三角函数单调性数学教案.pdf

《三角函数单调性数学教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数单调性数学教案.pdf（24页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、三角函数单调性数学教案函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数f的自变量在其定义区间内增大时，函数值f也随着增大，则称该函数为在该区间上具有单调性。下面是我为大家整理的三角函数单调性数学教案5篇,盼望大家能有所收获！三角函数单调性数学教案1教学预备教学目标1、学问与技能了解周期现象在现实中广泛存在乂2）感受周期现象对实际工作的意义;理解周期函数的概念;能娴熟地推断简洁的实际问题的周期乂5）能利用周期函数定义进行简洁运用。2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让同学感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;依据周期性的定义，再在实

2、践中加以应用。3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的熟悉，感受生活中到处有数学，从而激发同学的学习乐观性，培育同学学好数学的信念，学会运用联系的观点熟悉事物。教学重难点1重点:感受周期现象的存在，会推断是否为周期现象。难点:周期函数概念的理解，以及简洁的应用。教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛特别幸福，可以常常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今日要学到的周期现象。再比如，取出一个钟表，实际操作 我们发觉钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一

3、种周期现象。所以，我们这节课要讨论的主要内容就是周期现象与周期函数。（板书课题）【探究新知】L我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观看钱塘江潮的图片（投影图片），留意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复消失，这也是一种周期现象。请你举诞生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2.那么我们怎样从数学的角度讨论周期现象呢?老师引导同学自主学习课本P3P 4的相关内容，并思索回答下列问题：如何理解 散点图？图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？2如何理解图1-1中的 H/m 和t/h?对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由

4、同学来回答，老师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要把握三个条件，即存在不为0的常数T;x必需是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。(板书：二、周期函数的概念)3.展现投影 练习：已知函数f(x)满意对定义域内的任意x,均存在非零常数T,使得 f(x+T)=f(x)。求 f(x+2T),f(x+3T)略解：f(x+2T)=f(x+T)+T=f(x+T)=f(x)f(x+3T)=f(x+2T)+T=f(x+2T)=f(x)本题小结，由同学完成，总结出 周期函数的周期有很多个“，老师指出一般状况下，为避开引起混淆，特指最小正周期。(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f=2 0

5、 2 1，求f(U)略解：f(ll)=f(6+5)=f(6)=f(l+5)=f(l)=2021已知奇函数f(x)是R上的函数，且f=2,f(x+3)=f(x),求f略解：*8)=f(2+2x3)=耳2)=f(-l+3)=f(；)=-f(l)=-2【巩固深化，进展思维】1.请同学们先自主学习课本P 4倒数第五行一一P 5倒数第四行，然后各个学习小组之间绽开合作沟通。32.例题讲评例L地球围围着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗?假如是，这个函数y=f是不是周期函数？例2.图1-4(见课本)是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线M N的距离y是时间t的函数，y=g(t)。依据钟摆的学问，简单说明g

6、(t+T)=g(t),其中T为钟摆摇摆一周(来回一次)所需的时间，函数y=g是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线M N的角0的度数为变量，依据物理学问，摆心A到铅垂线M N的距离y也是0的周期函数。例3.图1-5(见课本)是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复消失，因此，该函数是周期函数。3.小组课堂作业(1)课本P6的思索与沟通(回答)今日是星期三那么7k(km)天后的那一天是星期几?7k(姐Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几？五、归纳整理，整体熟悉(1)请同学回顾本节课所学过的学问内容有哪些?所涉及到的主

7、要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么？4六、布置作业L作业：习题1.1第1,2,3题.2.多观看一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.课后小结归纳整理，整体熟悉请同学回顾本节课所学过的学问内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么？课后习题作业1.作业：习题1.1第1,2,3题.2.多观看一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.板书略三角函数单调性数学教案2教学预备教学目标

8、1、学问与技能5(1)理解并把握正弦函数的定义域、值域、周期性、(小)值、单调性、奇偶性；能娴熟运用正弦函数的性质解题。2、过程与方法通过正弦函数在R上的图像，让同学探究出正弦函数的性质;讲解例题，总结方法，巩固练习。3、情感态度与价值观通过本节的学习，培育同学创新力量、探究归纳力量;让同学体验自身探究胜利的喜悦感，培育同学的自信念;使同学熟悉到转化“冲突”是解决问题的有效途经;培育同学形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。教学重难点重点:正弦函数的性质。难点:正弦函数的性质应用。教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并把握了争论一个函数性质的几

9、个角度，你还记得有哪些吗?在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们依据图像一起争论一下它具有哪些性质？6【探究新知】让同学一边看投影，一边认真观看正弦曲线的图像，并思索以下几个问题：(1)正弦函数的定义域是什么？(2)正弦函数的值域是什么？它的最值状况如何？(4)它的正负值区间如何分？(5)?(x)=0的解集是多少？师生一起归纳得出：L定义域：y=sinx的定义域为R2.值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|Wl(有界性)再看正弦函数线(图象)验证上述结论，所 以y=sinx的值域为卜1,1三角函数单调性数学教案3教学目标会运用图象推断单调性;

10、理解函数的单调性，能推断或证明一些简洁函数单调性;留意必需在定义域内或其子集内争论函数的单调性。重 点函数单调性的证明及推断。难 点函数单调性证明及其应用。7一、复习引入1、函数的定义域、值域、图象、表示方法2、函数单调性单调增函数(2)单调减函数单调区间二、例题分析例1、画出下列函数图象，并写出单调区间：例2、求证：函数在区间上是单调增函数。例3、争论函数的单调性，并证明你的结论。变争论函数的单调性，并证明你的结论变(2)争论函数的单调性，并证明你的结论。例4、试推断函数在上的单调性。三、随堂练习1、推断下列说法正确的是。若定义在 上的函数满意，则函数是上的单调增函数；若定义在 上的函数 满

11、 意，则函数 在 上不是单调减函数;8(3)若定义在上的函数在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；(4)若定义在上的函数在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数。2、若一次函数在上是单调减函数，则点在直角坐标平面的()A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面3、函数在上是 涵 数 在 上 是 o3.下图分别为函数和的图象，求函数和的单调增区间。4、求证：函数是定义域上的单调减函数。四、回顾小结1、函数单调性的推断及证明。课后作业一、基础题1、求下列函数的单调区间(1)(2)2、画函数的图象，并写出单调区间。二、提高题3、求证：

12、函数在上是单调增函数。4、若函数，求函数的单调区间。5、若函数在上是增函数，在上是减函数,试比较与的大小。三、力量题6、已知函数，试争论函数f(x)在区间 上的单调性。9变 已 知 函 数，试争论函数f（x）在区间上的单调性。三角函数单调性数学教案4教学目标1.使同学理解函数单调性的概念，并能推断一些简洁函数在给定区间上的单调性.2.通过函数单调性概念的教学，培育同学分析问题、熟悉问题的力量.通过例题培育同学利用定义进行推理的规律思维力量.3.通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对同学进行辩证唯物主义的教育.教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念.教学难点：函数单调性的判定.教学过程设

13、计一、引入新课师：请同学们观看下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区分是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象.）第一组：其次组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大;其次组函数，函数值y随x的增大而减小.师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对.他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区分.当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而其次组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小10的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质.我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及基函数时，就曾经依据函数的图象讨论过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质.而

14、这些讨论结论是直观地由图象得到的.在函数的集合中，有许多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的争论和讨论，这就是我们今日这一节课的内容.（点明本节课的内容，既是曾经有所熟悉的，又是新的学问，引起同学的留意.）二、对概念的分析（板书课题：函数的单调性）师：请同学们打开课本第5 1 页，请 同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.（同学朗读.）师：好，请坐.通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思索一个问题：这种定义方法和我们刚才所争论的函数值y 随自变量x 的增大而增大或减小是否全都?假如全都，定义中是怎样描述的？生：我认为是全都的.定义中的 当增大而增大（

15、当时，都有时，都有 描述了 y 随 x 的 描述了 y 随 x 的增大而削减.“和”11或师：说得特别正确.定义中用了两个简洁的不等关系 ，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力！（通过老师的心情感染同学，激发同学学习数学的爱好.）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数图象，体会这种魅力.和的（指图说明.）师：图中因此而图中因此对于区间 a,b 上的任意，当时，都有，的单调增区间;，的单调减区间.在区间 a,b 上是单调递增的，区间 a,b 是函数对于区间 a,b 上的任意，当 时 一，都有在区间 a,b 上是单调递减的，区间 a,b 是函数（老师指图说明分析

16、定义，使同学把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧学问融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法.）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应”,，（不把话说完，指一名同学接着说完，让同学的思维始终跟着老师.）生：较大的函数值的函数.师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.（同学可能回答得不完整，老师应指导他说完整.）师:好.我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应当抓住哪些关键词语，才能更透彻地熟悉12定义？（同学思考.）同学在高中阶段以至在以后的学习

17、中常常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深化地理解和把握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此老师应当教会同学如何深化理解一个概念，以培育同学分析问题，熟悉问题的力量.（老师在同学思考过程中，再一次有感情地朗读定义，并留意在关键词语处适当加重语气.在同学感到无从下手时，给以适当的提示.）生：我认为在定义中，有一个词 给定区间”是定义中的关键词语.师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要擅长抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要留意区分它们之间的不同.增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性.请

18、大家思索一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的?为什么？生：不能.由于此时函数值是一个数.师：对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（留意这四个字“唯一确定），因而没有增减的变化.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢?你能否举一个我们学过的例子？生：不能.比如二次函数而我们不能说，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数.因是增函数或13是减函数.的图像，从 形 上感知.）（在同学回答问题时，老师板演函数师:好.他（她）举了一个例子来关心我们理解定义中的词语 给定区间 .这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义

19、域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必需指明相应的区间.师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的 属于这个区间的任意两个 和 都有也是关键词语.师：你答的很对.能解释一下为什么吗？（同学不肯定能答全，老师应赐予必要的提示.）师：属于是什么意思？生：就是说两个自变量生：可以.师：那么 任意 和 都有 又如何理解？生：任意 就是指不能取特定的值来推断函数的增减性，而“都有 则是说只要，就必需都小于，或都大于.，必需取自给定的区间，不能从其他区间上取.师：假如是闭区间的话，能否取自区间端点?师：能不能构造一个反例来说明 任意 呢?（让同学思索片刻.）生：可以构造一个反例.考

20、察函数，定，明显，而，在区间卜2,2上，假如取两个特定的值，有，若由此判是12,2上的减函数，那就错了.师：那么如何来说明 都有”呢？生：在2,2上，当，这时就不能说，时，有;当，时，有，在卜2,2上是增函数或减函数.师：好极了!通过分析定义和举反例，我们知道要推断函数y=f（x）14在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的状况来推断,而必需严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，依据它们的函数值和的大小来判定函数的增减性.(老师通过一系列的设问，使同学处于乐观的思维状态，从抽象到详细，并通过反例的反衬，使同学加深对定义的理解.在概念教学中，反例经常关心同学更深刻地理解概念,熬炼同学

21、的发散思维力量.)师：反过来，假如我们已知f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小.即一般成立则特别成立，反之，特别成立，一般不肯定成立.这恰是辩证法中一般和特别的关系.(用辩证法的原理来解释数学学问，同时用数学学问去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深化地理解和把握概念，分清概念的内涵和外延，培育同学学习的力量.)三、概念的应用例1图4所示的是定义在闭区间卜5,5上的函数f(x)的图象，依据图象说出f(x)的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数？(用投影幻灯给出图象.)生甲

22、：函 数y=f(x)在区间卜5,-2,1,3上是减函数，因此卜5,-2,1,3是函数y=f(x)的单调减区间;在区间卜2,1,3,5上是增函数，因此12,1,3,5是函数y=f(x)的单调增区间.生乙：我有一个问题，5,-2是 函 数f(x)的单调减区间，那么，15是否可认为(-5,-2)也是f(x)的单调减区间呢？师：问得好.这说明你想的很认真，思索问题很严谨.简单证明：若f(x)在 a,b上单调(增或减)，则f(x)在(a,b)上单调(增或减).反之不然，你能举出反例吗?一般来说.若f(x)在 a,b上单调(增或减)，且口(增或减).反之不然.例2证明函数f(x)=3x+2在(-8,+8)

23、上是增函数.师：从函数图象上观看函数的单调性当然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必需学会依据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们讨论函数单调性的基本途径.(指出用定义证明的必要性.)师：怎样用定义证明呢?请同学们思索后在笔记本上写出证明过程.(老师巡察，并指定一名中等水平的同学在黑板上板演.同学可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，老师应给以启发.)师：对于和我们如何比较它们的大小呢?我们知道对两个实数a,b,假如，a,b,则f(x)在,a b,那么它们的差a-b就大于零;假如a=b,那么它们的差ab就等于零;假如a b,那么它们的差a-b就小于零，反之也成立

24、.因此我们可由差的符号来打算两个数的大小关系.p=生：(板演)设，是卜+8)上任意两个自变量，当，所 以f(x)是增函数.师：他的证明思路是清晰的.一开头设设，是(q，+8)内任意两个自变量，并时,16（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注 好设），然后 看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为 作差，变形（同上，划线并 标 注 玲作差，变形）.但美中不足的是他没能说明为什么0,没有用到开头的假设“，不要以为其显而易见，在这里肯定要对变形后的式子说明其符号.应写明 由于X1X2,所以，从 而 0,即.这一步可概括为“定符号（在黑板上

25、板演，并注明 玲定符号）.最终,作为证明题肯定要有结论，我们把它称之为第四步 下结论（在相应位置标注 玲下结论。p=这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是其次步，假 如 函 数 y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小.（对同学的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在同学刚刚接触一个新的学问时，思维定势对理解学问本身是有益的，同时对同学养成肯定的思维习惯，形成肯定的解题思路也是有关心的.）调函数吗?并用定义证明你的结论.师：你的结论是什么呢？上都 是 减 函 数，因此我觉得它在定义域卜8,0）0（0,+8）上是减函 数.生 乙：我有不同的看法，我

26、认为这个函数不是整个定义域内的减 函 数，由于它不符合减函数的定义.比如取X1国（-8,0）,取 x2团（0,17+8),明显有，而不是明显成立，而，因此它不是定义域内的减函数.生：也不能这样认为，由于由图象可知，它分别在(-8,0)和(0,+8)上都是减函数.域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在(-8,0)和(0,+8)每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增(减)区间之间不要用符号 国连接.另外，x=0 不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.上是减函数.(老师巡察.对同学证明中消失的问题赐予点拔.可依据同学的问题，给出下面的提示：分式问题化简方法一般是通分.(2)要说明三

27、个代数式的符号：k,.要留意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要转变.对同学的解答进行简洁的分析小结，点出同学在证明过程中所消失的问题，引起全体同学的重视.)四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应当特殊留意的？(请一个思路清楚，擅长表达的同学口述，老师可从中赐予提示.)生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特殊留意定义中 给定区间、属于、任意、都有 这儿个关键词语;在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接;最终在用定义证明函数的单调性时，应当留意证明的四个步骤.18五、作 业 1.课本P53练习第1,2,3,4 题.数.(_)+bO.由此可知(_)式小于0,即.课

28、堂教学设计说明函数的单调性是函数的一个重要性质,是讨论函数时常常要留意的一共性质.并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他学问的综合应用上都有广泛的应用.对同学来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质.同学对此有肯定的感性熟悉，对概念的理解有肯定好处，但另一方面同学也会觉得是已经学过的学问，感觉乏味.因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，盼望能够使同学熟悉到看似简洁的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理.另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必需要做的，对概念的深化的正确的理解往往是同学认知过程中的难点.因此在本教案

29、的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让同学对如何学会、弄懂一个概念有初步的熟悉，并且在以后的学习中学有所用.还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，同学刚刚接触这种证明方法，给出肯定的步骤是必要的，有利于同学理解概念，也可以对同学把握证明方法、形成证明思路有所关心.另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作肯定的铺垫.三角函数单调性数学教案5函数单调性是同学进入高中后较早接触到的一个完全形式化的19抽象定义，对于仍旧处于阅历型规律思维进展阶段的高一同学来讲，有较大的学习难度。始终以来，这节课也都是老师教学的难点。最近

30、，在我区“青年老师评优课上，听了多名老师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的讨论和思索，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。关键点1。同学学习函数单调性的认知基础是什么？在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简洁函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步熟悉。接踵而来的任务是对函数应当连续讨论什么。在数学讨论中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是讨论它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共

31、同属性或不变属性，即“变中不变的性质。根据这种科学讨论的思维方式，使得当前来争论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来争论函数的单调性而不是其他性质,是由于函数的单调性是同学从已经学习的函数中比较简单发觉的一共性质。就中学校生与单调性相关的经受而言，同学熟悉函数单调性可以分为四个阶段：第一阶段，阅历感知阶段（学校阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的详细情境，如随着年龄的增长，我的个子越来越高，我熟悉的字越多，我的学问就越多”等。20其次阶段，形象描述阶段（学校阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如y随着x的增大而

32、削减。第三阶段，抽象概括阶段（高 中 必 修1）,能进行脱离详细和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过详细函数，初步体会单调性在讨论函数变化中的作用。第四阶段，熟悉提升阶段（高中选修系列1、2）,要求同学能初步熟悉导数与单调性的联系。基于上述熟悉，函数单调性教学的引入应当从同学的已有认知动身，建立在同学学校已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从同学熟识的常见函数的图象动身，直观感知函数的单调性,完成对函数单调性定义的第一次熟悉让同学分别作出函数数值有什么变化规律？的图象，并且观看自变量变化时，函在同学画图的基础上，引导同学观看图象，获得信息：第一个图象从左向右渐渐上升，y随x的

33、增大而增大;其次个图象从左向右渐渐下降,y随x的增大而减小.然后让同学明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数,我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过争论使同学明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的.在此基础上，老师引导同学用自己的语言描述增函数的定义：假如函数在某个区间上的图象从左向右渐渐上升，或者假如函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在21该区间上为增函数.关键点2o为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。同学在学校已经接触过一次函数、反

34、比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的熟悉：随 x 增大y 增大是增函数，随 x 增 大 y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的,很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢?假如老师能通过教学设计，让同学感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则同学讨论的爱好就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，由于只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行精确 的计算，进行推理论证。所以，在教学中提出类似如下的问题是特别必要的：右图是函数函数吗？的图象，能说出这个函数分

35、别在哪个区间为增函数和减对于这个问题，同学的困难是难以确定分界点的准确位置.通过争论，使同学感受到用函数图象推断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的讨论，使同学体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性讨论从讨论函数图象过渡到讨论函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？22从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的状况下，尽量做到从直观入手，从详细开头,逐步抽象，即数学的思索方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，

36、并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思索方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思索方式的一个良好载体，教学中应当充分关注到这一点。长此以往，便可使同学在学习学问的同时，学到比学问更重要的东西一学会如何思索?如何进行数学的思索？一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，同学通过对若干函数图象的观看并不难熟悉，因此，前一过程的建构学习相对比较简单进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过同学自己的思维活动来完成。

37、这其中有两个难点：(l)x 增大 如何用符号表示;同样，f(x)增大 如何用符号表示。(2广随着，x 增 大,函 数 f(q 也，增大,如何用符号表示。用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。在学校数学中，除了学习函数的初级概念，用 y=f(x)表示函数y随着自变量x 的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号23表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维力量层次上存在重大差异，对刚刚由学校进入高中学习的同学而言，无疑是一个很大的挑战！三角函数单调性数学教案24