高等数学第十二章微分方程第三节齐次第四节一阶线性.ppt

《高等数学第十二章微分方程第三节齐次第四节一阶线性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第十二章微分方程第三节齐次第四节一阶线性.ppt（20页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十二章第十二章 微分方程微分方程 第三节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 齐次方程如果一阶微分方程如果一阶微分方程中的中的 f(x,y)可以写成可以写成则称该方程为则称该方程为齐次方程齐次方程.f(x,y)是是 x,y 的齐次函的齐次函数数特点特点:f(tx,ty)=f(x,y)齐次方程齐次方程令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,得原方程的通解得原方程的通解.的解法的解法:分离变量分离变量:上页 下页 返回 结束 例例1.解微分方程解微分方程解解 代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为

2、(C 为任意常数为任意常数)上页 下页 返回 结束 例例2.解微分方程解微分方程解解则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即 注注 显然显然 y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.上页 下页 返回 结束 方程的全部解是方程的全部解是和和 y=x.解齐次方程的关键是作变量代换：解齐次方程的关键是作变量代换：其实，在解微分方程时，常需作变量代换其实，在解微分方程时，常需作变量代换.例如例如 上页 下页 返回 结束 可得可得 OMA=OAM=例例3.在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时,解解

3、设光源在坐标原点设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成.过曲线上任意点过曲线上任意点 M(x,y)作切线作切线 M T,由光的反射定律由光的反射定律:入射角入射角=反射角反射角取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO=OM要求点光源的光线反要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状试求反射镜面的形状.而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程:上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性利用曲线的对称性,不妨设不妨设 y 0,积分得积分得故有故有得得 (抛物线抛物线)故反射镜面为旋转抛物面故反射

4、镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程)上页 下页 返回 结束 第十二章第十二章 微分方程微分方程 第四节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一阶线性微分方程一阶线性微分方程v 解一阶线性微分方程的常数变易法解一阶线性微分方程的常数变易法v 伯努利方程伯努利方程v 一阶线性微分方程的通解公式一阶线性微分方程的通解公式一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程标准形式标准形式:若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为称为非齐次方程非齐次方程.1.齐次方程齐次方程分离变量分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为称为称为齐次方程齐次方程;上页 下页 返回 结束 非齐次项非

5、齐次项对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2.非齐次方程非齐次方程 常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解故原方程的通解即即即即作变换作变换两端积分得两端积分得 上页 下页 返回 结束 例例1.解方程解方程 解解 对应的齐次方程对应的齐次方程 或或积分得积分得即即用用常数变易法：常数变易法：令令则则代入非齐次方程得代入非齐次方程得积分，积分，得得故原方程通解为故原方程通解为上页 下页 返回 结束 例例2.2.解解 关于关于y,y不是线性的不是线性的,但关于但关于x,dx/dy是线性的是线性的变形为变形为通解通解例例3.3.解解 令令原方程化为原方程化为解得解得

6、即即积分，得积分，得 上页 下页 返回 结束 例例4.求方程求方程 (x 0)的通解的通解.解解 注意注意 由由通解公式通解公式,得得故方程可故方程可变形为变形为所求所求通解为通解为 这是以这是以为因变量为因变量,y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程上页 下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程 伯努利方程的伯努利方程的标准形式标准形式:令令求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边,得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)上页 下页 返回 结束 例例5.求方程求方程的通解的通解.解解

7、令令则方程变形为则方程变形为其通解为其通解为将将代入代入,得原方程通解得原方程通解:上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.一阶线性方程一阶线性方程解法解法1 先解对应的齐次方程先解对应的齐次方程,再用再用常数变易法常数变易法.解法解法2（重点）利用通解公式（重点）利用通解公式化为线性方程求解化为线性方程求解.2.伯努利方程伯努利方程 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习判别下列方程的类型判别下列方程的类型:提示提示:可分离可分离 变量方程变量方程齐次方程齐次方程线性方程线性方程线性方程线性方程伯努利伯努利方程方程 上页 下页 返回 结束 P286 13(1,4,5);14(2,3);17(1,2);18;22(1,3,4);23(1);28;31(1);33 作 业上页 下页 返回 结束 备用题备用题求一连续可导函数求一连续可导函数使其满足下列方程使其满足下列方程:提示提示:令则有则有利用公式可求出利用公式可求出上页 下页 返回 结束