随机变量的数字期望.ppt

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1、一、随机变量的数字期望一、随机变量的数字期望1 1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望 例例2.242.24 一个年级有一个年级有100100个学生，年龄组成为个学生，年龄组成为:17:17岁的岁的2 2人人;18;18岁的岁的2 2人人;19;19岁的岁的3030人人2020岁的岁的5656人人;21;21岁岁的的1010人人,求该年级学生的平均年龄。求该年级学生的平均年龄。定义定义2.132.13 设设是离散型随机变量的概率分布为是离散型随机变量的概率分布为如果如果绝对收敛，绝对收敛，则定义则定义的的数学期望数学期望（又称（又称均值均值）为）为例例 甲甲,乙两人进行打靶乙两

2、人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为它们的分布律分别为它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解 我们来计算我们来计算的数学期望的数学期望,得得(分分).这意味着这意味着,如果甲进行很多次的射击如果甲进行很多次的射击,那么那么,所所得分数的算术平均就接近得分数的算术平均就接近 1.8.例例 甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为它们的分布律分别为它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解 而乙所得分数的而乙所得分数的数学期望为数学期望为很明显很明显,乙的成绩远不如甲的成绩乙的成绩远不如甲的成绩.例例2.2

3、52.25 一批产品有一、二、三等品及废品共一批产品有一、二、三等品及废品共4 4级，相应比例为级，相应比例为60%,20%,10%,10%60%,20%,10%,10%若各等级产品的若各等级产品的产值分别为产值分别为6 6元元,5.5,5.5元元,4,4元及元及-1-1元，求产品的平均元，求产品的平均产值，产值，解解设一个产品的产值为设一个产品的产值为X X元，依题意，元，依题意，X X的概率分的概率分布如图布如图X X-1 4 5.5 6-1 4 5.5 6p0.1 0.1 0.2 0.60.1 0.1 0.2 0.6（元）（元）例例2.262.26 已知盒内有已知盒内有5 5个球，其中个

4、球，其中2 2个白球，个白球，3 3个黑球，从中一次摸出个黑球，从中一次摸出3 3个球，计算摸到的白球个球，计算摸到的白球个数个数X X的数学期望的数学期望EXEX。解解:X X只取、只取、1 1、2 2各值，各值，根据古典概型公式根据古典概型公式容易求出各概率值：容易求出各概率值：例例2.272.27 设甲袋内有设甲袋内有3 3个白球与个白球与3 3个黑球，乙袋个黑球，乙袋内有内有3 3个白球，现从甲袋内任意摸出个白球，现从甲袋内任意摸出3 3个球放入乙个球放入乙袋。求袋。求（1 1）乙袋内黑球个数）乙袋内黑球个数X X的数学期望；的数学期望；（2 2）从乙袋内再任取一球是黑球的概率）从乙袋

5、内再任取一球是黑球的概率解解（1 1）X X只取只取0 0、1 1、2 2、3 3各值各值所以所以计算出概率得计算出概率得X X的概率分布为的概率分布为（2 2）设事件设事件B=“B=“从乙袋内任摸一球为黑球从乙袋内任摸一球为黑球”由于事由于事件件B B发生的概率与乙袋内黑球的个数也就是从甲袋发生的概率与乙袋内黑球的个数也就是从甲袋中取出的黑球个数有关，中取出的黑球个数有关，是一个完备事件组，是一个完备事件组，根据全根据全概率公式概率公式补例补例1 1 掷一枚骰子，掷一枚骰子，X表示出现的点数，求表示出现的点数，求EX.解：解：X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1

6、/6 1/6EX=11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6=3.5补补例例2 2设设X的分布律为的分布律为解：解：EX=-10.3+00.2+10.5=0.22 2、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望定义定义2.14 2.14 设设是连续型随机变量，是连续型随机变量，其密度函数为其密度函数为如果如果绝对收敛，绝对收敛，定义定义的的数学期望数学期望为为例例 已知随机变量已知随机变量的分布函数的分布函数求求解解随机变量随机变量的分布密度为的分布密度为故故解解求求 EXEX例例2.282.28 设随机变量设随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为其他其他补例补

7、例 设随机变量设随机变量且且求求与与 的值的值解解 由题意知由题意知解方程组得解方程组得例例2.292.29 设随机变量设随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为其他其他求求 EXEX解解例例2.302.30 设随机变量设随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为讨论讨论EXEX的存在性的存在性解解因此因此EXEX不存在不存在此例说明此例说明，并不是所有随机变量的期望都是存在的，并不是所有随机变量的期望都是存在的、随机变量函数的数学期望、随机变量函数的数学期望设设x是一个随机变量，是一个随机变量，g(x)是是x的一个实值函数的一个实值函数,如果当随机变量如果当随机变量X X取取x值，

8、值，另一个随机变量另一个随机变量Y Y取值取值g(g(x)则称随机变量则称随机变量Y Y是是X X的函数，的函数，记作记作g(g(x).).如果一个函如果一个函 这个函数本身也是随机变量且它这个函数本身也是随机变量且它是作为自变量是随机变量的函数。是作为自变量是随机变量的函数。这里我们首先讨论如何根据随机变量这里我们首先讨论如何根据随机变量X X的分布计的分布计算算X X的函数的函数Y=g(Y=g(x x)的数学期望的数学期望数的自变量，那么数的自变量，那么定理定理2.82.8设设是一个随机变量，是一个随机变量，且且存存在在,于是于是(1)若若为离散型随机变量，为离散型随机变量，其概率分布为其

9、概率分布为则则的数学期望为的数学期望为(2)若若为连续型随机变量，为连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为则则的数学期望为的数学期望为推论推论 （1 1）对于任意实数）对于任意实数a，E Ea=a。（2 2）如果）如果EXEX存在，对任意实数存在，对任意实数a，都有，都有（3 3）若）若 的期望都存在，则对任意实数的期望都存在，则对任意实数 都有都有特别的特别的例例2.312.31设随机变量设随机变量X X的概率分布由表所示的概率分布由表所示X 1 2 3 4P 0.4 0.3 0.2 0.1解解 例例2.322.32 是随机变量是随机变量X X服从期间服从期间 a,b 上的均匀分上的均匀分

10、布，求布，求EXEX与与 .解解 依题意，依题意，X X的概率密度函数为的概率密度函数为其他其他 例例2.332.33 设设X X服从期间服从期间 上的均匀分布上的均匀分布,求求解解 依题意，依题意，X X的概率密度函数为的概率密度函数为其他其他 引例：引例：现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数用中的环数用X X表示，乙射手射击中命中的环数用表示，乙射手射击中命中的环数用Y Y表示，甲、乙两射手射击中命中的环数分布分别表示，甲、乙两射手射击中命中的环数分布分别为：为：现在问甲、乙两位射手谁的射击水平更稳定些？现在问甲、乙两位射手谁的射击水平更稳定些？二、

11、随机变量的方差二、随机变量的方差 定义定义2.152.15 设随机变量设随机变量X X平方的数学期望存在平方的数学期望存在即即,则称则称为随机变量为随机变量X X的的方差方差，称称为为X X的的标准差标准差.根据随机变量函数的期望公式，若离散型随机变根据随机变量函数的期望公式，若离散型随机变量量X X的概率函数为的概率函数为则则若连续性随机变量若连续性随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为 则则2 2、方差性质、方差性质 设随机变量设随机变量X X的方差的方差DXDX存在，则对任意实数存在，则对任意实数a，都有，都有 （1 1）（2 2）（3 3）特别的特别的（5 5）（4 4）例例2

12、.352.35 X X表示掷一颗均匀骰子掷出的点数求表示掷一颗均匀骰子掷出的点数求X X的的期望和方差。期望和方差。解：解：X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 例例2.362.36 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为其他其他求求X X的方差的方差DXDX所以所以 例例2.392.39 已知随机变量已知随机变量X X服从二项分布服从二项分布 且且 ,求求X X的概率函数与分布函数的概率函数与分布函数.解解解得解得q=0.2=0.2，p=1-=1-q=0.8=0.8，n=3=3于是于是X X的概率函数与分布函数分别是的

13、概率函数与分布函数分别是X 0 1 2 3P 0.008 0.096 0.384 0.512 例例2.402.40 设随机变量设随机变量X X服从期望为服从期望为1 1的指数分布，的指数分布，求概率求概率解解 由于由于 例例2.412.41 设随机变量设随机变量X X服从期望值为服从期望值为0 0，方，方差为差为 的正态分布的正态分布,已知已知求求 的值。的值。解解 设设X X的分布函数为的分布函数为F(F(x),),则则根据题设条件根据题设条件查正态分布表知查正态分布表知四、随机变量的矩四、随机变量的矩 定义定义2.162.16 设设X X是一个随机变量是一个随机变量,如果如果 则称则称为为X X的的n阶原点矩阶原点矩为为X X的的n阶中心矩阶中心矩