是解本题的关键。达标训练1、等比数列40,20,10,中，第 一 个 小 于 工 的 项 是 第 12 项。1282、2 与 8 的等比中项为 4。3、若 x,a,2x,b成等比数列，则2 的值为工。b 24、等 比 数 歹 中 已 知 +出=324,%+%=36,贝 1 生+。6=_45、数列1 ,3,5,7 ，的前几项和为-（一）。2 4 8 16 26、已知等比数列的公比q=2,$4=1,则 SL（B）A、15 B、17 C、19 D、217、等比数列 “中，S4=2

28、,58=6,则。7+%8+。19+。20=（C ）A、18 B、24 C、32 D、408 已知等比数列%中，%0,%+2。3a5+。4&=25,则%+%=（A）A、5 B、10 C、15 D、209、若%是等比数列，5=3-1,则 a；+W+a；=（D ）；1101A、（3 -1）2 B、-（3W-1）2 C、9“-1 D、5（9 T）f、2 n-l（为奇数）（、10、在数列?中，。=小伸米;求数列 4 的前项和3。3 5 为偶数）解析：（1）当=2 k（k e N*）时，,0,%一,。2”1成等差，公差为4,首项为1,而。2，%，%），i成等比，公比为9,首项为9将 女 或 代 入 得s“

29、=*1 2+3f(2)当 =2Z l(Z:eN*)时，山 S21=S2%4*,二 (+1)1 3间 9-2-8-8故S,Y Q-(n-l)+-(3,-1)2 0(n+1)1 1 3，+i 92-81-8（为偶数）（为奇数）第六讲数列综合问题基础知识1、数列通项的常用求法：S.(n=1)公式法；已 知=/()则 凡=11.(n N 2)/(I)(n =l)已知=/()求a“作商法：a =/()、.、-(2)t/(n-D若a”+i 一%=/()求a”用累加法。已 知 纵 =/()求凡用累乘法。a已知递推关系求a,用构造法(构造等差、等比数列)。形如为=的递推数列可以用倒数法求通项。ka.-i+b2

30、、数列求和常用方法：公式法：注意运用等比数列求和公式前，务必检查其公比与1的关系。必要时需要分类讨论。分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将和式中“同类项”先合并在一起，再用公式求和。倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项的和有其共性，则常可考虑倒序相加法，发挥其共性的作用求和。错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常用错位相减法求和。裂项相消法：如果数列的通项可分裂成两项差的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常用裂项相消法求和。课前热身1、数列3；,5，7、，92,的 一 个 通 项 公 式 为=(2+1)+击。2、已 知 数 列%,满 足

31、q=1,a,l-an_,=-/=产(22),则c in /+1 +1 5/2 03、已知数列 “中 =2,若，则”=-。A _ 14、等比数列 对 的前项和S=2 1,则。：+2 2+%2=y 1 1 1 5 求和，-1-F-o1x 4 4 x 7(3-2)(3 +1)3 +1范例分析例 1 已知 an=l,an=3 a l +2n 求 an。解析：由区,=3.,1+2有 殳=畀+(2)记:2若则”=%+)b“=bn_x+(|y =bn-2 +(|)+(|尸+(|)-22 2 2 2=,=+()+(11 )-2+()2_ 1 4 2n+lY+丁丁5 2n+l=5 一 亍a =5.3 T-2 i

32、n=1时也适合上式。an=5.3 -+2 点评：由递推关系构造新的数列，用累加(迭代)方法，求数列的通项。例 2 已知%=1,an=3a+2,求。解析：方法一仿例1.有 组=+3,3 3 3”方法二由。=3%_+2,令a”+x =q(%_+x),则x =l,4=3。+1 =3(%7+1)。是首项为2,分比为3的等比数列。a+1=2-3 -即%=2-3 T-i。点评：用待定系数法构造新的等比数列，很好的解决了求通项的问题，简捷明快。例 3 求 和:s 0 =1+3 5+7+(解析：方 法 ：（分组求和）n为偶数时:n的奇数时:S“=(-1 +3)+(-5+7)+(2+3)+(2 -1)Sn=-l

33、 +(3-5)+(7-9)+-+(2-3)-(2n-l)n 丁=-1+(-2)-n=(7)”方法二：符合错位相减的方法求和的特征，可考虑用此法。=(-1)1 +(-1)2 3 +(-1)3 5+-+(-l)(2n-l)_ S“=(-1)2 1 +(-Ip 3 +(-1)(2-3)+(-1 产(2n-l)2 S =(-1)+2(7)2+2(_ i y +2(-1)_(-1)+,(2n-1)=-1+2(-1)2-(-1)1+1-(-1),+|(2n-1)1-(-1)=-1+1-(-1)n+1-(-1),+1(2/i-1)=(-1)*2 2 n；.S“=(1 产 “=(1)n点评：充分分析通项的结构

34、特征，选择恰当方法求和。1 1 1例 4求和:s.-1-1-1-11 3 3 5 5 7(2 一 1)(2 +1)+解析：由-=(-)有(2/z-l)(2n+l)2 2/z-l 2/1+1S.2 3 5 2 5 7 2 2/2-12/7+11(1-7T)=n2 +1点评：裂项相消是解决类型如：“S“=一+一其中 ,为等差数列”，这类问题的常用方法。a a2 a2 3 an an+达标练习1、若%=l,a,=J,则。的通项公式为-。3%+1 3 -22、若数列%满足a,=1,阮-疯=M%则%=4。n0613、数列 中 q =1,2 2 时 6/则。3 +%=.164、若数列。满足：5 +%+-%

35、=2 +5,则=2句 5 4 (几=1)5、数列 q满足q =4,S+S“+|=w“+1,则 为=。3 3 4 (之 2)X2 1 1 1 76、已知/(x)=-则/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(-)+/(-)+/(-)-1 +x2 2 3 4 27、若 为 等 比 数 列，7；=/+(-1)+26_】+。“且7=1,n=4 ,则Tn=2n+-2-n.8、在数列 a“中。“=下 1-并且S“=9 ,则=也。J/i+Jn+l9、在等差数列%中，公差d wO,且出是。1和%的等比中项，已知4、%、勺、%4成等比数列则占也，储的通项=3用。10 已知q =5 M2 =2,a“=2。_ +

36、3a*2(n N3),求 4的通项公式。“。解：由%=2%+3*得：%+an-=3(a T +a .2)以及 a,-3%=-5,1-3%)所 以 怎+=3(4+q)=3 爸x 74-3%=(-1)%-3%)=(-1 严 x l 3由以上两式得：4 a“=3 T x 7+(1)-3 13所以 a =3TX7+(1)TX13第三章不等式学习目标1、识记不等式的性质2、了解一元二次不等式的概念，会解一元二次不等式3、理解两个正数的基本不等式，能应用基本不等式解决一些简单的实际问题4、理解二元一次不等式的几何意义，能作二元一次不等式组所表示的平面区域，会解简单的线性规划问题第 七 讲 不 等 式基础知

37、识a-h O a b1、a b=Qa ba-b a b o b b,b c =a c4、如果 a b.那么a+c 5 +c5、如果仇c 0,那么a c 力 c,如果Q 仇c c 那么Q+C 力+d7、如果。0,。&0,那么。痴？8、如果那么 Q N,之 2)9、如果。0,那么标 (n e N.n 2)10、如果a 力,。)0,那么一V a b11、如果那么a 2+/N 2 a 5 当且仅当a=b时，等号成立。1 2、如果。,方区+,那么色土2 2 而，当且仅当。=6 时，等号成立。21 3、一元二次方程ax2+x+c=0 的解就是二次函数y=ax2+/x+c的零点；一元 二 次 不 等 式 d

38、x2+/x+c 0 或ax2+bx+c 0,ax2+bx+c c+d=a c b d B a c2 b e2=a bc bC,+a 4 b a b2、下列不等式中，不 正 确 的 是（D ）rr a +b,.c+、,a2+b1A y/a b -（a,b e/?）B a b -2 2,a +b、zC a b a2+b22Da +b3、不等式2 x 3*2 -1的 解 集 是 _(一;j)_4、已知0 x 0 ,又机+乙,不同时为0,所以(6+乙)2+士2 0,2 2 4所以/n4-mn n m-n4。点评：作差比较法的关键是变形，常结合配方，因式分解等方法。例2已知不等式o r?一5*+2 0的

39、解集为 x l x 0,并 且1,2是方程a/一版+2 =0的两根,b所以 :，解得，b=3ix/=一、a点评:紧扣方程与不等式的联系是解题的关键。9例3求/(x)=4%+(x 5)的最小值。x-5解/(x)=4(x-5)4-9+20 x-524(x-5)-+20=32当且仅当 4(x-5)=即*=.时，(%)=32。x-5 2点评：利用基本不等式求最值时，必须注意三个条件:-正二定三相等，没有条件时要创造条件应用。例4某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为2002的三级污水处理池(平面图如图)如果池四周围墙建造单价400元/zn?,中间两道隔墙建造单价为248元/帆2 ,池底建造单价为80元/f

40、 l?,水池所有墙的厚度不计.，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求最低造价。解：设 污 水 处 理 池 的 长 为 总 造 价 为y元，y=400 x(2*+迎x2)+248x(2x迎)+80 x200X X=8。2+16。”8。2 型 迎+16000XX=44800。24920。当且仅当800 x=,即x=18时，等号成立。x答：污水处理池的长为18m,宽 为 坦1帆时，造价最低为44800元。9点评：在应用基本不等式解决实际问题时.，要注意以下三点；(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量设为函数;（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）在

41、求函数的定义域时，应注意使每个变量均有实际意义。在利用基本不等式求最值时，应在定义域的范围内求值。达标练习1、对于实数a,分,c有下列语句：则ac bc；a b b21若则。0,5 6 x -l的解集是（C ）A.R B.0 C.且x w g 0。g 3、不等式x土 1N O的解集是（B ）x+2A.x|x Nl或x 4-2 B.x|x -2 C x|-2 x 1 .D x|-2 x 0,0,且 丝 竺，则a与6的大小关系为 b x +2 0的解集是（-1,1）,则a ）的值等于_1 42 37、若 一 个 数 不 小 于 它 的 倒 数，则 这 个 数 的 取 值 范 围 是 _ x|x 1

42、 或-1 x 08、已知e R+且盯一 x-y =1,则x +y的最小值是2+2痣9、已知a,b,c,d,m,n e R+,设。=4 a b +4 c d,q=Jina +nc J +,则 p,q 的大V m n小关系是 o p 0表示直线4 x +3 y +C =0某侧所有的点组成的平面区域，其作法分两步：（1）画直线4+3+。=0确定边界，直线画成实线表示区域包含边界，直线画成虚线表示区域不包含边界；（2）取特殊点确定区域。2、解答线性规划问题的步骤是：（1）将已知数据列成表格形式，设出自变量x,y及目标函数z；（2）找出约束条件及目标函数；（3）作出可行域，并结合图像求出最优解；（4）对

43、结果进行检验，考虑最优解是否符合实际意义；（5）作答。课前热身x +j 02、原点和点（1,1）在直线x +y-a =O的两侧，则。的取值范围是（c ）A.2B.a=O 或 a=2 C.0 a 2 D.o a 2y -1(a)3A.3 B.-3 C.1 D.-24、图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为(cA.0 x 2C.(x+2y-2 0)B.0 K 2 0 0y0范例分析x x ,例1画出不等式组 63 y x +9分析：先画出每一个不等式所表示的平面区域，再求出它们的公共区域。解析：不等式x 3表示直线x =3左侧点的集合；不等式2 y N x,即x-2 y 0表示直红x

44、-2 y=0上及左上方点的集合;不等式3x+2 y N 6,即3x+2y 6 2 0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合;不等式3y x+9,即x 3y+90表示直线x3y+9=0右下方点的集合。综上可得：不等式组表示的平面区域为如上图所示的阴影部分。点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分，在画这一部分区域时应注意其边界的虚实。x-y+2 0例2已知变量x,y满足约束条件1。x+y-7 2 的儿何意义为点（0,0）点（x,y）的距离的平方。例 3某公司的仓库A存有货物1 2 t,仓库B 存有货物8 t,现按7 t、8 f 和5 f 把货物分别调运给甲、乙、丙三

45、个商店。从 仓 库 A、B 到商店甲、乙、丙每1，货物的运费分别为 8元、6 元、9元和3 元、4元、5 元。求从两个仓库到三个商店运费最小的方案。解析：设仓库A供给甲商店x f,供给乙商店y t,则仓库A供给丙商店1 2-x-y t,仓 库 B 供给甲商店7 x f,供给乙商店8 y，供给丙商店8 （7 X）（8 y）t,目标函数:z =8 x +6y +9(1 2-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5 r 8-(7-x)-(8-y)=x-2 y +1 2 6,作出可行域，如图。x 0 00 x 0，即0y 0 x+y 0 x+y78-(7-x)-(8-y)0作直线2 y =0并向上平移

46、至/的位置时，直线经过可行域上的点D,目标函数取最小值。止 匕 时，Z m i n =0 -2 x 8 +1 2 6=1 1 0。答:仓库A供给甲商店0 f,乙商店8 f,丙商店4，仓库B 供给甲商店7 /,乙商店0 t,丙商店1 f 时，运费最小。例 4、某机械厂的车工分I、I 两个等级，各极车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：级别加工能力（个/人天）成品合格率（）工 资（元/天）I240975.6I I16095.53.6工厂要求每天至少加工配件2 4 0 0 个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现 有 I 级车工8人，I I 级车工1 2 人，且工厂要求至少安排6 名

47、 H级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少。分析：先列出线性约束条件和目标函数，看求出的最优解是不是整数，不是整数则调整最优值。解析：首先据题意列出线性约束条件和目标函数，设需要I、1【级车工分别为x、y人。97%2 40%+95.5%160)，2 400线性约束条件 0 x86y 300分别化简即为0W xW 8 和z =2 0 x+18y。6y 0 的图形是/右上方的平面区域C.点集(x,y)I x-y +1 0 B.3 x0+2 y0 0C.3x0+2 y0 83、已知点 P (0,0),Q (1,0),R (2,0),S (3,0),则在不等式3x+y-6 2 0表示的平面

48、区域内的点是(C )A.P、Q B.Q、R C.R、S D.S、P4、某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2、3 m 2,用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料血枳最省？A.A用3张，B用6张B.A用4张，B用5张C.A用2张，B用6张D.A用3张，B用5张5、表示以A (0,0),B(2,2),C (2,0)为顶点的三角形区域(含边界)的不等式组x-y 0_ x 0表示的平面区域内，则b的取值范围是.x v 27、已知点(x,y)在不

49、等式组;二;表示的平面区域内，则x+y的取值范围为x+y 22.4.x-2y+408、画 出 不 等 式 组 卜 所 表 示 的 平 面 区 域.x+20 x-2 y+4=09、求目标函数z =10 x+15y的最大值及对应的最优解，约束条件是x+2y l20 xo 解析J：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为(0,4),(0,6),(6,0)(10,0),(10,1),作直线/()：10 x+15y=0,再作与直线/()平行的直线/：10 x+15y=z,山图象可知，当/经 过 点(10,1)时使z =10 x+15y取得最大值,显然 Zm a x=l 0 xl O+1

50、5xl =115,此时最优解为(10,I).10、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1 吨：生产乙种棉纱需耗 级 子 棉 1 吨、二级子棉2吨，每 1 吨甲种棉纱的利润是6 0 0元，每 1 吨乙种棉纱的利润是9 0 0 元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超 过 3 0 0 吨、二级子棉不超过2 5 0 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少（精确到吨），能使利润总额最大？分析：将已知数据列成下表：品甲种棉纱（1 吨）乙种棉纱（1 吨）资源限额（吨）一级 子 棉（吨）213 0 0二级 子 棉（吨）122 5 0利 润（元）6 0 09 0 0解