函数方程（解析版）.pdf

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1、【2 0 2 2版】典型高考数学试题解读与变式考 点0 9函数方程【考纲要求】I.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.【命题规律】函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题.【典型高考试题变式】(-)判断零点所在的区间例1.(2 0 1 4北京)已知函数/(x)=9 -l og2 X ,在下列区间中，包含/(X)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+oo)【答案】C【解析】；/(l)=6-l og2l

2、=6 0 ,/=3 l og2 2 =2 0 ,3 1/(4)=；1 0 8 2 4 =0,；./()零点的区间是(2,4).【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.【变 式1】【改变例题中的函数式】函数=lgx-2x2+3的零点位于下列哪个区间()A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【解析】：函数f(x)=旬 -2/+3

3、,；.f(1)=1,f(2)=3 2-5,；.f(1)f(2)0,再根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=2 gx-2/+3的零点一定位于区间(1,2),故选B.【变 式2】【改 变 例 题 中 的 结 论】已知函数=l og2%的 零 点 的 区 间 是(k,k+l)(k e Z),则 k 的值为.【答案】3【解析】作图可知函数f(x)的零点所在的区间是(3,4),所以左=3.(-.)判断函数零点的个数例2.(2019全国III文5)函数/(x)=2sinx sin2x在 0,2n的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】解法一：函数x)=2sinx-sin2x在 0

4、,2可 的零点个数，即2sin x sin 2x=0在区间 0,2可 的根个数，即 2sinx=sin 2 x,令(x)=2sinx和 g(x)=sin2x,作出两函数在区间 0,2句 的图像如图所示，由图可知，=2sinx和g(x)=sin2x在区间 0,2K的图像的交点个数为3个.故 选B.解 法 二：因为/(x)=2sinx-sin2x=2sinx(l-cosx),xG 0,27i,令/(x)=0,得2sinx(l-cosx)=0,即 sinx=O 或 l cosx=0,解 得 了 =0,兀,2兀,所以./1(%)=25皿%-5皿2%在0,2兀 的零点个数为3个.故 选B.【名师点睛】对

5、于方程解的个数(或函数零点个.数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.【变 式1】【改变例题中的函数式】函数八乃=f笔y 则方程/。)一%=0的,根的个 数 是()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】由题意，函数 乃=噜S言针，作出函数的图象，如图所示，又由方程划一9=0,转化为y=/（x加、=扛 的图象的交点个数，结合图象可知，函数y=f（x和y=#的图象有三个交点，即方程/Xx）-1 x=0有三个实数解，故 选B

6、.个yrrf _2 Y 0【答案】2+e【解析】令/一2=0得，x=0,只有x=-忘 符合题意，即 再=-0,令In x =0得，x=e,所以函数/（X）的零点之和为2+e.（三）函数的零点的运用例3.（2021年高考天津卷9）设a e R,函数x）=COS（2TLT-2兀a）,x a,f -2（a+l）x+a2+5函 数 在 区 间（0,+8）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A-9-42-H-43n-4一_-U-9-42/,ICD.I）1 1卜【答案】A【分析】由f -2（。+1卜+5=0最多有2个根，可得cos（2 m 2皿）=0至少有4个根，分别讨论当x。和x a时两个函数零点个数情

7、况，再结合考虑即可得出.【解析】-2（a+）x+cT+5=0最多有2个根，,cos（2m 2 a）=0至少有4个根，7 Tk 1 k.1由 2TL X 2兀。=卜 kit,k w Z 口 J 得 x i卜 a,k e Z ，由 0 iKJ 得2 2 4 2 4-2。&.2 21 7 9(1)时，当一5 4一2一耳-4 时，尢)有 4 个零点，GP-a-；1 n 1 1当一6 2 a 不-5,/(x)有 5 个零点，即:。一；2 4 4当一7 4 2。，V-6,/(x)有 6 个零点，即2 4 4(2)当 x2q时，f (x)=工2 2(Q+1)X+Q+5,=4(a +1)4(/+5)=8(a

8、2),当 2时，/2时，令/()=。厂一+1)+5 =2Q+5 2 0,则2Q,止 匕 时/(%)有2个零点；.,.若a?时，/(%)有1个零点.综上，要使f(x)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则应满足 a 44或2 a 二4 4 -a 22 i【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分xa和 两 种 情 况 分 别 讨 论 两 个 函 数 的 零 点个数情况.【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数

9、形结合思想，求得相应的结果.%3%o【变 式1：改变函数】(2 02 0年 高 考 天 津 卷9)已知函数/(x)=1.:若函数 X,x 0.g(x)=f(x)-kx2-2x(%c R)恰有4个零点，则上的取值范围是()A.1-8,-g 1u(2夜,+8)B.(-=0,-g)u(0,2夜)C.(-00,0)U(0,2 7 2)D.(-o o,0)U(2夜,+8)【答案】D【思路导引】由g(0)=0,结合已知，将问题转化为y=l近一2|与父 工)=誓 有3个不同x交点，分氏=0,%0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|依-2 1

10、=智恰有3|x|个实根即可，令/?(=曾，即y=|a -2|与/2*)=誓的图象有3个不同交点.|x|x|当&=0时，此时y =2,如 图1,y =2与/i(x)=W埠 有2个不同交点，不满足题意;xfix)当k 0时，如图3,当 =依-2与y =f相切时，联立方程得/一日+2 =0，令 =()得左2一8=0,解得&=2及(负值舍去)，所 以&2及.综上，人的取值范围为(8,0)U(2血,+8),故选D.【专 家 解 读】本题的特点是函数图象及其现在的灵活运用，本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模 等 学 科 素 养.解

11、 题 关 键 是 正 确 作 出 函 数 图 象，应用函数图象及其性质解决问题.【变 式2：改 变 条 件 和 结 论】(2 019江 苏14)设/(x),g(x)是 定 义 在R上 的 两 个周 期 函 数，/(x)的 周 期 为4,g(x)的 周 期 为2,且/(x)是 奇 函 数.当xe(0,2时，Z(x+2),0 x 1/(x)=J l-(x-l)2,g(x)=0.若 在 区 间(0,9上，关,1 x 2I 2于X的 方 程/(x)=g(x)有8个 不 同 的 实 数 根，则k的取值范围是.【答 案】。5)【解 析】作 出 函 数/(X)4 g(x)的 图 像 如 图 所 示，由 图

12、可 知，函 数/(X)与g(x)=g(l x剜2,3 x 4,5 x领J 6,7 0),因 为 两 点(一2,0),(1,1)连线的斜率左=：,所 以;”心木,即数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等.分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象.转化与化归思想.【温馨提示】函 数 的 零 点 不 是 函 数y=(x)与x轴的交点，而 是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点

13、，只有/(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件.精确度不是近似值.【典型模拟试题演练】一、单选题1.(2021 陕西渭南高三二模(理)若函数 y=f(x)(x e R)满足 f(x+1)=-f(x),J S xe H.l 时，f(x)=l-x2,已知函数g (x)=则函数(幻=g (x)在区间-6,6 内的零e ,x 0,点个数为()A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.1 1【答案】C【分析】由/(x+1)=-/(x),知函数y=/(%)(%e R)是周期为2 的函数，进而根据/(x)=l-x2

14、与函数g(x)=J 4 乂 。的图象得到交点个数.e ,x 0,【详解】解：因为x+l)=/(x),所以函数y=/W*R)是周期为2 函数，因为时，/(x)=l-x2,所以作出它的图象，则y=/(x)的图象如图所示：(注意拓展它的区间)再作出函数g(x)=咚琲的图象，容易得出到交点为1 2个.故 选 C.e ,x 0)在 区 间 一 7，上单调递增，且/(力=1 在区间 0,2 1 上有且仅有一解，则。的 取 值 范 围 是()A.（吟【答案】DC._ 54,4D.34,4【分析】求出函数的增区间，然后由已知得出的一个范围，然后由再由方程 司=1在区间。,2刈上有且仅有一解，结合正弦函数的最大

15、值点求得”的另一个范围，两者结合可得结论.【详解】因为 x)=s i n 5 0),-y +2k7i:a)x 0,所以又.f（x）=1在区间 0,2句上有唯一2 G 3 3 2 G 4的实数解，所以，x二4 2万，且*x纭 2万，可得综上，故选D.4 co 4 co L 4 4；1 4 43.（2 0 2 1.内蒙古赤峰二中三模）若直角坐标平面内A、8两点满足点A、B都在函数/（X）的图像上；点A、B关于原点对称，则点（A,B）是函数x）的一个“姊妹点对”.点对（A,B）与（&A）可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数x）=x2+2 x(x 0)M。），则/（X）的“姊妹点对”有（）A.0个 B

16、.1个 C.2个 D.3个【答案】C【分析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数y =f+2 x（x 0）的图像关于原点对称的图像，再作出函数y =/（x z o）,由图像可得结论【详解】解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可作出函数y =Y+2 x（0）的图像关于原点对称的图像，看它与函数y =/（x N 0）交点个数即可.如图所示：当 广1时，0 4 1,观察图象可得：它们有2个交点.故选C.4.(2 0 2 1全国I卷押题模拟)函数x)=2 e 的图象与函数g(x)=1 +5的图象交点所在的区间可能为()

17、A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【分析】构造函数，由零点存在定理判断.【详解】设Mx)=2 e -1-5,y =e、是R卜一的增函数，丫 =,在(0,+8)和(-,0)匕都是减函数,因 此 人(幻在(Y O,0)和(0,+8)上 都 是 增 函 数，由 选 项 只 考 虑(0，+8)上 的 情 形，/i(l)=2 e-l-5 =2 e-6 0 ,所以人(x)在(1,2)上有零点.所2 2以函数x)=2 e 的图象与函数g(x)=：+5的图象交点所在的区间可能为(1,2),故选B.4 a 15.(2 0 2 1.安徽淮北二模)若关于x的不等式l n x+a-0有

18、且只有两个整数解，则正实x数的取值范围是()A.(31n 3+l,4l n 2+4 B.-In 2+l,31n 3+l)C.(l n 2+g,31n 3+1 D.(31n 2+l,21n 3+3【答案】C【分析】原不等式可化简为协x+l 4-”,设f(x)=M u+l,g(x)=4 a-ax,作出函数f(x)的图象，由图象可知函数gW的图象应介于直线AC与直线BC之间(可以为直线8 C),进而求得答案.【详解】解：原不等式可化简为x l n x+l 4a ，设/(x)=x l n x +l ,g(x)=4a-a r,由/(x)=x l n x +l得，/(x)=l n x+1,易知函数f(x)

19、在(0,。单调递减，在已 收)单调递增，作出x)的图象如下图所示,而函数g(x)=4 a-m恒过点C(4,0),要使关于x的不等式l n x+a-兰 亍0有且只有两个整 数 解，则 函 数g(x)的图象应介于直线AC与 直 线8c之 间(可 以 为 直 线B C),乂A(2,21n 2+1),B(3,31n 3+1),k,A r-0-(-2-1-n-2-+-l-)=-I.n 2.1 ,0-(31n 3+l).0 19A C 4-2 2 knBrC -4-3-=-3 In 3-1,.-3 In 3-1W -a -In 2 2,In 2+-6z 0,f(x)在肘田)上单调递增,/(%)/(1)=1

20、,F3在(1,田)上无零点，%2时，_ f(x)=0=x =e i,而/(X)在。,a)上单调递增，从而f(x)在(L e i)上单调递减,在(e*E+8)上单调递增，/(x)m i n=/(?-2)=(k-2)?-2+?-2-kek-2+k=-ek-2+k,因函数f(x)=x In x+x -4 x -1)在 )上有唯一零点，则f(ek-2)=0,即一才以+&=0,令 g(k)=-ek-2+k(k 2),则 g(k)=-ek-2+l 0,g(4)=4-e 2 sin x=,可 子 x=、-、.2 2 2 2 6666综上所述，函数 x)=sin2x-cosx在 0,3句上的零点个数为7,故选

21、C.l+logf Ix|,x-l有两解，则。的取值范围是()A.(y,l)B.(0,)C.(。/)D.(l,+oo)【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：0 。1,然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程f(x)-1=0 有两解时。所满足的不等式，由此求解出。的取值范围.【详解】因为f(x)=,1 +log Ix|,x-1(x+g22所以aW当 0 /(-l)=2a,因为方程/(力-1=0有两解，所以2a 1,所以0 /(-l)=2a,因为方程/(x)-1 =0 要有两解，所以2“1 时，g(x)l,而所以X 1 或X V-1 时,/(X)与g(x)无交点.综上，函数y

22、 =/(x)和 g(x)=W 的图象交点个数为2,即函数y =x)-W 的零点个数是2,故选A.i o.(2 0 2 1 广东六校四模)已知函数/(x)=-，若/a)=/(w)a赴)，则(一办)百)的取值范围是()A.1*2 B.h e2)C.e,e2 D.2,e2)【答案】D【分析】根据题意画出函数/(X)大致图象，然后根据图象得出(),丐 1 ,再用网表示出X”根据所得关于看的函数单调性可得结果.【详解】函数/(X)大致图象如下:则由图可得0”不1,而电-l =e*,故%=e*+1,-芭)./(4)=(/,+1),令=%,g =(d-0 r 0,；.g(。在0,1)上为单调增函数.v Q,

23、Z1,2,g(t)g“(x +2)=0 (。0 且aw l)有且只有5个不同的实数根，则实数。的取值范围是()A.B.(5,7)C.(1,5)D.(5,+oo)【答案】B【分析】求得函数f(x)是周期函数，且周期7 =2,依题意，只需使函数y =/(x)的图象与函数y =l og式X+2)的图象在(-1,6)上 有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出y =/(x)与y =k)g.(x+2)的图象，数形结合可得结果.【详解】因为/(X)是R上的偶函数，所以，对T x e R,/(x+2)=/(-x)=/(x),所以函数”x)是周期函数，且周期T =2,/(x)-l og“(x +2)=O o/(

24、x)=l og,(x+2),依题意，只需使函数y =/(x)的图象与函数y =bg“(x+2)的图象在(T6)上有5个交点即可.a 1在同一坐标系中分别作出y =/(x)与y =l og“(x+2)的图象，由图可知，实数。满足Tog“5 l解得5 a ),若 函 数2d+4 x+2(x 4 0)g(x)=/(/(x)m)2,则下列结论正确的是()A.若 g(x)没有零点，则B.当?=2时，g(x)恰 有 1 个零点C.当g(x)恰 有 2个零点时，”的取值范围为(0,1 D.当以力恰 有 3个零点时，加的取值范围为(L3 U 4【答案】D【分析】作出f(x)的图象，令 g (x)=0 ,可得A

25、 x)=，或/(X)=m-2 ,分别讨论在,()、?=0、0 1 m 2、m=2、2?3 3 根 4 情况下，y =机和y =n?-2图象与y =/(x)图象交点个数，即可得g(x)零点个数，综合分析，即可得答案.令 g(x)=(功-了)-2 =0 ,即/(/(x)-/n)=2,可得了(X)-机=0 或/(x)-，=-2 ,即/(X)=机或/(x)=，-2 ,当初0 时，/(x)=帆和.f(x)=w?-2 均无解，此时g(x)无零点,当m=0 时，/(幻=。有且仅有一个根4-1,/(x)=-2 无解，此时g(x)有一个零点，故 A错误：当0 机4 1 时，图象与y =f(x)图象有2个交点，即

26、/(8)=机有2 个根，-2 m-2 -l,)，=m-2 图象与y =r)无交点，即/(幻=机 2 无解，此时g(x)有 2 个零点；当1 2时，y =加 图象与y =/(x)图象有3 个交点，即/。)=小有3 个根，-m-2 Q,丫 =m-2 图象与y =/(x)无交点，即f(x)=m-2 无解，此时g(x)有 3 个零点；当加=2 0 寸，y =2 图象与y =/(x)图象有2 个交点，即/。)=加=2 有 2 个根，y=0 图象与y =/(x)图象有1 个交点，此时g(x)有 3 个零点，故 B 错误；当2 m 4 3 时，卜=图象与y =/(x)图象有1 个交点，即/(x)=m有 1

27、个根，0 机-2W1,y =m-2 图象与y =f(x)图象有2 个交点，即f(x)=m-2 有 2 个根，此时g(x)有 3 个零点：当3 相4 时，y =m图象与y =/(x)图象有1 个交点，即/。)=m有 1 个根，1 帆一2 4 时，了 =加 图象与y =f(x)图象有1 个交点，即/(=加有1 个根，m-2 2 ,y=m-2图象与V =/(x)图象有1 个交点，即F(x)=，w-2 有 1 个根，此时g(x)有 2 个零点，故C 错误:综上可得：当g(x)恰 有 3 个零点时，m的取值范围为(1,3 U 4 ,故 D 正 确.故 选 D.【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图

28、象求交点问题，分别讨论，的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.1 3.(20 21 河北衡水中学模拟)己知函数x)是定义域为R 的偶函数，且/*-1)是奇函数，当喷!k 1 时，有/(x)=JT 7,若函数y =/(x)-%(x-20 21)的零点个数为5,则实数4 取值范 围 是()A.-5 2C,同 k包或k=-限1 2 4 1 2【答案】C1 ,1B.-k-6 3D.一 旦 k -显或 =火。-1)的图像交点的个数,因为x)=J 匚 孑 的 图 像 为 半 圆，故 由 图 像 可 知 斜 率 应 该 在 占 与&之 间 或 为&，【点睛】函数零点的求解与判

29、断方法：(1)直接求零点：令f(x)=O,如果能求出解，则有几个解就有儿个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间伍，句上是连续不断的曲线，且/()负b)a1 4.(20 21 福 建 福 州 一 中 三 模)若 曲 线1V a、一 与 x 轴有且只有2 个交点，则实数。的取值范 围 是()A.I a 3C.1 4 a 4 2 或 心 3 D.l a =2*-4 与 y =(x-l)(x-3)的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】作出函数y =2,-4 与 y =(x D(x 3)的图象，当 1时，只有B一个零点；当1 4 a v 2时，有A,B两个零点；当2 4。3时，有A

30、个零点；当a N 3时，有A,C两个零点；综上，实数。的取值范围是：1 4 a 0,尸(无)C HH-（2+x）0,0 x 0 ,所 以 的 大 致 图 象 如 图:直 线y =Z(x+l)过定点(TO),过(-1,0)和(1,2)的直线的斜率为1而=1,由图可知0心1时，函数y =/(x)和y =R(x+l)至少有两个交点，即方程x)=%(x+l)至少有两个实数根，故选B.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)=O,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间他，仪上是连续不断的曲线，且f W(h)01 6.(20 21.河北鸿

31、浩超级联考)已知函数f(x)=L 1、八若函数y =f(x)-a有且只 有1个零点，则实数的取值范围是()A .(-o o,-l)U2,+o o)B .(-O O,0)J4,+)C .(,l)U4,+o o)D.(-o o)52,+=o)【答案】C【分析】先求出/“)的解析式，作 出 的 图 像，根据单调性分析，令/。)=心 求解出t的范围，根据/)=。有且只有一个根，即可求出实数”的取值范围.【详解】由函数.f(x)=：八，当x 0时，/(幻=3-一幻=3-(3*.作出/(好的图像如图所示:令=因为/)=。有且只有一个根，所以，当d 2 时，对应的x 只有一个解，此时即“N4；当t b a

32、B.b c a C.c a b D.a c b【答案】B【分析】函数/(x)，g(x)的零点直接求解即可.，函数6(x)的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案.【详解】令/(x)=。，则2*+x-l =0,得x=0,即a =0,令 g(x)=0,则l o g2*+x l =0 ,得x=l,即)=1,因为函数M x)=V+x l 在R 匕为增函数，且(0)=-1 0,所以人。)在区间(0,1)存在唯一零点c,且c e(U),综上，b c a,故 选 B.1 8.(20 21 四 川 成 都 三 模)已 知 函 数 及 其 导 数 尸(x),若存在%使得/(%)=/(%),则 称 是 的

33、一 个“巧值点”，给出下列四个函数：=x)=eT；/(x)=l n x；x)=t a n x,其中有“巧值点”的函数是()A.B.C.D.【答案】B【分析】x=0,x=2,有“巧值点”；-e-x=e-x，无解，无“巧值点”；令g(x)=l n x-,所以在(l,e)上必有零点，f(x)有“巧值点”；由题得s in 2x=2,无解，所以 x)无“巧值点”.【详解】/=f(x)=2x,X2=2X，X=0,X=2,有“巧值点”；/(x)=-e L 一、=二，无解，无“巧值点”；/(x)=l n x,尸(同=：,l n x=J,令g(x)=l n x-J,g =-1 0.由零点在性定理，所以在(l,e

34、)上必有零点，/(x)有“巧值点”：/(x)=t a n x,f(x=,一=t a n x,s in xc o s x=l,即 s in 2x=2,无解，所以/(x)c o s x c o s x无“巧值点所以有“巧值点 的是，故 选 B.二、填空题1 9.(20 2(全国高三其他 模 拟(文)已知函数/(x)的定义域为(0,+8),/(x)为单调函数且对任意的x0,+c o)都有/(/(x)-l n x)=l,若方程 x)=f x+l 有两解，则实数f 的取值范围是.【答案】(o f)【分析】由题意得f(x)=l n x+l,方程/(x)=t r+l 化简得a=l n x,变形得f =/，构

35、造函I n X数 g(x)=四/(x 0),利用导数研究函数的单调性及最值，作出图像，数形结合可得解.X【详解】令，(/)=1 ,则 f(x)Tn x=X o，所以 f(x)=l n x+x0,又 与)=1,所以+%=解得4 =1,可得f(x)=l n x+l方程 力=比+1 化筒得比=l n x,变形得”手令 g(x)=(x 0),求导g，(x)=上l 室，令g(x)=0,解得x=eX X当xe(0,e)时,g(x)0,函数g(x)是单调增函数；当xe(e,+o o)时，g(x)0；当x-0时，g(x)f-8e作出函数g(x)的图像，如图所示，由图可知，实数f 的取值范围是(),；)，故答案

36、为：【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20.（2021全国I卷押题）已知函数/（x）=V T T +M x-2）有两个不同的零点，则常数%的取值范围是.【答案】0k昱3【分析】根据题意，函数X）=J i=+M x-2）有两个不同的零点，等价于y=Vl二巨与y=-&（x-2）的图象有两个不同的交点，作出图象，

37、数形结合即可求解.【详解】由函数f （x）=Vn +M x-2）有两个不同的零点，可知尸5/T存 与 尸-A（x-2）的图象有两个不同的交点，故作出如下图象,当了=与），=一女（彳 一2）的图象相切时，-J 3 L =1,即人=立，由图可知一%0,故JK+1 3相切时上=*,因此结合图象可知，当0 争忖，？=71二？与 =一 虫-2）的图象有两个不同的交点，即当0女 考时，函数f（x）=x/T，+M x-2）有两个不同的零点，故答案为：0 4k q.,、3-lnx,0 x 1,21.(2021正阳高级中学五模)已知函数f(x)=l个零点，则机=.【答案】3【分析】令/(*)一,m一3=0,则/

38、(x)=Anr+3,令丫=,加+3,作出 f (x)和y=，nx+3的图象，数形结合可知两图在(。,1)上 有1个交点，故在xNl时，满 足 根+3=5/T万+3,化简后令 =0即可【详解】令力一如 一 3=。，贝IJ/(X)=AH X+3,问题转化为函数y=/(x)与 丁 =如+3的图象 有 两 个 交 点，易 知 函 数y=/(x)与 丁 =3+3的 图 象 在(0,1)上 有1个 交 点，由/nr+3=&-1+3,W/H2X2-x+1=0 由 =1一4?2=(),解 得 加=二(加二一不舍去).故答2 2案为：y.22.(202卜江苏南京下学期一模)若函数%)=4(-1)3+=+-1存在

39、/1(4 ”)个零点,X 1则 所 有 这 些 零 点 的 和 等 于.【答案】2【分析】构造函数g(x)=ax3+-+x并讨论其奇偶性，再利用函数/(x)与g(x)的关系即可作X答.【详解】函数g(x)=+2+x,xeR 且xwO,g(.-x)=a(-x)3+(-x)=-g(x),X-x即g(x)是其定义域上的奇函数，其图象关于点(0,0)对称，而 x)=g(x-l),则“X)图象可由g(x)图象右移一个单位而得，于是“X)图象关于点(1,0)对称，因“X)存在4 je N*)个零点且点(1,0)不在 x)图象上，从而4为偶数，设这4个零点依次为王，孙，ZT，/,点(4。)与区T+”0)关于

40、点(1,0)对称，即占+5_“|=2 所以玉+ZT+%=-(玉+匕)=；1,故答案为：2.【点睛】关键点睛：涉及某些函数的所有零点和的问题，探讨函数的对称性并利用这个性质是解题的关键.X I/、-,X 1个不同的根、，且 x-4M+5+5+（的取值范围是-【答案】【分析】作出函数“力 的图象，计算得出,+工=2,利用二次函数图象的对称性得出X X2毛+甚=6,求出刍的取值范围，可求 得;+；的取值范围，由此求得结果.了 3%【详解】作出函数f（x）的图象如下图所示：方程/（x）=a有四个不同的实根，等价于直线y =a 与函数y =的图象有四个交点,不妨设小*3 匕，由图可知，只有当0 ”1 时

41、，直线V 与函数y =/（x）的图象有四个交点.-,0 x l当 X 1 时，A-1,由图可知，占 0,0 1,所以，7 =三，即与（-1）=一 工 2（用一 1），1 工 2 -1 1 X +X,即芭+%=2 百，所以，-+=2,当x N l 时，/（X）=X2-6X+9=（X-3）2,表示对称轴为直线X=3,开口向上的抛物线,/（2）=1,/（4）=1,所以，2 x3 3 ,3 X4 0 时，2HI-1,0X2 函 数 在（F-5）上单调递增；函数/（x）的图象与直线 有且仅有2 个不同的交点；若关于x 的方程*）-（。+l）/（x）+a=0（。e R）恰有4 个不相等的实数根，则这4 个

42、实数根之和为8；记函数“X）在 2A-I,2勾（ZeN）上的最大值为4,则数列也 的前7 项 和 为 警.其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是.【答案】【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项，利用等比数列求和判断选项；【详解】当x=0 时，/（0）=0,此时不满足方程；若 2 c x 4 4,则 0 x 2 V 2,即 f（x）=g f（x-2）=；（2 k T-i）；若4 *4 6,则2 o 时的图像与与直线y=x有 1 个交点，结合函数，（x）的奇偶性知，f （x）的图象与直线=x 有 3个不同的交点，故错误；对.于 ，设=r，则 关 于 /(x)2-(+l)/U)

43、+=O(a e R)的 方 程 等 价 于*-(a +l)r +a =0,解得：或，=1当/=1 时，即f（x）=l 对应一个交点为占=2；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1）t=a=,即/（x）=g对 应 3个交点，且X 2+=2,x4=4 ,此时4个实数根的和为8；（2）t=a=,即/（x）=-g对 应 3个交点，且与+鼻=-2,X4=4,此时4个实数根的和为4,故错误；对于，函数”力在 L 2 上的最大值为2）=1,即4=1,由函数的解析式及性质可知，1-f l Y数列%是首项为1,公比 为;的等比数列，则数列的前7 项和为人=1 3 2,故正1-1 6 42确.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.