全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）（解析版）.pdf

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1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合/=x|x2-3x-40,8=-4,3,5,则 4 口8=()A.-4,1 B.1,5C.3,5 D.1,3【答案】D【解析】【分析】首先解一元

2、二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得/C I 8,得到结果.【详解】由x 2-3 x-4 0 解得所以4=x|-l x/5-1 c y/5+1 n yj5+I4 2 4 2【答案】C【解析】【分析】设CD=a,PE =b,利用P O=a -P E 得 到 关 于 的 方 程，解方程即可得到答案.2【详解】如图，议 CD=a,PE =b,则尸0 =,P 2 一 02=卜一 /2 ,由题意产。2=,4 6,即一三 化简得4(2)22.2-1 =0,2 4 2 a a解得2 =巨 诙(负 值 舍 去).a 4故选：C.-2-【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学

3、计算能力，是一道容易题.4.设。为正 方 形 的 中心，在O,A,B,C,。中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）【答案】A【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从 0,4 8,C,0 5 个点中任取3个有0,A,B,0,A,C,0,A,D,0,B,C0,B,D,0,C,D,A,B,C,A,B,D4 C,0,8,C,。共 10种不同取法,3点共线只有 4。,。与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为a=1.10 5故选：A一 3 一【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查

4、学生数学运算能力，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：。0的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（X,乂）（i =1,2,20）得到下面的散点图：由此散点图，在IOC至40。（：之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度r的回归方程类型的是（）A.y=a+bxC.y=a+beB.y=a+hx2D.y=a+bnx【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率了和温度x 的回归方程类型的是y=a+bnx.故选：D.【点睛】

5、本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆X2+/-6X=0,过 点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）-4-A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆/+炉-61=0化为(x-3)、,/=9,所以圆心。坐标为C(3,0),半径为3,设尸(1,2),当过点尸的直线和直线C P垂直时，圆心到过点尸的直线的距离最大，所求的弦长最短,根据弦长公式最小值为259-|CP=2 J 百=2.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数

6、/(x)=cos(O x+2)在-爪用的图像大致如下图，则信)的最小正周期为()610 兀InA.B.一9 6八4兀、3兀C.D.3 2【答案】C【解析】【分析】由图可得：函 数 图 象 过 点 即 可 得 到 c o s(-o +.)=0,结合(一,0)是函数f(x)图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到一班。+工=一工，即可求得。=39 6 2 2,再利用三角函数周期公式即可得解.一 5 一【详解】由图可得：函数图象过点将它代入函数/(X)可得：c o s(-?1 0 0的最小正奇数,根据等差数列求和公式即可求出.【详解】依据程序框图的嵬法功能可知，输出的是满足1 +3 +5 +1 0 0

7、的最小正奇数,因为（）（2 +1）l z i f ，解得 1 9，1 +3 +5 +=-1-=-（+1）1 0 0所以输出的=2 1.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前”项和公式的应用，属于基础题.1 0.设。“是等比数列，R a,+a2+a,=I ,a2+a3+a4=2 ,则 4 +%+%=（）A.1 2 B.2 4 C.3 0 D.3 2【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得夕的值，再由4 +%+4二45（卬+%+%）可求得结果.【详解】设等比数列 4的公比为人 则%+%+%=（1+夕+屋）=1，生+为+4=q q+q/+/=“+”/）=q =2,一

8、 7 一因此，&+%+为=+a/+=a+q+q=q=3 2.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.1 1.设百，A是双曲线C:f 一炉=1的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C上旦|=2,则 3凡3的面积为（）7 5A.-B.3 C.-D.22 2【答案】B【解析】【分析】由口月用P是以P为直角直角三角形得到I+1=6,再利用双曲线的定义得到|尸耳|理|=2,联立即可得到|尸6 I I尸巴I,代入月母=；I尸耳I I尸8 I中计算即可.【详解】由已知，不妨设（一2,0），尼（2,0）,则a=l,c =2,因为|O P|=l =g|E 6所以点P在以E吊 为 直径的圆上，即

9、口鸟尸是以P为直角顶点的直角三角形，故|做+|尸号2.隼 讦,即|尸6|2 +1/玛 F =1 6,又|下E H 阴 =2a=2,所以4 =|/一|竹 =|P+|P K|2-2|P|”|=1 6 2|/；|/|,解得I S I|P6|=6,所以依=；|P|P巴1 3故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，号杳学生的数学运算能力,是一道中档题.1 2.已知4&C为球。的球面上的三个点，O O 1为口/8。的外接圆，若。01的面积为4兀，/8 =8 C=/C =Oq,则球。的表面积为（）-8-A.64 7 rB.4 8兀C.3 6兀D.3 2兀【答案】A【解析】

10、【分析】由已知可得等边口N3C的外接圆半径，进而求出其边长，得出OQ的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆。半径为，球的半径为R，依题意，得 兀=4乃二.尸=2，由正弦定理可得A B=2r s i n 600=2百，:,OO=A B =2g ,根据圆截面性质OQ，平面4 8 C,OQ A.O,A,R=OA =JOOJ+O=g o：+户=4 ,r.球。的表面积5=4万/?2 =64乃.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2x+y -2 0,【答案】1【解析】【分析】

11、首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，-9-其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点力处取得最大值，(.2 x+y-2 =0,.联立直线方程：n,可得点力的坐标为：0时，直线过可行域且在J，轴上截距最大时，Z值最大，在请由截距最小时，二值最小；当6 求C.2【答案】(1)J J：(2)1 5 .【解析】【分析】(I)已知角8和b边，结合a，c关系，由余弦定理建立C的方程，求解得出a，c.利用面积公式，即可得出结论：(2)将4 =3 0 -。代入已知等式，由两角差的正弦

12、和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范闱，即可求解.【详解】(1)由余弦定理可得从=2 8 =a 2 +c2-2 a c-cosl 5 0 =7 c2，:.c=2、a=2 瓜、/8 C的面积S =；a csi n 8 =行；(2)v J +C =3 0 ,si n J +x/3 si n C=si n(3 0 -C)+Vi si n C=cos C+sin C=sin（C+30）=，0 C 30;.30C +30 2 2在口口p/o 中，PO=JAP2-OA2=.11=.V4 2三棱锥P-46。的体积为匕，,_r=l x x x 3 =.P 由 3&A B C 3 2 4 8【

13、点瞄】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数/(x)=ex-o(x+2).(1)当。=1时，讨论x)的单调性：(2)若/(幻有两个零点，求。的取值范围.【答案】(1)减区间为(一8,0),增区间为(0,+8)；(2)(-,+00).e【解析】【分析】(1)将“=1代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小干零，求得函数的单调增区间和减区间：(2)若/(x)有两个零点，即e-a(x+2)=0有两个解，将其转化为a=一有两个解，令x+2/J(X)=_(X H-2),求导研究函数图

14、象的走向，从而求得结果.x+2-15-【详解】(1)当。=1 时，/(x)=e (x+2),/(x)=e*l,令/*)0,解得x 0,所以/(x)的减区间为(YO,0),增区间为(。,+8)：(2)若/(幻有两个零点，即e-a(x+2)=0有两个解，从方程可知，x=2不成立，即“=_一有两个解，x+2.e .z、e”(x+2)cx(x+1)令 A(x)=-(x。-2),则有 h(x)=-；=-r,x+2(x+2)-(x+2)-令力(x)0，解得 x-l,令人(x)0,解得 x-2 或-2 x-l,所以函数力(外在(-8,-2)和 上 单 调 递 减，在(-1,+0。)上单调递增,且当 x 2

15、时,h(x)-2 时，/7(x)f+8,当x-+0 0时，力(x)f+oo,/-I所 以 当 有 两 个 解 时，有。力(-1)=一，x+2 e所以满足条件的“的取值范围是：(1,田).e【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线y =e*和直线y =a(x+2)有两个交点，利用过点(-2,0)的曲线y =e，的切线斜率，结合图形求得结果.2 1.已知、8分别为椭圆E：*2+v2=l (o l)的左、右顶点，6为 的上顶点,A G G B =8,尸 为直线尸6上的动

16、点，与 的另一交点为C,P8与E的另一交点为D.(1)求E的方程：(2)证明：宜线C Z)过定点.【答案】(1)三+必=|；(2)证明详见解析.9【解析】【分析】-16-（1）由己知可得：力（一a,0）,8（出0）,6（0,1）,即可求 得 而.而=0 2 _ ,结合己知即可求得:a2=9.问题得解.（2）设0（6,%）,可得直线/P的方程为：y吟（x+3），联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为-3 7；+2 7 6%、I W+9 02+9 j同理可得点。的坐标为（如即可表示出直线C。（凡-+1 n +U的方程，整理直线CD的方程可得:命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象:

17、/.前=(a,l),GB =(a,-1)A G G B =a2-l=8 a2=92椭圆方程为：+/=19 -（2）证明：设P（6,盟）,y 0则直线力尸的方程为：P=6；_ 3）（X+3）,即:y=f(x+3)X ,2 1+V =1.9 联立直线/尸的方程与椭圆方程可得：0,0,曲线C1的参数方程化为:L,为参数），两式相加消去参数，yly=sm-t.得 G 普通方程，由pcos6=x,psine=.y,将曲线G 化为直角坐标方程，联立G C方程，即可求解.I x=cos t【详解】（1）当女=1 时，曲线q 的参数方程为 （/为参数），y =sinf两式平方相加得/+./=,所以曲线G 表示

18、以坐标原点为圆心，平径为1的圆；,I,x=cos41 ,（2）当=4 时，曲线G 的参数方程为 .为参数），y =sin tjx=cos21所以x N 0,y N 0,曲线 的参数方程化为N L,a 为参数），lW =s iW两式相加得曲线G 方程为&+6=1,得 6=T-，平方得 y=x-2/7+1,OS 1,04 y 4 1，曲线C2的极坐标方程为4pcos-16夕sin。+3=0,曲线G 直角坐标方程为4 x-16y+3=0,联立G，G 方 程 卜=一 2五+1,|4x-16y+3=0 13整理得1 2X-3 2 4+I3 =0，解得4=弓 或 4=（舍去），、=!/=!，.G,G公共点

19、的直角坐标为（!，!）4 4 4 4【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系,要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.己知函数/（x）=|3x+l|-2|x-l|.-19-（1）画 出y =/（x）的图像:/（x +l）的解集.【答 案】（1）详解解析；（2）70 0,-6【解 析】【分 析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数/（x）的解析式，作出图象:（2）作 出 函 数/（X+1）的图象，根据图象即可解出.【详 解】x +3,x 1(1)因 为/(x)=5 x-l,作出图象，如图所示:1 一x -3,x 4 I3（2）将 函 数/（X）的图象向左平移1个单位，可得函数/（x +1）的图象，如图所示:-20-7由-x-3 =5(x+l)-l,解得x=.6所以不等式的解集为7)co,-6)【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题.-21-