二次函数压轴专练(有答案).pdf

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1、1.如图，二次函数y=，+c的图象经过点与x轴交于4、8两点.求c的值：如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形48。的面积二等分，试证明线段8。被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式：设点P、。为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q,使AQP也4B P?如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由.(图供选用)【答案】抛物线经过点0(一6,2)2-x(/3)2+c=一2-2 C 6.过点。、8点分别作4 c的垂线，垂足分别为E、F,设4C与2。交点为M,YAC将四边形A8C。的面积二等分,即：SABC=ADC：.DE=BF

2、又,：N D M E=N B M F,N D E M=N B F E:.丛 D E M 学/X BFM：.D M=B M 即 A C 平分 BCc=6.抛物线为 y=-x2+62A A(-2A/3,0)、B(273,0)V3 9是8。的中点：.M2 4设A C的解析式为y=kx+b,经过A、M点-2y/3k+b=0V3.,9 k+b=2 43A/3lo95解得b/.直线AC的解析式为了 =速+2.1 0 5存在.设抛物线顶点为M。，6）,在中，易得AN=46，于是以4点为圆心,A8=4g 为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q,连接AQ,再作NQA8平分线A 尸交抛物线于P,连接B P、PQ

3、,此时由“边角边”易得A Q P gZ X A B P.2.（2 0 1 0 福建福州）如图，在 A B C 中，Z C=4 5,B C=10,高力0=8,矩形E F P。的一边 2P在 8c边上，E、F两点分别在4 8、4c上，A D 交 E F 于点H.A H FF（D 求证：而=正；（2）设 E F=x,当x 为何值时，矩形E F P。的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形E F P。的面积最大时，该矩形E F P。以每秒I 个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点。与 点 C重合时停止运动），设运动时间为f秒，矢能E F F Q 与 A 8 C 重叠部分的面积为S,求 S与 f的函数关系式

4、.4【答案】解：(1)/四边形E/*。是矩形，EF/QP./AEF/ABC.又；ADL BC,：.AHA.EF.A H E F4 D=B C(2)由(1)得AH 偿Y AH=4x.4E Q=H D=A D-A H=S-x,4 4 ,4 ,二 SHKEFPQ=EF,E Q=x(8 x)=,x2+8 x=(x5)+2 0.4V -5 0有最大值，最大值为2 0.(3)如图 1,由(2)得 EF=5,E Q=4.A第 2 1 题 图 1，N C=4 5 ,F P C 是等腰直角三角形.P C=FP=EQ=4,Q C=Q P+P C=9.分三种情况讨论：如 图 2.当0WY 4时，设 E F、PF分别

5、交AC于点M、N,则 M F N 是等腰直角三角形.FN=MF=t.如图3,当 4 W f 5 时，则 M E=5-r,。=9 一 人S =S WEMCQ(5 r)+(9 f )X 4=4 7+2 8；如图4,当 5 W/W 9 时，设 EQ交4c于点K,则 K Q=Q C=9-f.5=5A KCC=1(9-f)2=；($9)2.第 2 1 题图2 第 2 1 题图3综上所述：S与 f的函数关系式为：5=+2()2-4f-28 9)20 f 4),(4 f 5),(5 f=8C(-3,4)当 x=-3 时,y=gX 9gX(3)=4.点C在抛物线y=一ah.(3)抛物线上存在点Q,使得以PQ为

6、直径的圆与。Oi相切.过点P 作PFVx轴于点尸，连结OF，过点3 作Ot/x轴于点H.：.CD/OH/BA.：C(-3,4),B(5,10),二。|是BC的中点.由平行线分线段成比例定理得A 4=O”=会。=4,O H=O A-AH=.同理可得。i”=7.点 01 的坐标为(1,7).,?BCLOC,：.0 c 为。01 的切线.又TOP 为。01 的切线，.OC=OP=OC=OP=5.：.四边形 0 P o ic 为正方形./.ZC O P=90.ZPOF=ZOCD.又,：NPFD=NODC=90,；.POF空OCD.住：.OF=CD,PF=OD.：.P(4,3).设直线。小的解析式为y=

7、fcr+B(k#).本把。1(1,7)、P(4,3)分别代人 y=fcc+B,43第22题图直线0/的解析式为尸一条十争.若以PQ为直径的圆与。0 1 相切，则点。为直线。砂 与抛物线的交点，可设点。的坐标为（机，n）,则有 =一$?+率 n=2*；T+铝 家 一 前 整理得W+3丁5 0=0,解得tn 一 3 V 2.“，在”,1-，3+,/2 0 9 3 /2 0 9点。的横坐标为-2-或-2-4.（2 0 1 0 江苏无锡）如图，矩形/比人的顶点力、6的坐标分别为（-4,0）和（2,0）,册 2 月.设直线/C 与直线产4交于点反（1）求以直线尸4为时称轴，口过C 与原点。的抛物线的函数

8、关系式，并说明此抛物线一定过点E-,（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为M M 是该抛物线上位于G 之 间的一动点，求0 版 面积的最大值.【答案】解：（1）点 C 的坐标（2,2 次）.设抛物线的函数关系式为 y=a（x-4 +m,1 6。+m =0则（4 +m=2、初阳 S 8 7 3解得 a=-,m=-.6 3二所求抛物线的函数关系式为y=-正*-4）2 +座6 3-4k+6 =0 g 4-J 3设直线4 C 的函数关系式为y=+则 +(?=3 c=0O-1 234 X图8【答案】解:(1)抛物线y=堀+加+c 过点A(4,0)B(l,3).，y=-x*2+4x,y=-(x-2

9、)2+4,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4)(2),直线EPO A,E与 P 两点关于直线x=2对称，.0E=AP,梯形OEPA为等腰梯形，Z0EP=ZAPE,V 0 E=0 F,N 0 E P=NAFE,二.ZOFP=ZAPE,A0F/7AP,四边形OA P F为平行四边形，；四边形O A P F 的面积为2 0,4(-4 M =2 0,/?!=-1(舍)m2=5 9 n=-5.7.(2 010重庆蒙江县)已知抛物线丫=依2+加+c (a 0)的图象经过点8 (12,0)和 C(0,-6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式：(2)点。在线段48上且4O=4C,若动点P从 A出发

10、沿线段4B以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C出发沿线段C B匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段尸。被直线C Q垂直平分？若存在，请求出此时的时间f (秒)和 点。的运动速度：若不存在，请说明理由：(3)在(2)的结论下，直线x=l上是否存在点使，AMP。为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)方法一：抛物线过点C(0,-6).C6,即 丫=。/+一 6由 -2-。=2 解得：a=1 ，b=116 4 14 4。+-6 =0该抛物线的解析式为y =-L -6-16 4方法二：:A、B关于x=2 对称(-8,0)设)=

11、#1-8)(尤 12)C 在抛物线上，/.-6=a X 8 X (-12),即。=工16该抛物线解析式为：y=-x2-x-616 4(2)存在，设直线C D垂直平分P 0,在 R tZ A OC 中，A C=/82+62=I O=AD.点。在抛物线的对称轴上，连结力。，如图:显然 N P Z）C=N 0 C,由已知/P O C=N 4 C。：.ZQDCZACD,：.DQ/ACDB=ABAD=20 10=10，。为4 8 C的中位线：.DQ=AC=5A P A D P D=A D D Q 105 =5；./=5+1=5 （秒）二存在f=5 （秒）时，线段P Q被直线C。垂直平分在 R tZ B

12、OC 中，B C=府 +12?=6后：.CQ=3 石二点Q的运动速度为每秒|有 单 位 长度.（3）存在.如图，过点。作轴于“，则。，=3,PH=9在 R t P Q H 中，PQ=V 92+32-3V 10当即股为顶点，设直线C D的直线方程为丫=履+8（A W O）,贝I J：产,解得：（=3Q=2k+b b=-6.*.y=3x 6当 x=l 时，y=-3-3）当P。为等腰 M P Q的腰时，且P为顶点，设直线x=l上存在点M Q,y）,由勾股定理得:42+/=9 0,即 y=g i：.M2（1.内）；必（1，-V 7 4 ）当P Q为等腰M P。的腰时，且。为顶点.过点。作Q E L y

13、轴于E,交直线x=l于F,则 尸（1,一3）设直线x=l存在点M （1,y）由勾股定理得：（-+3）2+52=9 0,即 y=-3 病：.M4（1,一3+而）；必（1,一3一 病）综上所述，存在这样的五个点：M|(l,-3)；M2(1,旧)；M3(1,-V 7 4);M,(1,-3+病)；检(1，一3 一 屈)8.(2 0 1 0 山东临沂)如图，二次函数y =f+ax+b的图象与x轴交于A(g,0),8(2,0)两点，且与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式，并判断AA6C 的形状；(2)在x轴上方的抛物线上有一点O,且以A、C、D 8 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出。点的坐标；

14、(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：根据题意，将 A (-1,0),B(2,0)代入y=-x 2+a x+b 中,-4 +2。+6 =0.,3解这个方程，得|ci 2b=l.3所以抛物线的解析式为y=-x2+-x+l.当x=0 时，y=l.所以点C 的坐标为(0,1)。所以在A OC 中，A C=y OA2+O C2=2在BOC 中，BC=yj0B2+0 C2=45.1 -5A B=OA+OB=-+2 =.2 2因为 A C2+BC2=-+2 =4 4所以A A B C是直角三角形。（2）

15、点D的坐标是(3)存在。由(1)知，A C1 BC,若以BC为底边，则BCA P,如 图(1)所示，可求得直线BC的解析式为1 ,y =x +1.2直 线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线A P的解析式为y=-x +b,将A (-,0)代入直线A P的解析式求得b=-所以2 4直线A P的 解 析 式 为x .2 43 1 i因为点P既在抛物线上，又在直线A P上，所以点P的纵坐标相等，即-x?+x+l=-x-.2 2 4解 得%=4=一3 (不合题意，舍 去).,5 q 3当 x=一 时，y=.2 25 3所以点P的坐标为(己，-).2 2若以A C为底边，则BPA C,如 图(

16、2)所示，可求得直线A C的解析式为y =2 x +1.直 线B P可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线B P的解析式为y =2 x +b ,将B(2,0)代入直线B P的解析式求得b=-4,所以直线B P的解析式为y=2 x-4.图23因为点P 既在抛物线匕 又在直线B P 上，所以点P 的纵坐标相等，即-X，一x+l=2 x-42解得玉=-g,X2 =2 (不合题意，舍 去).当 x=-g 时，y=-9.所以点P 的 坐 标 为,-9).2综上所述，满足题目的点P 的坐标为(士5 ，一3巳)或(-士5，-9)2 2 2.9.(2 0 1 0 四川宜宾)将直角边长为6的等腰用 A OC

17、放在如图所示的平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点 C、4分别在X、)，轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C 及点5(-3,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段8 c 上一动点，过点尸作4B 的平行线交4c 于点E,连接力P,当 A PE 的面积最大时，求 点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使 A G C的面积与(2)中 A PE 的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解(1)由题意知：A (0,6),C(6,0),设经过点A、B、C 的抛物线解析式为y=a x2+b x+c6=c贝 ij：6 时，SAAGC=S 梯 膨G

18、FOC-SAGFA-SAAOC=(x+6)y x (y-6)X6 X62 2 2=3x+3y-l82 7B|J 3x+3y-18二，4又 点G在抛物线上，y =-x2+x +6 ,3i 973x+3(+x+6)-18解得：x.=-9,x3 9 1 5 3 2 72当*=时，y=,当 x=2 时，y=.1 2 2 2 2 4 2 4又 y 6,3点 G 的坐标为（一2当yV 6时，如图：S/iAGc=SzkGAF+S 梯 形GFOC SAAOC=x(6y)+g y(x+6)18=3x+3y-_827即 3x+3yT8=,4又丁点G在抛物线上，y=-x2+X +6,3 27/3x+3(+x+6)-

19、18=-解得：=9 x,=士3，当*=9=时 1 y=15,当 x=33 时，y=77.1 2 2 2 2 4 2 4又因为y V 6,所以点G 的坐标为（9，15）.2 4综和所述，点 G 的坐标为（三3，2上7）和（9=，15）.2 4 2 4(3)解法2：可以向x 轴作垂线，构成了如此下图的图形:贝 ll阴影部分的面积等于SAAGC=SAGCF+S梯 形AGFO SAAOC下面的求解过程略.这样作可以避免了分类讨论.10.(2010江苏连云港)(本题满分8 分)已知反比例函数=千的图象与二次函数=以 2+x-l 的图象相交于点(2,2)(1)求 a 和 A 的值；(2)反比例函数的图象是

20、否经过二次函数图象的顶点，为什么？【答 案】因为二次函数y-x +x-l。反比例嫉效y，交于点(22)所 以24+2-1.之秘。一+.2分Zl.所U U-4.4 分(2)反比例女”的图象般过二次嫉H图象的M点.5分由(1)知二次嫉般闻反比例卡”的关系式分别*、-:/+才-1和 典为 y:x*+j r-1 ；(/+4JT+4JT+4 1 8)+2),-8 (x+2),2.6 分所以二次函数图象的At点金标是-2-2.7分LM为*-2 t h y-1?一2.所 以 反 比 例 示 敢 用 象 经 过 二 次 图 象 的 原 点.1 1.(2010黄 冈)(1 5 分)已知抛物线y =ax2+b x

21、+c(a W 0)顶点为C(1,1)且过原点。过抛物线上一点P (x,y)向直线y =3作垂线，垂足为M,连 F M (如 图).4(1)求字母a,b,c 的值；3(2)在直线x=l 上有一点F(l,-)，求以PM为底边的等腰三角形P F M 的 P点的坐标，并4证明此时 P FM 为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N (1,t),使 PM=PN恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.【答案】(1)a=-1,b=2,c=0(2)过 P作直线x=l 的垂线，可求P的纵坐标为!，横坐标为1 +,6.此时，M P=4 2MF=P F=1,故AMPF 为正三角形.(3)不

22、存在.因为当t 3,x 2,xl4 4时，PM与 PN不可能相等.12.(2010山 东 省 德 州)(已知二次函数y=o?+b x +c的图象经过点4(3,0),8(2,-3),C(0,-3).(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;(2)点尸从8点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段B C向C点运动，点。从。点出发以相同的速度沿线段。A向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动.设运动时间为f秒.当f为何值时，四边形A8PQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为例，过“点作x轴的平行线交A 8于点N,设四边形ANP。的面积为S,求面积S关于时间/的函数解析式,并指出，的取值范围；当/

23、为何值时，S有最大值或最小值.-X第23题图【答案】解：(1)：二次函数历c+c的图象经过点C(0,-3),/.c=-3 将点力(3,0),8(2,3)代入 y=+/?x+c 得0=9。+3b-3,-3=4a+2b-3.解得：a=l,。=-2.y x 2尤3.X配方得：y=(x-l)2-4,所以对称轴为x=l.(2)由题意可知：BP=OQ=OAt.,点5,点C的纵坐标相等,：.BC/OA.过点8,点尸作8。_L04,P E 1 O A,垂足分别为。，E.要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需P Q=AB.即 QE=AD=.又。七 二。一。=(2-0.1 r)-0.1 U2-0.23A2-0.2r=

24、l.解得u 5.即t=5秒时，四边形A B P Q为等腰梯形.设对称轴与8 C,x轴的交点分别为F,G.；对称轴%=1是线段B C的垂直平分线，BF=CF=OG=1.又,：BP=OQ,：.P F=QG.又；N P M F=N Q M G,二例 FP丝 Z XM GQ.：.MF=MG.点M为F G的中点,S=S四 边 形A BP g S岫P N，=S四 边 形ABFG*S ABPN,1 9由 s 四 边 形 FG=Q（B F+A G）F G=.3SABPN=_B PT G =t.MPN 2 2 4 0.0 9 3 S=-1.2 4 0又 BC=2,0 4=3,.点P运动到点C时停止运动，需要2

25、0秒.0 r 2 0.当r=2 0秒时，面积S有最小值3.1 3.(2 0 1 0山东莱芜)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax2+x+c交x轴于A(2,0),B(6,0)两点，交 y 轴于点。(0,2 6).(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴与直线y =2 x交于点Q,作。与x轴相切，。交y轴于点E、尸两点，求 劣 弧 的 长；(3)尸为此抛物线在第二象限图像上的一点，P G垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位置，使得 P G 4的面积被直线A C分 为1 ：2两部分.（第 24题图）【答案】解（1）.抛物线y+云+。经过点4（2,0）,3（6,0）,。（0,2

26、6）.百4。+2/?+c =0a=6 36。+6 8+c =0，解得,b=-士 c=2V33c =2百抛物线的解析式为：y=X2-V 3X+2V3.6 3（2）易知抛物线的对称轴是x =4.把x=4代入y=2x 得 y=8,.点。的坐标为（4,8）.7 3。与x 轴相切，的半径为8.连结。E、D F,作。轴，垂足为点M.在 Rt Z MF O 中，尸。=8,MD=4.A c o s Z M D F=-.2Z MD F=6 0,：.ZEDF=120.劣弧俞的长为：XTEX8=K.180 3（3）设直线AC的解析式为产日+尻.直线AC经过点A（2,0）,C（0,2 g）.2k+b=0 k 3 r

27、1 L，解得4.直线AC的解析式为：y=-V 3 x+2 V 3.b=26 b=243设点-A/3/H+2,/3）（/?6 3则点 N 坐标为（m,-V3m +2V3）.：SSP NA：SAGNA=P N:G N.3 若 P N:GN=：2,贝|J P G:GN=3.2,P G=GN.2即m2+2V3=3（V 3 m +2/3）.6 3 2解得：加 i=3,人=2（舍去）.当加=3 时，m2 V3/2+2-/3=V3.6 3 2.此时点尸的坐标为（-3,”6）.102分若 P N:GN=2：1,则尸G ：GN=3：I,P G=3GN.即 且 加 2一2 代 加+2 6=3（6 加+2有）.6

28、3A 4解得：加=-12 恤=2 （舍去）.当m=12 时，m J 5/7?+2-/3=4 2 3.6 3此时点P的坐标为（12,426）.综上所述，当点P坐标为（-3,4 有）或（-12,426）时，P GA的面积被直线AC分 成 1 ：2 两部分.14.（2010广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形A B C D （0 为原点），点 A、C分别在x轴、y 轴上，且 C点坐标为（0,6）；将B C D 沿 B D 折 叠（D点在0C 边上），使 C点落在0A边的E 点上，并将B A E沿 B E折叠，恰好使点A落在B D 的点F 匕（1）直接写出/A B E、N C B D 的度数，并求

29、折痕B D 所在直线的函数解析式；（2）过 F点作F G J _x 轴，垂足为G,F G 的中点为H,若抛物线 y=o?+A x +c 经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作P N B C 分别交B C 和 B D 于点N、M,设 h=P M-MN,试求出h与 P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使P M N M、P M=MN、P M刈N成立的x的取值范围。【答案】解：（1）N A B E=N C B D=30在4A B E 中，A B=6B C=B E=A Bcos 30C D=B C

30、t a n30=4A 0D=0C-C D=2，B（4石，6）D（0,2）设 B D 所在直线的函数解析式是y=kx+b4百人+6=6b =2,V3k-3b=2所以B D 所在直线的函数解析式是y x+23(2)VEF=EA=A B t a n30=27 3 Z F EG=1800-Z F EB-Z A EB=6 0X V F G 1 0 A.-.F G=EF s i n6 00=3G E=EF c o s 6 00=7 3 O G=O A-A E-G E=V3又 H为 F G 中点；H (V3,)2VB(4A/3,6)、D(0,2)、C 48。+4 b+c=6J c=2 3 +回 +C=22H

31、（V 3）?）在抛物线），=。/+/x +c图象上1Cl 6,V3h =-3y =21A抛物线的解析式是y=x 2 x +24 分(2)VMP=(x+2)-(-x2-x+2)=-x2+x3 6 3 6 3MN=6-停x+2)=4 V 3Ti n c iH=MP-MN=(x1+-x)-(4-x)=x2+V 3 x-46 3 3 6由 _!+Wx _ 4=0 得 X=2-/3,X2=4-/36该函数简图如图所示：当 0 x2百 时,h 0,即 HP M N当 x=2 j5 时，h=0,即 HP=M N当2代x 0,即 HPM N15.（2010 福建宁德）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,N6

32、=90,B C f,AD=3,ZDCB=30 点 反/同 时 从 B点出发，沿射线比向右匀速移动.已知F 点移动速度是点移动速度的2 倍，以加1 为一边在的上方作等边牙况 设 E 点移动距离为x（x 0）.哥6 的边长是_ _ （用含有x 的代数式表示），当 x=2 时，点 G的位置在_ _ _ _ _ _ _：若跖G与梯形ABCD重叠部分面积是y,求当0 xW 2时，y 与 x 之间的函数关系式；当2c时，y 与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.【答案】解：X,D点 当OVxW Z时，斯G在梯形ABCD内部，所以y=、lx 2；4分两种

33、情况：I.当2V x 0时，y随x增大而增大，4Ax=2 时，y 最 人=V3；%i o叶 7省2 94 9方 左 18 973当 2 V x V 3时，y=-x+-x-在*=一 时，y 最 大=-；8 2 2 7 7当3W W 6时，7=3/地 工+%8在x 0）个单位，所得抛物线与x轴交与C、。两点，与原抛物线交与点2（1）求点/的坐标，并判断 也 存在时它的形状（不要求说理）（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含而的式子表示）；若不存在，请说明理由；(3)3 的面积为S,求S关于勿的关系式。【答案】解(1)令-2x.4x=0得X LO,XZ=2

34、点/的 坐 标 是(2,0),也 是等腰三角形，(2)存在。OC=ADmy 0A=C22,(3)当0水2时，如 图1,作 根Lx轴 于 设 尸(马,力),(2,0),C(m,0),：.AC=2-mf.“AC _ 2-m2 2/.xp=01 m+2-m2 z +22把 xp=；2 代入 y=-2x2+4x,得1 9yp 机*+2,*CD=O归2,2作 力_Lx轴于/,设 尸(巧,，力),VJ(2,0),C(m,0),m 2工 力e m-2,册-2xp=04优+22+?把把X p=-代入y=-2 x*+4x,得,1 ,得，yP-w+22,:CD=0A=2,1 1 1 ,S=-C D i P=-x

35、2(-yp)=-/n1 2-2 .1 ,32 5.噪(1)y =x+X +-；2 2(2)由顶点 M(1,2)知N P B M=45 ,易证 M B P s/M P Q 得,31 7.（2 0 1 0武 汉）如 图1,抛物线弘=a，-2 a x+b经过点A （-1,0）,C （0,两点、,且与x轴的另一交点为点B.（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线的顶点为点M,点P为线段A B上一动点（不 与B超）,Q在线段MB上移动，且N M P Q=45 ,设O P=x,MQ=y2,求 力 于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2,在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m,x=n分别

36、与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形E F H G能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由.空L=2 L=PM，=B M QM,得(1一%)2+4=2&也 力，即B M PM 21 ,5约=5 X +(0 x 3);(3)存在，设点E、G是抛物线了=一1 /9+x +：3分别与直线x=m,x=n的交点，贝UE(m,-m2+w +)G(,一-n2+/?+),同理尸(血,工/一机+*)、2 2 2 2 2 2H(n,-n2-n +-),E F =m2-2 m+,GH=n2-2 n+.由四边形 E F H G 为平行四2 2边形得 E G=

37、F H,即 J-？-2，-2 =0 =(m +-2)(机-)=0,由？K n?+=2（0 4 2 4 2,且？H 1）,因此，四边形E F H G可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 （0 W m W 2,且mW l）.1 8.（2 0 1 0四川 巴中）如 图1 2已知A A BC中，N A C B=9 0。以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系.此时，A点坐标为（一1 ,0）,B点坐标为（4,0 ）（1）试求点C的坐标（2）若抛物线了 =42+以+。过砥（2的三个顶点，求抛物线的解析式.（3）点D （1,m）在抛物线上，过 点A的直线y=-x1交（2）中的

38、抛物线于点E,那么在x轴上点B的左侧是否存在点P,使 以P、B、D为顶点的三角形与4ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。【答案】(1)V Z A C B =9 0 ,C 0 1 A B,A A C O A C B O,二=，C O=2,O B C O贝Ijc (0,2)；。一。+c =0(2 )抛 物 线 y =a/+A x+c 过 ABC 的 三 个 顶 点，贝 i j 1 6 a +4/?+c =0 ,，c=2a=1,b 3=-,c=2,抛物线的解析式为y =1 +33冗+2；2 2 2 2(3)点 D (1,m )在抛物线上，m=3,AD(1,3）,把 直 线 y=-x

39、-l 与抛物线y21 V2-X3y =-x-lX =-1Xo 二=5+x+2联立成方程组42y 二1 2 3 ,=X H-X +2%=0，72=-6 A E （5,-6）,过点D作 D H 垂直于x 轴，过点E作 E G垂直于x 轴，D H=B H=3,/D B H=4 5,B D=3 5/2 ,A G=E G=6,A Z E A G=4 5,A E=6 技当 P在 B的右侧时，Z D B P=1 3 50 r/A B E,两个三角形不相似,所以P点不存在;当 P在 B的左侧时Dp F）D RP a /*7 s ai）D P B s 4 E B A 时，8 P =3，；.P 的坐标为（1，0）

40、,BA A E 5 6 7 2 2 2ii）D P B s E A 时,-=,-=5,8 P =光,，P 的坐标为（一 匹,0）,EA BA 6 V 2 5 5 5所以点P的坐标为（3,0）或（-3，0）。2 51 9.（2 0 1 0 浙江湖州）如图，已知在直角梯形O A B C的边OA在 y轴的正半轴上，OC在 x轴的正半轴上，。4=4 8 =2,0 c=3,过点8作 8 O J_ B C,交 OA于点。，将NO8C绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.（1）求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；（2）当 B E 经 过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；（3）连

41、接E F,设A B E 尸与 8 FC 的面积之差为5,问：当 CF 为何值时S最小，并求出这个最小值.【答案】由题意得：4 6 0,2）、B（2,2）、C（3,0）,设经过4,B,C三点的抛物线的 解 析 式 为y=ax1+A x+c ，c=2则 4。+2/?+c =29。+3/?+c =02a=34解 得：b=3c=2所以y 2 x 2 4 4 x+02.3 32 4 2 8 2(2)由 y =一一x2+X +2 =-(x-1)2+，所以顶点坐标为 G(1,过 G 作 GHX.AB,3 3 3 3 38 2垂足为 H,则 A H=8 4=1,GH=-2=-,：EAAB,GH1AB,J.EA

42、/GH,.,.G”是-3 34 B E A 的中位线，E 4=3 G/=一，过8 作8 M_ L O C,垂足为 M,则=；N E B F3=N A 8 M=9 0,Z.ZEBA-ZFBM=9 0 -ZABF,.R tA E B A R X/X FBM,：.FMEA4,7：C M=O C-O M=3-2=1,：.C F F M+C M .3 3(3)设 C F=a,则 FM=-1 或 1一 a,：.BF2=FM2+BM2=(al)2-22=a2-2a+5,又:*AEBAm AFBM,:.BM=BF,1 1,1,1 1则S BREFFF-B EXBF -B F2-(a2-2a+5),又s 昕=-

43、F C x M B =xax2=a,2 2 2 c 2 2S (G*2G+5)G=-c i -2 d H，E|J S(a -2)-H ,.,.当”=2 (在 2 a 一#+3.(2)如图1,当CP CO时.点P 在以B M 为立轻的玄上.因为HM 为限的直径.；./8 P M=9 0)PM/AB./.CPMooCBA.CP CM fa“-,C 8=CA*WC M-.M l=-1 如图2当PC=PO时点在8 垂直平分埃上.得 P C-2.5.bCPMCBA.CM 组O,=4,2一5至=下7.当OC=OP时,M 点不在线段AC上.综上所述，m 的值为或一】.o21.（20 1 0 江苏常州）如图，

44、在矩形A B C D 中，A B=8,A D=6,点 P、Q分别是AB边和C D边上的动点，点 P从点A向点B运动，点 Q从点C 向点D运动，且保持A P-CQ。设A P=x（1）当 P Q A D 时，求 x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC 边相交时;求 x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC 相交时，设交点为E,连接E P、E Q,设aERQ的面积为 S,求 S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。BBA(备用图)【答 案】解：(1)当PQA。时.”三4.(2)如图.连接 EP.EQ.则 E P-E Q,设 B E-y,：(81)十9 (6y),-rx1得 y-，XJ7

45、V 0 y 6/、c-1 n r nn 1 4 x-7、4x*-r39x56(3)SAK=y 6E o r=y -(8-1)-5-c _ 1 r r 1/u 4*7、-4/-25JC=q CE C Q=y 4 H-g-由 眩 意；A/FCQ。；S09APQC B；SI.A M C C j 24 c_ c c a _-4 x*4-39J56-25x S H 5W5WQC-，48CU.Z4-g-g-H o u c-32*+100 4,、*1 0/7 2 5、整理帝：5-3.-y(r 4)1-1 2(彳 了)当/=，时.S有最小 值12.当或*=至 时.S有最大值?/.12S=一百a 一 2 y+6

46、（3）设抛物线的解析式为 =（X -2尸+，代入口点的坐标（，6），得k=5 6平移后的抛物线的解析式为 =-V3（X-2）2+5A/3二平移了 5 6一 百=4立 个单位.23.（20 1 0湖北荆门）已知一次函数y=g x +l的图象与x轴交于点人 与y轴交于点8；二次函数y =g，d+b x +c图象与-一次函数y=gx +1的图象交于8、C两点，与x轴交于。、E两点且。点的坐标为（1,0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形8 OE F的面积S；（3）在x轴上是否存在点P,使得尸8c是以尸为直角顶点的直角三角形？若存在,求出所有的点P，若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)V由题

47、意知:当x=0时,y=l,8(0,1),当 y=0时,X=-2,(2,0)解得-+b+c=0b121,33,所以 y=x2 x+12-1 0 3(2)当 y=0 时,-X2 一一x+1 =0,解得 X|=1,X2=2,D(1,O)E(2,0)：.AO=3f AB=4.2 2S=SACAESAABD，S=-A E x 3-A D x O B ,S=4.5,2 2 存在点P(a,0),当P为直角顶点时，如图，过C作C F V x釉 于F,：Rt/BOP Rt/P FC,由题意得，A)=6,O D=,易 知,AD/BE,.BP 一=,整理得:/-4 a 3=0,解得a=l或 a=3,所以所求P 点坐

48、标为(1,0)P F C F 4-a 3或 0).综上所述,满足条件的点。有两个.24.(2010湖南株洲)(本题满分10分)在平面直角坐标系中，抛物线过原点O,且与x 轴交于另一点A,其 顶 点 为 孔 明 同 学 用 一 把 宽 为 3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：量 得O A -3cm；把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5.请完成下列问题：(1)写出抛物线的对称轴；(2)求抛物线的解析式；(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点4 的右边(如图2),直尺的两边交x轴于点”、G

49、,交抛物线于点E、F.求证:图I3【答案】（1）x =23 9 3 9 9（2）设抛物线的解析式为：y =a x（x 3），当x =5时，y =j a ,即8（/,-1。）；当x =9 7 Q 27 27 9 1时，y a,即。(二，一 a),依题意得：一 a(二 a)=4.5,解得：a=-.4 2 4 4 4 21 ,3.抛物线的解析式为：y =-x2-x.2 21 3 1 3(3)方法一：过点 E作 E D 1 FG，垂足为 D，设 (m,m2 tn),Fn,n2 n),2 2 2 213 1 3 1 3 1得：D F =(/?2=加？)(_ )=5(_)(+根 3)一 一13 13 1

50、3E H +F G =(n2-)+(/7 i2 一 二 nt)=(n2+/)(n +m)2 2 2 2 2 2又”m=3,得=加+3,分别代入、得：D F =3m,E H +F G =m2：.E F2=D E2+D F2=32+(3机产=9+9m2i i 3得：一(E f 29)=x9m 2=己 加 26 6 2i 3又 S 梯 形 “GH=Q X3.(EH+FG)=3 m-S 梯 形 Es=:(叱-9)1 ，3 1,3方法二：过点E作 O _ L F G,垂足为。，设E(x,f x),则尸(x+3,-+工)，2 2 2 2得：2=D 2+DF2=32+(1-x2 3+-x)-(1-x32-x